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Calculadora do teorema de Pitágoras

Intervalo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

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Resultado

5,00 cm

Lado que falta

Área
6,00 cm²
Perímetro
12,00 cm

A calculadora do teorema de Pitágoras resolve um triângulo retângulo a partir de dois lados quaisquer. Preencha dois dos três campos e o terceiro volta, junto com a área e o perímetro do triângulo. A relação por trás disso é curta: num triângulo retângulo, os quadrados dos dois lados menores somados dão o quadrado do lado maior, que é o lado oposto ao ângulo reto e se chama hipotenusa. Escrita como fórmula, os dois catetos ao quadrado e somados dão a hipotenusa ao quadrado. Essa única linha contém três resolvedores. Dê os dois catetos e você soma e tira a raiz quadrada para obter a hipotenusa. Dê a hipotenusa e um cateto e você subtrai e tira a raiz quadrada para obter o outro cateto. As duas direções diferem por um sinal, e distinguir uma da outra é a maior parte do que esta página faz por você. Dois dos três campos precisam estar preenchidos, e isso é uma regra de verdade e não uma formalidade: os três lados não são independentes, então preencher os três ou repete o que o teorema já diz ou o contradiz, e preencher só um deixa a forma indeterminada. A área e o perímetro vêm junto porque saem quase de graça depois que o triângulo está completo, e porque muitas vezes eram justamente eles o que se queria medir. O teorema é muito mais velho que o nome que costuma levar. A referência abaixo registra que a relação já era usada em cálculos babilônicos mais de um milênio antes de Pitágoras, numa tábua cuja aritmética depende dela, e que ela aparece em textos antigos indianos de construção de altares e também em obras matemáticas chinesas. O texto chinês conhecido como Zhoubi Suanjing preserva um argumento por dissecação, no qual peças dispostas em volta de um quadrado central estabelecem a relação entre os quadrados dos três lados. O que hoje se chama teorema de Pitágoras é, portanto, uma afirmação a que várias civilizações chegaram, e não a descoberta de uma pessoa, e a primeira demonstração registrada é a de Euclides, não a de Pitágoras. Três coisas sobre as respostas valem saber antes de usá-las. O lado que falta é quase sempre um número irracional. Existem triângulos retângulos de lados inteiros — três e quatro dando cinco é o menor deles — e eles são a exceção, então as duas casas decimais na tela são onde os dígitos param, e não onde o número termina. Tudo é informado em centímetros e centímetros quadrados, independentemente das unidades escolhidas nas listas, e nesta página a conversão acontece antes da resolução e não depois, o que importa porque elevar ao quadrado não é linear: um triângulo 3-4-5 informado em polegadas deixa de ser 3-4-5 em centímetros. E a página resolve um lado e para por aí. Ela não diz se os lados que você tem formam um terno pitagórico, se o triângulo é isósceles ou de alguma outra família especial, nem se o ângulo oposto a um lado é agudo ou obtuso.

Triângulos retângulos resolvidos a partir de cada par de lados iniciais

DadosCateto a (cm)Cateto b (cm)Hipotenusa (cm)Área (cm²)Perímetro (cm)
a, b345612
a, b512133030
a, b815176040
a, c68102424
b, c512133030
a, b111.410.53.41
a, b0.51.21.30.33
a, c912155436

Oito triângulos, e a primeira coluna nomeia os dois lados de que cada linha parte — a, b para dois catetos, a, c ou b, c para um cateto com a hipotenusa. Essa coluna existe porque os três lados são impressos depois que o triângulo é resolvido, então sem ela você não saberia qual deles era a resposta. A primeira linha é a entrada com que a página carrega, o menor triângulo retângulo de lados inteiros, e a segunda é o próximo acima. As linhas dois e cinco são o mesmo triângulo alcançado de dois jeitos diferentes: o 5-12-13 resolvido pelos dois catetos e depois por um cateto e a hipotenusa, e elas concordam em todas as colunas, que é a página se conferindo pelos dois ramos da aritmética. A quarta linha também é o ramo da subtração, seis e dez dando oito, e é o triângulo 3-4-5 dobrado. As linhas um e oito são também o mesmo triângulo em escalas diferentes — 9, 12 e 15 é o 3-4-5 com todos os lados triplicados, então sua área é nove vezes maior e seu perímetro três vezes. As linhas dois e sete mostram a mesma escala no sentido oposto: 0,5, 1,2 e 1,3 é o 5-12-13 dividido por dez, e é por isso que os decimais ali são exatos em vez de arredondados. A terceira linha é outro terno de lados inteiros, o 8-15-17, e a sexta é o caso isósceles, em que a hipotenusa é a raiz quadrada de dois e as duas casas decimais mostradas são uma aproximação. Todo número aqui é recalculado a partir dos dois lados iniciais quando a página é construída, e todos estão em centímetros. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.

Fórmula

a² + b² = c² c = √(a² + b²) a = √(c² − b²) b = √(c² − a²) Área = ab ÷ 2 Perímetro = a + b + c

a
Um dos dois catetos, os lados que se encontram no ângulo reto. Qualquer um dos catetos pode ser chamado de a, então os dois campos de cateto são intercambiáveis — trocar os números entre eles não muda nada na resposta
b
O outro cateto. Qual dos dois catetos você preenche e qual deixa em branco não faz diferença para o triângulo; o campo chamado b é apenas aquele que você não usou como a
c
A hipotenusa, o lado oposto ao ângulo reto e o maior dos três. É o único campo em que é fácil errar, porque ele se parece com qualquer outro campo de lado — se a página disser que a hipotenusa precisa ser maior que o cateto informado, os dois números foram trocados de lugar
Lado que falta
O lado que você deixou em branco, calculado a partir dos outros dois e mostrado primeiro porque foi ele a sua pergunta. Repare que ele pode ser tanto um cateto quanto a hipotenusa, dependendo de qual campo você deixou vazio
Área
Metade do produto dos dois catetos, em centímetros quadrados. Ela usa só os catetos: a hipotenusa nunca entra na área de um triângulo retângulo, o que é útil de lembrar na hora de conferir
Perímetro
Os três lados somados, em centímetros. É calculado a partir dos comprimentos não arredondados, então somar os dois números impressos que você digitou ao lado que falta impresso pode diferir dele no último dígito
Duas casas decimais
A largura com que as três saídas são escritas. Um lado que sai de uma raiz quadrada é irracional, a menos que o triângulo seja um terno de lados inteiros, então na maioria das entradas os dois dígitos são um corte e não um fim

É a página certa sempre que houver um ângulo reto e faltar um comprimento. Uma escada apoiada na parede, onde os dois lados que dá para medir são a parede e o chão e a escada é a hipotenusa. Um terreno retangular, onde a diagonal é necessária para uma cerca e os dois lados já são conhecidos. Um telhado, onde a subida e o avanço são conhecidos e o comprimento da ripa não. Uma tela, onde a diagonal é anunciada e os dois lados não. Qualquer coisa que possa ser reduzida a um retângulo e à sua diagonal é trabalho para esta página. Ela também é a página a procurar quando se quer conferir uma distância calculada numa malha de coordenadas: os passos horizontal e vertical entre dois pontos são os catetos, e a distância em linha reta entre eles é a hipotenusa, e é por isso que a página de distância desta mesma subcategoria e esta carregam a mesma aritmética em duas fantasias diferentes. Dois hábitos tornam a resposta fácil de confiar. A hipotenusa é sempre o maior lado, então um lado que falta que sai maior que a hipotenusa que você informou é sinal de que os dois campos foram preenchidos invertidos. E o lado que falta é sempre menor que a soma dos outros dois, porque a linha reta entre dois pontos é mais curta que qualquer caminho que passe por um terceiro; um resultado que quebre qualquer um dos dois limites está errado, não importa como a aritmética pareça. Quando você tem os três lados, vale dar uma olhada na área como conferência — um triângulo de catetos três e quatro cobre seis unidades de área, e um que cobrisse sessenta tem uma vírgula no lugar errado.

Exemplos resolvidos

  1. Catetos de três e quatro

    1. A hipotenusa é o lado que falta, então some: 3² + 4² = 9 + 16 = 25
    2. Tire a raiz quadrada: √25 = 5
    3. Área: (3 × 4) ÷ 2 = 6
    4. Perímetro: 3 + 4 + 5 = 12

    É a entrada com que a página carrega e o menor triângulo retângulo cujos três lados são todos inteiros. Todo número aqui é exato, o que faz dele o caso de calibração: três, quatro, cinco, área seis e perímetro doze, sem nada arredondado em lugar nenhum. Se o leitor guardar um único triângulo retângulo de memória, deve ser este, porque é o jeito mais rápido de conferir qualquer outra resposta nas mesmas unidades — nove mais dezesseis dá vinte e cinco, e um resultado que não se reduza a isso errou em algum ponto.

  2. Catetos de cinco e doze

    1. Hipotenusa: 25 + 144 = 169
    2. Raiz quadrada: √169 = 13
    3. Área: (5 × 12) ÷ 2 = 30
    4. Perímetro: 5 + 12 + 13 = 30

    O próximo terno de lados inteiros acima, e uma coincidência que vale notar em vez de confundir com um erro: a área e o perímetro são ambos trinta. Isso é uma propriedade deste triângulo em particular e não uma regra, e é fácil provar a si mesmo que não é uma regra — o triângulo 3-4-5 acima tem área seis e perímetro doze, que não são iguais. A área de um triângulo retângulo é metade do produto dos catetos, enquanto o perímetro é a soma deles, e os dois coincidem só quando os catetos por acaso satisfazem uma equação específica.

  3. Um cateto e a hipotenusa, com o cateto faltando

    1. O lado que falta é um cateto, então subtraia: 10² − 6² = 100 − 36 = 64
    2. Tire a raiz quadrada: √64 = 8
    3. Área: (6 × 8) ÷ 2 = 24
    4. Perímetro: 6 + 8 + 10 = 24

    A direção que usa a subtração, e a que pega as pessoas porque as duas operações não diferem em nada além de um sinal. É o triângulo 3-4-5 dobrado, e é por isso que a área e o perímetro caem no mesmo número outra vez — dobrar todos os lados quadruplica a área e dobra o perímetro, e aqui os dois se cruzam. Lendo a resposta na página, o lado que falta de 8 é menor que a hipotenusa de 10 e maior que o cateto de 6, que é exatamente onde ele deveria ficar.

  4. O outro cateto, a partir de um par diferente

    1. O lado que falta é um cateto, então subtraia: 169 − 144 = 25
    2. Raiz quadrada: √25 = 5
    3. Área: (5 × 12) ÷ 2 = 30
    4. Perímetro: 5 + 12 + 13 = 30

    O mesmo triângulo do segundo exemplo alcançado por um par de campos diferente, e a conferência que a página faz de si mesma. O triângulo 5-12-13 pode ser resolvido tanto pelos dois catetos, que é o segundo exemplo, quanto por um cateto e a hipotenusa, que é este, e as duas rotas têm de produzir os mesmos três lados. Repare que o campo deixado em branco aqui é outro — a resposta é um cateto de novo, mas é o cateto a e não o b, e os números nos dois campos de entrada foram trocados em relação ao exemplo acima.

  5. Os dois catetos iguais

    1. Hipotenusa: 1 + 1 = 2
    2. Raiz quadrada: √2 = 1,4142135…, que arredonda para 1,41
    3. Área: (1 × 1) ÷ 2 = 0,5
    4. Perímetro: 1 + 1 + 1,41421 = 3,41421…, que arredonda para 3,41

    O menor triângulo retângulo isósceles, e a demonstração padrão de que a resposta quase nunca é um número inteiro. A hipotenusa de um quadrado de lado um é a raiz quadrada de dois, um número que nunca termina e nunca se repete, e nenhum triângulo de lados inteiros tem proporção de um para um para raiz de dois — que é precisamente por que as respostas do teorema precisam ser arredondadas. O perímetro é o número interessante aqui: é a única saída que depende da hipotenusa não arredondada, e somar você mesmo os dois números impressos ao 1,41 impresso dá o mesmo valor nesta entrada, embora não em todas.

  6. Catetos de zero vírgula cinco e um vírgula dois

    1. Hipotenusa: 0,25 + 1,44 = 1,69
    2. Raiz quadrada: √1,69 = 1,3
    3. Área: (0,5 × 1,2) ÷ 2 = 0,3
    4. Perímetro: 0,5 + 1,2 + 1,3 = 3

    Um terno de lados inteiros disfarçado: 0,5, 1,2 e 1,3 é o triângulo 5-12-13 com todos os lados divididos por dez, então é exato e não arredondado, apesar das casas decimais. Os ternos escalam, o que significa que existem infinitos deles e também que um triângulo retângulo de lados decimais de aparência incômoda pode sair limpo. Isso também mostra que uma resposta decimal não é a mesma coisa que uma resposta arredondada — este 1,3 é exato e o 1,41 do exemplo acima não é, e a página não tem como dizer qual dos dois você está vendo.

Limitações

A página resolve um lado e entrega a área e o perímetro. Ela não diz se os lados formam um terno pitagórico, se o triângulo é isósceles nem nada mais sobre que tipo de triângulo ele é, e isso é uma decisão e não uma omissão. A pergunta sobre se um conjunto de lados é um terno pitagórico não pode ser respondida de dentro desta página com confiabilidade, porque os números que o resolvedor recebe já foram convertidos para centímetros: lados de três e quatro polegadas chegam como 7,62 e 10,16, e se o 3-4-5 original era um terno de lados inteiros é uma informação que a conversão já jogou fora. Um veredito que mudasse de resposta conforme a unidade escolhida pelo usuário seria pior que nenhum veredito, então a página fica quieta e o lugar certo para isso é uma ferramenta separada. Tudo é informado em centímetros e centímetros quadrados, digam o que disserem as listas, e a conversão acontece antes de o triângulo ser resolvido, não depois. Elevar ao quadrado não é linear, então isso não é o mesmo que resolver na unidade original e converter a resposta, e um terno de lados inteiros digitado em polegadas não vai produzir centímetros inteiros. O lado que falta sai de uma raiz quadrada e é irracional em quase todas as entradas, então duas casas decimais são um corte e não uma resposta completa, ainda que os próprios dados possam ser exatos. O perímetro e a área são calculados a partir dos comprimentos não arredondados, então reconstruí-los na tela a partir dos números impressos pode diferir no último dígito. Exatamente dois dos três campos precisam estar preenchidos: preencher um é recusado porque a forma não fica determinada, e preencher os três é recusado porque os três lados se restringem mutuamente e um conjunto que discorda não descreve triângulo nenhum. Um lado de zero não é aceito, ao contrário do raio da página do círculo ao lado — um triângulo com um lado de comprimento zero não existe, e sua área e seu perímetro não significariam nada. A hipotenusa precisa ser estritamente maior que o cateto informado com ela, e quando não é, a página pede que você troque os dois números em vez de reportar um código de erro; essa mensagem significa que os dois campos foram preenchidos invertidos, que é o erro mais comum que esta forma convida. Por fim, este é um triângulo plano com um ângulo reto dentro, então triângulos oblíquos e triângulos desenhados sobre uma esfera estão fora do que o teorema diz.

Perguntas frequentes

Quais dois campos eu preencho?
Quaisquer dois dos três. Os dois catetos, ou um cateto e a hipotenusa — os dois funcionam, e a página descobre de que caso se trata vendo qual campo você deixou vazio. O que ela não aceita é um campo sozinho ou os três juntos. Um lado só não determina um triângulo retângulo, então não haveria o que resolver, e os três superdeterminam a figura, já que quaisquer dois lados fixam o terceiro e um conjunto que discorda não tem triângulo por trás.
Como eu sei se devo somar ou subtrair?
Depende de qual campo você deixou em branco. Se a hipotenusa é o lado que falta, você soma os quadrados dos dois catetos e tira a raiz quadrada. Se falta um cateto, você subtrai o quadrado do cateto conhecido do quadrado da hipotenusa e tira a raiz quadrada do que sobrar. A página decide por você a partir da forma dos dados, que é o principal motivo de usá-la em vez de uma calculadora comum: os dois casos diferem por um sinal, e trocá-los é o jeito clássico de chegar a uma resposta errada que parece perfeitamente plausível.
A página diz que a hipotenusa precisa ser maior que o cateto. O que eu fiz de errado?
Os dois números estão nos campos errados. A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto e é sempre o maior dos três, então ela nunca pode ser menor que um cateto nem igual a ele. Trocar os dois valores resolve. Esse é o erro mais comum nesta página porque os dois campos se parecem — nada num campo de texto comum diz qual deles deve receber o lado longo, e um triângulo de lados 5, 5 e 3 não existe.
Por que o lado que falta tem decimais se eu digitei números inteiros?
Porque a raiz quadrada de um número inteiro quase nunca é um número inteiro. Triângulos retângulos de lados inteiros — 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 — existem de verdade e são infinitos em número, mas são uma minoria pequena entre todos os triângulos retângulos que há. Para todo o resto, o lado que falta é um número irracional e as duas casas decimais mostradas são onde ele foi cortado. Uma resposta 7,62 é uma aproximação; uma resposta 8 é exata.
A página me diz se o meu triângulo é um 3-4-5?
Não, e ela deliberadamente não tenta. Quando a aritmética roda, os comprimentos já foram convertidos para centímetros, então um triângulo informado como três e quatro polegadas chega ao resolvedor como 7,62 e 10,16 — a informação sobre se os lados originais eram inteiros se perdeu antes que a pergunta pudesse ser feita. Uma verificação que desse respostas diferentes conforme a unidade escolhida seria pior que nenhuma verificação, então a página resolve o lado e deixa a classificação para uma ferramenta separada.
A área é igual ao perímetro?
Só por coincidência, e a própria tabela desta página contém uma dessas coincidências: um triângulo 5-12-13 tem área de trinta centímetros quadrados e perímetro de trinta centímetros. As duas são grandezas de tipos diferentes e a igualdade está só nos dígitos. A área de um triângulo retângulo é metade do produto dos catetos, o perímetro é a soma dos três lados, e eles por acaso coincidem neste triângulo e em um punhado de outros. O triângulo 3-4-5 duas linhas acima tem área seis contra perímetro doze.
Algum dos lados pode ser zero?
Não. Um triângulo com um lado de comprimento zero não é um triângulo — os três pontos seriam colineares ou coincidentes, e tanto a área quanto o perímetro perderiam o sentido. Essa é uma diferença real em relação à página do círculo da mesma subcategoria, onde um raio de zero é uma entrada legítima, descrevendo um círculo encolhido a um ponto. Um lado de zero é recusado aqui no próprio campo, e um comprimento negativo é recusado do mesmo jeito.

Referências

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