Calculadora de triângulos

c = √(a² + b² − 2ab × cos C) A = ½ × a × b × sen C A + B + C = 180°

a, b

Os dois lados que você conhece, em centímetros. Eles são intercambiáveis — a página não se importa com qual você chama de a e qual de b, e trocá-los só troca os dois ângulos que ela imprime. Ambos precisam ser maiores que zero, já que um lado de zero não deixaria triângulo nenhum

C

O ângulo entre os dois lados conhecidos, em graus, radianos ou grados. Ele é chamado de ângulo compreendido porque é encerrado pelos dois lados que você deu, e é o único ângulo que a página deixa você especificar. Pode ser qualquer coisa de 0 a 180 graus; exatamente em 0 ou 180 o triângulo se achata numa reta e a página ainda responde, com um ângulo de 0 e outro de 180

c

O terceiro lado, em centímetros, oposto ao ângulo C. Ele vem da lei dos cossenos, que é o teorema de Pitágoras com um termo de correção para triângulos que não são retângulos: quando C é 90 graus o cosseno é 0 e o termo desaparece, deixando a² + b² = c². É a resposta principal da página porque todas as outras leituras dependem dele

A, B

Os dois ângulos que você não deu, em graus. Cada um vem da lei dos cossenos aplicada de novo ao triângulo já totalmente conhecido, com o terceiro lado tomado antes de ser arredondado, e os dois então somam 180 com C até a última casa decimal. Um triângulo muito próximo de ser retângulo ainda pode sair como exatamente 90 depois que os ângulos são arredondados para duas casas e ser reportado como retângulo — a classificação é feita a partir dos números que a página imprime, não dos números por trás deles

½ × a × b × sen C

A área em centímetros quadrados: metade do produto dos dois lados conhecidos vezes o seno do ângulo entre eles. É a fórmula da área reduzida ao caso em que o ângulo é conhecido, já que a altura de que você precisaria de outro modo é b × sen C — e é por isso que os mesmos 3 e 4 dão uma área de 6 num ângulo reto e apenas 5,1962 a 60 graus, com os lados inalterados

A + B + C = 180°

A soma dos ângulos, que é o que torna a classificação possível: com os três ângulos conhecidos, o maior deles decide se o triângulo é acutângulo, retângulo ou obtusângulo, e o maior ângulo fica sempre oposto ao lado mais longo. A classificação lê os dois ângulos que a página imprime e toma o terceiro como 180 menos esses dois, então o selo está julgando os números da tela — arredondamento incluído — e não consegue discordar deles por causa de um artefato de arredondamento

Use esta página quando o que você tem são dois lados e o ângulo entre eles, que é o caso comum de tudo o que é medido ou especificado no lugar: duas arestas de um lote com o canto entre elas, duas escoras que se encontram num ângulo conhecido, uma ripa de telhado descrita por um avanço e uma inclinação, um triângulo de tecido cortado de um canto. É também a página certa quando a pergunta é sobre a forma do triângulo e não sobre o tamanho — se um canto está esquadrejado, se um triângulo é acutângulo, se um conjunto de três lados consegue formar um triângulo obtusângulo. Como a página imprime o tipo, ela responde à conferência que um carpinteiro faz com um triângulo 3-4-5: informe lados 3 e 4 com um ângulo de 90 e a resposta volta retângulo; informe os mesmos lados com um ângulo de 92 e ela volta obtusângulo, com o terceiro lado já longo demais para um ângulo reto. Use a calculadora da fórmula de Heron quando você tiver três lados e nenhum ângulo, que é o contrário. Use a calculadora de área do triângulo quando você tiver uma base e uma altura perpendicular, já que aquela página não precisa de trigonometria. Use a calculadora do teorema de Pitágoras quando o ângulo for sabidamente reto e você quiser o caminho simples a² + b² = c², ou quando você tiver um triângulo retângulo e um lado e a hipotenusa. E use as páginas do triângulo equilátero ou isósceles quando o triângulo tiver uma simetria especial, já que aquelas páginas recebem menos números e dão os ângulos sem precisar perguntar.

1. Lados 3 e 4 com um ângulo reto

   1. O cosseno de 90° é 0, então o termo de correção desaparece: c = √(3² + 4²) = √25 = 5
   2. Área: ½ × 3 × 4 × sen 90° = ½ × 12 × 1 = 6
   3. Perímetro: 3 + 4 + 5 = 12
   4. Ângulo A, oposto ao lado 3: cos A = (4² + 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5) = 32 ÷ 40 = 0,8, logo A = 36,87°
   5. Ângulo B: 180 − 90 − 36,87 = 53,13°
   6. O maior ângulo é 90°, então a página reporta um triângulo retângulo

   O triângulo 3-4-5, e a linha que faz a classificação valer a pena: a página reconhece o ângulo reto e o diz, em vez de deixar você conferir. Os dois ângulos de 36,87 e 53,13 são o par que aparece em todo triângulo 3-4-5 e, na outra ponta da mesma aritmética, no losango cujas diagonais são 6 e 8. É também a demonstração mais clara de que a lei dos cossenos contém o teorema de Pitágoras: a 90 graus o termo de correção é zero e as duas fórmulas são a mesma frase.

2. Lados 5 e 5 a 60 graus

   1. O cosseno de 60° é 0,5: c = √(25 + 25 − 2 × 5 × 5 × 0,5) = √(50 − 25) = √25 = 5
   2. O terceiro lado sai igual aos dois que você deu, então os três lados são 5
   3. Área: ½ × 5 × 5 × sen 60° = 12,5 × 0,866025… = 10,8253
   4. Perímetro: 5 + 5 + 5 = 15
   5. Três lados iguais deixam três ângulos iguais: (180 − 60) ÷ 2 = 60, então a página imprime 60 para os dois ângulos restantes
   6. O maior ângulo é 60°, então a página reporta um triângulo acutângulo

   Dois lados iguais com um ângulo de 60 graus é o único caso em que o terceiro lado é forçado a igualá-los, e o triângulo sai equilátero — 60 graus é o ângulo em que a base de um triângulo isósceles fica exatamente do tamanho dos seus dois lados iguais. A calculadora de triângulo equilátero desta subcategoria resolve a mesma figura a partir de um único lado, já que com os três lados iguais não sobra nada a dizer; o interesse de fazer isso aqui é ver o terceiro lado cair em 5 em vez de ser avisado de que cai. A área de 10,8253 é o mesmo número que aparece no losango cujo lado é 5 e cujo ângulo é 60, o que não é coincidência: aquele losango são dois destes triângulos, e 2 × 10,8253 seriam os 21,6506 centímetros quadrados dele.

3. Lados 7 e 8 a 60 graus

   1. O cosseno de 60° é 0,5: c = √(49 + 64 − 2 × 7 × 8 × 0,5) = √(113 − 56) = √57 = 7,549834… → 7,5498
   2. Área: ½ × 7 × 8 × sen 60° = 28 × 0,866025… = 24,2487
   3. Perímetro: 7 + 8 + 7,5498 = 22,5498
   4. Ângulo A, oposto ao lado 7: cos A = (64 + 57 − 49) ÷ (2 × 8 × 7,5498) = 72 ÷ 120,797 = 0,596, logo A = 53,41°
   5. Ângulo B: 180 − 60 − 53,41 = 66,59°
   6. O maior ângulo é 66,59°, então a página reporta um triângulo acutângulo

   O caso comum, e o que vale ler se você quer ver o que a página faz quando nada é especial: dois lados de comprimentos diferentes, um ângulo de 60 graus e três respostas que não são números redondos. O terceiro lado de 7,5498 é maior que 7 e menor que 8, que é a única coisa que se pode dizer dele de antemão — o lado oposto ao ângulo de 60 graus fica entre os dois lados que o encerram, e os dois ângulos que você não deu repartem os 120 graus restantes em proporção aos lados opostos a eles: o lado menor, 7, fica com a parte menor, 53,41 contra 66,59. A área de 24,2487 é próxima mas não igual aos 24 centímetros quadrados que a página do trapézio alcança a partir de outro conjunto de quatro lados, e o quase-acerto é um lembrete de que números redondos vêm das entradas, não da fórmula.

4. Lados 10 e 10 a 120 graus

   1. O cosseno de 120° é −0,5: c = √(100 + 100 − 2 × 10 × 10 × (−0,5)) = √(100 + 100 + 100) = √300 = 17,320508… → 17,3205
   2. Área: ½ × 10 × 10 × sen 120° = 50 × 0,866025… = 43,3013
   3. Perímetro: 10 + 10 + 17,3205 = 37,3205
   4. Os dois lados iguais deixam dois ângulos iguais: (180 − 120) ÷ 2 = 30 cada um
   5. O maior ângulo é 120°, então a página reporta um triângulo obtusângulo

   Um triângulo obtusângulo, e o caso em que o termo de correção da lei dos cossenos cresce em vez de encolher: o cosseno de 120 graus é negativo, então subtraí-lo soma à conta e o terceiro lado sai maior que qualquer um dos lados que você deu — 17,3205 contra 10. Essa é a assinatura de um ângulo acima de 90 graus, e é exatamente o que a classificação está lendo. A área, 43,3013, é menor que os 50 centímetros quadrados que os mesmos dois lados encerrariam num ângulo reto, então alargar o ângulo além de 90 compra comprimento no lado oposto ao custo de área — a mesma troca que a página do losango faz quando ele é inclinado, e a razão de a página reportar o tipo em vez de deixar você inferi-lo dos números.

Esta página resolve um triângulo a partir de dois lados e do ângulo entre eles, e não resolve nenhuma das outras cinco combinações de três elementos conhecidos. Dê a ela três lados e ela não tem com o que trabalhar; a calculadora da fórmula de Heron recebe esses e dá a área, e os ângulos teriam de vir de um segundo passo que esta página não faz. Dê a ela dois ângulos e um lado e também não ajuda, ainda que internamente calcule exatamente isso. Ela não funciona ao contrário: não há caminho de uma área ou de um perímetro para o triângulo que os produziu, e um triângulo com uma área dada tem infinitas formas. As saídas são em centímetros e centímetros quadrados sejam quais forem as unidades em que as entradas foram informadas, e os dois ângulos são sempre impressos em graus mesmo que você tenha digitado radianos ou grados — o seletor de unidades muda como o seu ângulo é lido, não como as respostas são escritas. Esse seletor é também a armadilha que vale nomear: 60 radianos não são 60 graus, e a página calculará o triângulo para a unidade que estiver selecionada em vez de reportar que o número é grande demais para um ângulo. Os dois lados precisam ser maiores que zero, então um triângulo com um lado nulo é recusado; mas um ângulo de exatamente 0 ou 180 graus é aceito e produz um triângulo achatado com ângulos de 0, 180 e 0, que a página classifica como obtusângulo — aritmeticamente consistente e quase nunca o que alguém quer, e a página não avisa que a figura colapsou. Um triângulo com dois lados iguais e um ângulo de 0 é recusado em vez de respondido, porque o terceiro lado seria zero e não sobraria triângulo nenhum. O tipo impresso sob as respostas é decidido a partir dos ângulos tais como impressos, arredondados para duas casas, então um triângulo cujo maior ângulo é 89,999 graus é reportado como retângulo — a leitura honesta dos números na tela, e um lembrete de que a classificação é tão precisa quanto a exibição e não mais. A página não confere se os seus três números descrevem um triângulo além da faixa do ângulo, já que quaisquer dois lados positivos e qualquer ângulo dentro da faixa sempre descrevem. Quatro casas decimais nos comprimentos e duas nos ângulos são larguras de exibição compartilhadas com o resto desta subcategoria, não afirmações sobre precisão. Nada aqui considera sobras ou perda de corte.

Como encontro o terceiro lado de um triângulo a partir de dois lados e um ângulo?

Use a lei dos cossenos: o terceiro lado é a raiz quadrada de a² + b² − 2ab × cos C, em que C é o ângulo entre os dois lados que você conhece. Para lados 3 e 4 com um ângulo reto entre eles, o cosseno é 0 e a resposta é √25 = 5. A 60 graus o cosseno é 0,5, o termo de correção é 12, e o terceiro lado é √13, que é cerca de 3,6056 — visivelmente mais curto, a partir dos mesmos dois lados.

Como a página decide se um triângulo é acutângulo, retângulo ou obtusângulo?

Pelo maior dos três ângulos. Abaixo de 90 graus o triângulo é acutângulo, a exatamente 90 é retângulo, e acima de 90 é obtusângulo. O maior ângulo fica sempre oposto ao lado mais longo, então o mesmo teste pode ser feito pelos lados: eleve ao quadrado os dois menores e compare a soma com o quadrado do maior — igual significa retângulo, maior significa acutângulo, menor significa obtusângulo. Lados 5, 5 e 8,6603 dão um ângulo de 120 graus e um triângulo obtusângulo.

Por que dois lados e o ângulo entre eles determinam o triângulo inteiro?

Porque os dois lados estão livres para se abrir como um compasso, e o ângulo é o que fixa o quanto eles acabam afastados. Uma vez definido o ângulo, as duas pontas livres têm uma única distância possível entre si, então o terceiro lado está fixado, e com os três lados os ângulos também estão. É por isso que dois lados sozinhos não bastam — 3 e 4 podem encerrar de quase 0 a 6 centímetros quadrados, o máximo sendo num ângulo reto — e por que três ângulos sozinhos também não bastam, já que eles fixam a forma mas não o tamanho.

Qual é a fórmula da área usada aqui?

Metade do produto dos dois lados conhecidos vezes o seno do ângulo entre eles: A = ½ × a × b × sen C. É a fórmula habitual de metade da base vezes a altura com a altura substituída, porque a altura acima de um dos lados é o outro lado vezes o seno do ângulo compreendido. Lados 3 e 4 num ângulo reto dão ½ × 12 × 1 = 6 centímetros quadrados; os mesmos dois lados a 60 graus dão 5,1962, já que sen 60 é 0,866.

O que acontece se o ângulo for 0 ou 180 graus?

O triângulo colapsa numa reta e a página responde mesmo assim: com um ângulo de 0 entre lados 3 e 4 o terceiro lado é 1, um ângulo é 180 graus e os outros dois são 0. A classificação volta como obtusângulo, o que é consistente com a regra de que qualquer coisa acima de 90 é obtusângulo, ainda que um triângulo achatado seja um caso degenerado e não uma figura real. A única combinação recusada de saída é dois lados iguais com um ângulo de 0, em que o terceiro lado seria zero e não sobraria nada.

Posso usar esta página para um triângulo retângulo?

Sim, e a página dirá isso a você: informe 3 e 4 com um ângulo de 90 e o tipo volta retângulo. A aritmética degenera de forma limpa, porque o cosseno de 90 graus é 0 e a lei dos cossenos colapsa em a² + b² = c². Se todo triângulo que você resolve é retângulo, a calculadora do teorema de Pitágoras desta subcategoria recebe os dois lados diretamente e pula a trigonometria — mas esta página é a que se deve usar quando você não tem certeza de que o ângulo é exatamente reto.

• Triangle — the three-sided figure this page solves, including the angle sum, the classification into acute, right and obtuse, and the relation between the largest angle and the longest side — Wolfram MathWorld (United States)
• Acute Triangle — the case where all three angles are below a right angle, which is the first of the three grades this page reports — Wolfram MathWorld (United States)
• Obtuse Triangle — the case where one angle is above a right angle, where the correction term in the law of cosines is negative and the third side comes out longer than either of the sides given — Wolfram MathWorld (United States)