Calculadora de distância
Resultado
Distância
- Variação em x (Δx)
- 3,0000
- Variação em y (Δy)
- 4,0000
Uma calculadora de distância devolve a distância em linha reta entre dois pontos: o comprimento do segmento que os une, medido em linha reta e não ao longo de um caminho que você percorreria. Informe os dois pontos, quatro números no total, e a resposta volta com quatro casas decimais. Por trás disso está a fórmula da distância, que é o teorema de Pitágoras vestido de coordenadas. Baixe uma linha horizontal de um ponto e uma vertical do outro e elas se encontram num canto, formando um triângulo retângulo cujos catetos são as diferenças entre as coordenadas e cuja hipotenusa é a distância que você pediu. Para os pontos (0, 0) e (3, 4) os catetos são 3 e 4, então a distância é √(9 + 16), que dá exatamente 5. Esse triângulo é o motivo de a página imprimir três números em vez de um. Os dois catetos voltam como a variação horizontal e a vertical entre os pontos, e eles são a conta à vista: a resposta é a raiz quadrada da soma dos quadrados deles, e com os dois na tela você acompanha a aritmética sem fazer nenhuma conta. Eles também são valores com sinal, o que surpreende na primeira vez. O cateto vertical fica negativo sempre que o segundo ponto está mais baixo que o primeiro, porque é uma diferença orientada e não um vão, e a página mantém o sinal de propósito em vez de tomar o valor absoluto — o sinal é a única coisa que diz para que lado o segundo ponto está em relação ao primeiro, e é justamente o que um cálculo de inclinação precisaria a seguir. Duas fronteiras valem ser conhecidas antes de você confiar na resposta. Esta página mede distâncias no plano cartesiano e só nele. Não há campo para uma terceira coordenada, porque uma página com um z opcional teria de inventar uma resposta para o caso em que um ponto tem z e o outro não, e as duas páginas irmãs de coordenadas desta família — a do ponto médio e a do ponto extremo — teriam então um formato diferente deste sem nenhum motivo visível para quem lê. Se os seus pontos estão no espaço, você ainda pode usar a página duas vezes, mas vai ter de acrescentar o terceiro cateto por conta própria. E as coordenadas cartesianas não têm unidade. Seja lá o que você mediu, a resposta está nessa unidade: metros se os seus números são metros, quilômetros se são quilômetros, quadrículas se saíram de um gráfico. A página não converte e não tem como avisar que um ponto está em metros e o outro em milímetros.
Distâncias entre pontos que aparecem muito
| x do ponto 1 | y do ponto 1 | x do ponto 2 | y do ponto 2 | Variação em x (Δx) | Variação em y (Δy) | Distância |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 3 | 4 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 2 | 5 | 8 | 4 | 6 | 7.2111 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1.4142 |
| 2.5 | -1.5 | 2.5 | -1.5 | 0 | 0 | 0 |
| -3 | 4 | 7 | -2 | 10 | -6 | 11.6619 |
| 0 | 0 | 10 | 0 | 10 | 0 | 10 |
| 3 | 4 | 0 | 0 | -3 | -4 | 5 |
| 0 | 0 | 6000000 | 8000000 | 6000000 | 8000000 | 10000000 |
Oito pares, com duas colunas de conta à vista e a resposta na última. Comece pela primeira linha, que é a entrada com que a página carrega: os catetos são 3 e 4 e a distância é exatamente 5, o menor triângulo retângulo de lados inteiros. A segunda linha é o mesmo tipo de diagonal sem a exatidão — catetos de 4 e 6, distância de 7,2111, e uma raiz quadrada que não termina nunca. A terceira linha é uma diagonal de um e um, em que a distância é a raiz quadrada de dois e sai como 1,4142, que vale saber de cor por ser a menor distância irracional que existe. A quarta linha é o mesmo ponto duas vezes, distância zero. A quinta linha é a que você deve estudar se os sinais continuam te pegando: o segundo ponto está bem à direita e abaixo do primeiro, então o cateto horizontal é dez positivo e o vertical é seis negativo, e a distância de 11,6619 sai positiva de qualquer jeito. A sexta linha corre reta sobre o eixo x, então o cateto vertical é zero e a distância é simplesmente a horizontal. A sétima linha é o segmento três quatro cinco medido ao contrário, de (3, 4) até a origem, o que deixa os dois catetos negativos sem mexer na distância, que segue 5 — e a oitava é o mesmo triângulo ampliado dois milhões de vezes, mostrando que coordenadas grandes não introduzem arredondamento próprio. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.
Fórmula
Distância = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) Cateto horizontal = x₂ − x₁ Cateto vertical = y₂ − y₁
- Primeiro ponto
- Um x e um y, o ponto a partir do qual você mede. As coordenadas são números comuns, então podem ser negativas, fracionárias ou zero, e não há unidade a escolher
- Segundo ponto
- O ponto até o qual você mede, com as mesmas regras. Ele pode estar em qualquer direção a partir do primeiro, inclusive exatamente acima, abaixo, à esquerda ou à direita
- Cateto horizontal
- O primeiro x subtraído do segundo, ou seja o passo lateral de um ponto até o outro. É o mesmo número que o painel de resultados chama de variação em x. Um valor negativo significa que o segundo ponto está à esquerda do primeiro, e é o número que um cálculo de inclinação usaria como o seu deslocamento horizontal
- Cateto vertical
- O primeiro y subtraído do segundo, o passo para cima entre os pontos, impresso no painel como variação em y. Um valor negativo significa que o segundo ponto está mais baixo. Junto com o cateto horizontal ele forma um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a distância
- Distância
- A raiz quadrada dos dois catetos ao quadrado e somados. Ela nunca é negativa, só é zero quando os dois pontos coincidem e, como em geral é uma raiz quadrada, sai arredondada para quatro casas decimais
Use quando tiver dois pontos e quiser o vão entre eles sem se importar com a direção em que ele corre. A que distância ficam duas referências de mapa, quanto vai medir uma cerca entre dois postes, quanto cabo é preciso para atravessar uma sala na diagonal, a que distância uma entrega está de um centro de distribuição quando o percurso é uma linha reta e não uma rua. Também é a conferência a que se recorrer quando uma conta mais longa deu errado: dois resultados quaisquer que você consiga situar num plano podem ser medidos um contra o outro, e uma distância que sai uma ordem de grandeza fora é sinal de erro de sinal em algum lugar anterior. Os dois catetos ganham o seu lugar num outro conjunto de tarefas. Se você precisa saber quanto do vão é lateral e quanto é para cima, eles respondem isso direto, e respondem com sinal, então informam também a direção e não só o tamanho. É exatamente o que você precisa antes de calcular uma inclinação, um ângulo ou um rumo — a página da distância não dá nenhum desses três, mas entrega os dois números de que todos eles são feitos. Um hábito que vale ter: eleve os dois catetos ao quadrado de cabeça antes de ler a resposta. Nove mais dezesseis dá vinte e cinco, então uma distância de 5 está certa, e uma distância de 50 significaria uma vírgula fora de lugar e não um resultado surpreendente.
Exemplos resolvidos
Três para o lado e quatro para cima
- Cateto horizontal: 3 − 0 = 3
- Cateto vertical: 4 − 0 = 4
- Eleve os dois ao quadrado: 9 e 16
- Some e tire a raiz quadrada: √25 = 5
O par com que a página carrega, e o menor triângulo retângulo cujos três lados são todos números inteiros. Duas coisas merecem atenção. Os dois catetos são os números que você digitou, o que só acontece quando um dos pontos é a origem, e a distância é exata em vez de uma raiz arredondada, o que é raro nesta página. Use esta entrada como calibração: se a página devolver 5 aqui, a aritmética está sã e qualquer resposta de aparência estranha em outro lugar é propriedade da entrada, não defeito.
Uma diagonal em que a distância é uma raiz arredondada
- Cateto horizontal: 5 − 1 = 4
- Cateto vertical: 8 − 2 = 6
- Eleve os dois ao quadrado: 16 e 36
- Some: 52, e tire a raiz quadrada, que é 7,21110255… e arredonda para 7,2111
O caso comum em vez do arrumadinho. Cinquenta e dois não é quadrado perfeito, então a resposta é irracional e os quatro dígitos impressos são o começo dela e não ela inteira. Uma conferência útil e barata: a distância tem de ser maior que qualquer um dos catetos, então 7,2111 contra catetos de 4 e 6 é plausível, enquanto uma distância menor que o maior cateto significaria que a raiz foi aplicada à quantidade errada.
Os mesmos dois pontos medidos no sentido contrário
- Cateto horizontal: 0 − 3 = −3
- Cateto vertical: 0 − 4 = −4
- Eleve os dois ao quadrado: 9 e 16, já que elevar ao quadrado tira os sinais
- Some e tire a raiz quadrada: √25 = 5
O segmento três quatro cinco com os extremos trocados, e a demonstração mais clara de duas propriedades de uma vez. Os dois catetos voltam negativos porque agora as duas diferenças são medidas no outro sentido, enquanto a distância não muda e continua 5, porque elevar ao quadrado joga fora os sinais antes que eles façam qualquer estrago. É essa a razão inteira de a distância ser sempre positiva: ela é um comprimento, e o sentido em que foi medida nunca entra na conta.
Uma distância medida em milhões
- Cateto horizontal: 6.000.000 − 0 = 6.000.000
- Cateto vertical: 8.000.000 − 0 = 8.000.000
- Eleve os dois ao quadrado e some: 3,6 × 10¹³ mais 6,4 × 10¹³ dá 10¹⁴
- Tire a raiz quadrada: 10.000.000
O triângulo três quatro cinco ampliado dois milhões de vezes, que é o que acontece quando as mesmas coordenadas servem para uma grade de mapa projetada em metros em vez de um gráfico no papel. Nada na página muda com o tamanho dos números — os dois catetos são tão exatos quanto as entradas e a distância sai inteira — e esta linha está aqui para deixar isso claro, já que um leitor que espera que coordenadas grandes introduzam arredondamento vai suspeitar da resposta exata.
Dois pontos que são o mesmo ponto
- Cateto horizontal: 2,5 − 2,5 = 0
- Cateto vertical: ((−1,5) − (−1,5)) = 0
- Eleve os dois ao quadrado: 0 e 0
- Some e tire a raiz quadrada: √0 = 0
Uma distância de zero é a resposta correta para um ponto e ele mesmo, e é a única entrada capaz de produzir uma, já que a soma de dois quadrados só é zero quando os dois quadrados são zero. A página não vai tratar isso como resultado vazio nem marcar os campos. Vale ver uma vez para que um zero na primeira coluna não seja lido como campo que deixou de ser preenchido.
Limitações
A página mede num plano e só num plano. Não há campo para uma terceira coordenada, então a distância entre dois pontos no espaço está fora do alcance dela: você precisaria também da diferença no terceiro eixo, e esta página não tem onde pôr isso. Uma página com campos z opcionais foi considerada e recusada, porque um ponto com z e o outro sem ele não tem resposta sensata e as duas páginas vizinhas de coordenadas teriam de ganhar os mesmos campos para continuarem coerentes. As coordenadas não têm unidade, então a resposta está na unidade em que você mediu, e a página não consegue perceber um par misturado — se um ponto está em metros e o outro em milímetros a aritmética roda alegremente e devolve um número errado, e nada na página dirá isso. Os dois catetos são diferenças com sinal e não distâncias, então um cateto que sai negativo está certo e não é um erro a corrigir: o painel o rotula como variação em x e em y justamente para não sugerir comprimento. A distância em si sai arredondada para quatro casas decimais e costuma ser irracional, então o valor impresso é onde os dígitos param e não a resposta inteira. As coordenadas estão limitadas a mais ou menos um bilhão, o que é muito além de qualquer gráfico mas bem dentro da faixa de alguns sistemas de coordenadas projetadas medidas em metros, e a página vai recusar esses valores em vez de calculá-los. Por fim, esta é uma distância em linha reta e não um percurso: se você precisa seguir estradas, muros ou um litoral, o número aqui é o caminho mais curto possível e será sempre menor que o que você consegue de fato percorrer.
Perguntas frequentes
- Qual é a fórmula da distância?
- É o teorema de Pitágoras com coordenadas dentro. Pegue a diferença entre os dois valores de x e a diferença entre os dois valores de y, eleve cada uma ao quadrado, some as duas e tire a raiz quadrada. As duas diferenças são os catetos de um triângulo retângulo e a distância é a hipotenusa, então a fórmula não é uma regra separada para decorar — é a regra do triângulo aplicada aos passos entre os pontos. Para (0, 0) e (3, 4) isso dá √(9 + 16), que é 5.
- Por que as duas colunas a mais ficam negativas às vezes?
- Porque são passos orientados e não vãos, e um passo tem direção. O cateto horizontal é o primeiro x subtraído do segundo, então ele é negativo exatamente quando o segundo ponto está à esquerda do primeiro; o cateto vertical é negativo quando o segundo ponto está mais baixo. A página mantém o sinal de propósito. Ele é a única coisa que diz para que lado o segundo ponto está, é o que um cálculo de inclinação ou de rumo precisa a seguir, e a distância ignora os sinais por completo porque elevá-los ao quadrado os elimina.
- Isso funciona para pontos em três dimensões?
- Não, e a página não finge o contrário — não há terceira caixa de coordenada para preencher. Uma distância tridimensional precisa também da diferença no terceiro eixo, somada à soma dos quadrados antes de tirar a raiz, e com apenas duas coordenadas a página teria de supor um valor para a terceira. Se os seus pontos estão no espaço, você pode calcular a distância no plano com esta página e depois combiná-la com a diferença de altura por conta própria, mas a página não faz esse passo por você.
- As coordenadas estão em metros, centímetros ou outra coisa?
- No que você disser que estão. A página as trata como números comuns, não associa unidade nenhuma à resposta e não oferece lista para escolher uma, o que é deliberado: um par de coordenadas cartesianas vindo de um gráfico ou de uma grade de mapa não traz unidade até você decidir em que a grade foi desenhada. Se os seus números estão em metros a distância está em metros, se estão em graus de longitude a distância está em graus, e essa última não se converte em quilômetros sem saber em que ponto do globo você está.
- A distância pode ser negativa ou zero?
- Negativa não pode, porque elevar os dois catetos ao quadrado elimina qualquer sinal antes de eles serem somados e a raiz quadrada de um número não negativo nunca é negativa. Ela é zero apenas quando os dois catetos são zero, o que quer dizer que os dois pontos são o mesmo ponto — uma resposta legítima e não um cálculo que falhou. Qualquer outro par de pontos distintos dá uma distância positiva, por mais próximos que estejam.
- Como confiro a resposta sem calculadora?
- Eleve os dois catetos ao quadrado e some, depois pergunte qual número elevado ao quadrado dá esse total. Quatro e seis dão 16 mais 36, que é 52, e 7,2111 ao quadrado fica perto de 52 — então a resposta está na região certa mesmo que 52 não seja quadrado perfeito. Duas propriedades tornam a conferência rápida: a distância é sempre maior que qualquer um dos catetos, já que a hipotenusa é o lado mais longo de um triângulo retângulo, e é sempre menor que a soma dos dois catetos. Qualquer valor fora desses limites está errado.
Referências
- Distance — the distance between two points in the plane, given as the square root of the sum of the squared coordinate differences, which is the formula this page evaluates — Wolfram MathWorld (United States)
- Cartesian coordinates — the coordinate system in which a point is named by its perpendicular distances from a pair of axes, and the setting in which the two legs here are horizontal and vertical — Wolfram MathWorld (United States)
- Pythagorean theorem — the relation between the legs of a right triangle and its hypotenuse, which is what the distance formula is, since the two coordinate differences are the legs and the distance is the hypotenuse — Wolfram MathWorld (United States)