Calculadora de ponto médio

Ponto médio x = (x₁ + x₂) ÷ 2 Ponto médio y = (y₁ + y₂) ÷ 2 Metade do comprimento = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) ÷ 2

Primeira extremidade

Uma das pontas do segmento, como um x e um y. Qualquer das duas pode ser digitada primeiro — trocar os dois pares não muda o ponto médio, já que a adição não se importa com a ordem

Segunda extremidade

A outra ponta, com as mesmas regras. Nenhuma extremidade precisa ser maior que a outra, então o segundo x pode ser menor que o primeiro e qualquer coordenada pode ser negativa

Ponto médio

As duas médias, uma por eixo, cada uma arredondada para quatro casas decimais. É a resposta, e ela fica sempre entre as duas extremidades — um ponto médio fora delas significa que um sinal se perdeu em algum lugar

Metade do comprimento

A distância do ponto médio até qualquer das extremidades, calculada diretamente das duas extremidades e não do ponto médio já arredondado. É o mesmo número para as duas pontas, e é essa a conferência que a linha existe para dar

Quatro casas decimais

A largura com que todo número da página é escrito, não uma afirmação de precisão. As coordenadas são impressas com os zeros à direita, e a metade do comprimento é muitas vezes uma raiz quadrada que não termina, então quatro casas é onde ela é cortada

Recorra ao ponto médio quando algo precisa ficar igualmente entre duas coisas que você consegue nomear. No meio do caminho entre duas cidades num mapa, o centro de um diâmetro, o ponto onde um topógrafo crava uma estaca, o meio de uma parede onde você vai pendurar alguma coisa, o ponto de equilíbrio entre duas figuras num gráfico. Em cada caso você tem as duas pontas e quer o que fica entre elas, e tirar a média de cada coordenada resolve. É também o jeito mais rápido de achar o centro de uma circunferência quando você tem dois pontos dela que são opostos um ao outro, porque o centro de uma circunferência é o ponto médio de qualquer diâmetro. A outra metade da página é a parte que as pessoas esquecem de usar. Um ponto médio não é só um par de números produzido por uma regra; é um ponto que está à mesma distância das duas pontas, e a saída da metade do comprimento permite confirmar isso na hora. Se você mediu o segmento com uma régua, já sabe o comprimento total, e metade dele deve ser igual ao que a página imprime. Quando não for, a entrada é que está errada, não a resposta, e a causa mais comum é um sinal: a diferença entre um y de menos 7 e um y de 7 é catorze, não zero, e um sinal de menos perdido na segunda extremidade desloca a resposta inteira para cima ou para baixo em sete, continuando a parecer perfeitamente normal.

1. O segmento padrão, de um a cinco na horizontal e de dois a oito na vertical

   1. Média dos valores de x: (1 + 5) ÷ 2 = 3
   2. Média dos valores de y: (2 + 8) ÷ 2 = 5
   3. O ponto médio é (3, 5)
   4. Metade do comprimento: a diferença em x é 4 e a diferença em y é 6, então o comprimento total é √(16 + 36) = √52 = 7,2111 e a metade dele é 3,6056

   O par que aparece na página quando ela carrega, e um bom para conferir a olho. As duas médias são números inteiros, então as duas coordenadas são exatas, enquanto a metade do comprimento é uma raiz quadrada e portanto arredondada — um retrato justo da página como um todo. Andar de (1, 2) até (5, 8) significa quatro na horizontal e seis na vertical; o ponto médio está a dois na horizontal e três na vertical da primeira ponta, que é o que (3, 5) é, e a metade de 3,6056 é a diagonal desse passo de dois por três.

2. O segmento 3-4-5, em que todo número é exato

   1. Média dos valores de x: (0 + 3) ÷ 2 = 1,5
   2. Média dos valores de y: (0 + 4) ÷ 2 = 2
   3. O ponto médio é (1,5, 2)
   4. A diferença em x é 3 e a diferença em y é 4, então o comprimento total é √(9 + 16) = 5 e a metade do comprimento é 2,5

   O triângulo 3-4-5 aparece por toda esta família porque é o menor triângulo retângulo cujos lados são todos números inteiros, e aqui ele compensa duas vezes: o comprimento total é exatamente 5 e a metade do comprimento é exatamente 2,5, então nada na página está arredondado. Use-o como calibração quando estiver em dúvida se uma resposta surpreendente é artefato de arredondamento — nesta entrada não pode ser. Repare também no zero à direita em outra forma: a coordenada x é 1,5 e é impressa como 1,5000, o que é o contrato das quatro casas, não uma afirmação de que a resposta é conhecida até quatro casas.

3. Duas pontas em lados opostos da origem

   1. Média dos valores de x: (4 + (−4)) ÷ 2 = 0
   2. Média dos valores de y: ((−7) + 7) ÷ 2 = 0
   3. O ponto médio é a origem, (0, 0)
   4. A diferença em x é −8 e a diferença em y é 14, então o comprimento é √(64 + 196) = √260 = 16,1245 e a metade é 8,0623

   Um ponto médio zero é uma resposta de verdade, não uma caixa vazia. O par aqui é simétrico em relação à origem, então a origem está exatamente no meio do caminho entre eles, e as duas coordenadas voltam como 0,0000. Esse mesmo zero aparece na página em todo segmento cujas extremidades são reflexos uma da outra, o que é uma família grande e não uma curiosidade. Repare no tratamento dos sinais nas diferenças: subtrair uma coordenada negativa soma, então a diferença em y é 14, apesar de os dois valores de y serem 7 e menos 7.

4. Um ponto médio que cai em número inteiro a partir de extremidades que parecem fracionárias

   1. Média dos valores de x: ((−3) + 7) ÷ 2 = 2
   2. Média dos valores de y: (4 + (−2)) ÷ 2 = 1
   3. O ponto médio é (2, 1)
   4. A diferença em x é 10 e a diferença em y é −6, então o comprimento é √(100 + 36) = √136 = 11,6619 e a metade é 5,831

   As duas diferenças são pares aqui, e é por isso que duas coordenadas de aparência incômoda dão média em números inteiros. Dez na horizontal e seis para baixo dão uma metade de 5,831, uma raiz quadrada que nunca termina, então este é também o caso que mostra o corte nas quatro casas fazendo o seu trabalho. Se você quiser conferir a linha à mão, eleve ao quadrado a metade impressa: 5,831 ao quadrado dá 34,0 e 5,8309 ao quadrado dá 33,999 — perto o bastante do 34 que a resposta exata eleva, que é a melhor confirmação que quatro dígitos conseguem dar.

5. Duas extremidades que são o mesmo ponto

   1. Média dos valores de x: (2,5 + 2,5) ÷ 2 = 2,5
   2. Média dos valores de y: ((−1,5) + (−1,5)) ÷ 2 = −1,5
   3. O ponto médio é o ponto de onde você partiu
   4. As duas diferenças são zero, então o comprimento é 0 e a metade do comprimento é 0

   Um segmento de comprimento zero, que a página responde com honestidade: o ponto médio de um ponto com ele mesmo é esse ponto, e a metade do comprimento é zero. Esta é a única espécie de entrada capaz de fazer a terceira linha imprimir 0, já que uma metade de comprimento zero exige que as duas extremidades coincidam. Vale ver isso uma vez para que uma página mostrando três números em que um é zero não seja lida como valor faltando — nada aqui deixou de ser calculado.

A página devolve o ponto médio do segmento que você descreveu, e nada mais sobre ele. Ela não dá a reta que passa pelos dois pontos, então não informa a inclinação, os interceptos nem a equação dessa reta, e também não dá o comprimento total do segmento — a terceira linha é metade dele, então dobre a metade se o que você queria era o comprimento inteiro. As coordenadas são adimensionais, e nenhuma unidade é anexada a nenhuma saída. Se os seus pontos estão em pés, as respostas estão em pés; se são quadrados de malha, as respostas são quadrados de malha; mas a página não converte nada e não avisa se você misturar metros com milímetros entre as duas extremidades. Esse é um risco real de uma página sem unidades: ela não consegue ver que (1, 2) e (5.000, 8.000) são provavelmente o mesmo segmento digitado em unidades diferentes, e o ponto médio que ela devolve vai simplesmente estar errado por um fator. As coordenadas são limitadas a mais ou menos um bilhão. O limite existe por razões aritméticas, não matemáticas, e a mensagem de erro diz qual campo o estourou, mas isso significa que a página não é ferramenta para coordenadas na escala de um levantamento continental nem de uma órbita de satélite expressa em metros. Por fim, a metade do comprimento é arredondada para quatro casas decimais e com frequência é um número irracional, então é uma aproximação na maioria das entradas; a multiplicação por dois no fim de uma conferência à mão herda esse arredondamento, e é por isso que uma metade dobrada pode diferir do comprimento total no último ou nos dois últimos dígitos.

Qual é a fórmula do ponto médio?

Tire a média de cada coordenada separadamente. O x do ponto médio é a soma dos dois valores de x dividida por dois, e o y do ponto médio é a soma dos dois valores de y dividida por dois, e é por isso que a resposta fica sempre entre as extremidades, eixo por eixo, e não em outro lugar qualquer do plano. Para as extremidades (1, 2) e (5, 8) isso dá 3 e 5, porque 1 e 5 têm média 3 e 2 e 8 têm média 5. Não há segunda regra escondida atrás da primeira: se você sabe tirar a média de dois números, você sabe achar um ponto médio.

Por que a página imprime um terceiro número além das duas coordenadas?

Porque duas coordenadas não dá para conferir e uma metade do comprimento dá. Todo ponto tem coordenadas, então um ponto médio errado continua sendo um par de números plausível, sem nada que o denuncie. A metade do comprimento é a distância do ponto médio até qualquer das extremidades, e por definição essas duas distâncias são iguais — compará-la com metade do comprimento que você mediu é uma conferência que passa ou falha na hora. Ela também é muitas vezes o número que você queria de verdade: a distância do meio de alguma coisa até a borda dela.

As coordenadas têm unidade?

Não, e a resposta também não. A página trata os seus números como coordenadas puras, o que é deliberado: um plano cartesiano não tem unidade própria, e uma calculadora que obrigasse você a escolher centímetros ou polegadas antes de digitar uma leitura de gráfico estaria inventando uma unidade que você nunca teve. Se os seus pontos vieram de um mapa em metros, leia a saída em metros; se são longitude e latitude, leia a metade do comprimento em graus, que não é uma distância em quilômetros e não pode ser convertida em uma sem saber em que ponto do globo você está.

O ponto médio pode cair fora do segmento?

Não, e isso é útil saber na hora de conferir uma resposta. O ponto médio de dois números é a média deles, e uma média nunca fica fora do intervalo dos números que a formam, então o ponto médio de um segmento está sempre em algum lugar entre as duas pontas — na fronteira apenas quando as duas extremidades são iguais. Se a página devolver um ponto que não está entre as suas duas extremidades, as entradas é que estão erradas, não a aritmética. Um sinal de menos perdido é a causa habitual.

O que acontece se as duas extremidades forem o mesmo ponto?

Você recebe aquele ponto de volta e uma metade do comprimento igual a zero, que é a resposta correta e não um erro. Um ponto e ele mesmo definem um segmento de comprimento nenhum, e o ponto médio desse segmento é o próprio ponto. É a única entrada capaz de produzir um zero na terceira linha, já que uma metade de comprimento zero exige que as duas diferenças se anulem. A página não vai reclamar, porque não há do que reclamar.

Quantas casas decimais tem a resposta?

Quatro, e os zeros à direita são impressos em vez de descartados, então o ponto médio de (1, 2) e (5, 8) aparece como 3,0000 e 5,0000. Esses zeros são uma afirmação sobre a largura de exibição e não sobre certeza: a coordenada é exatamente 3, e a página a imprime assim para manter uma coluna de números alinhada. A metade do comprimento é a que costuma ser aproximada, já que na maioria das entradas é uma raiz quadrada, e quatro casas é onde a página para de escrevê-la.

O ponto médio é o mesmo se eu trocar as duas extremidades?

Sim. A adição não se importa com a ordem, então a média de 1 e 5 é igual à média de 5 e 1, e o mesmo vale para todos os outros campos. A única coisa que muda ao trocar as pontas é o sinal das duas diferenças usadas para a metade do comprimento — e como as diferenças são elevadas ao quadrado antes de serem somadas, a metade do comprimento também sai igual. Troque os pares à vontade; nada na página depende de qual ponta você chamou de primeira.

• Midpoint — the point on a line segment equidistant from both endpoints, with the coordinate formula for it and the property that the midpoint of a diameter is the centre of a circle — Wolfram MathWorld (United States)
• Line segment — the part of a line bounded by two endpoints, and the object whose midpoint this page returns — Wolfram MathWorld (United States)
• Point — the coordinate pair this page takes in and gives back, and the reason a coordinate-plane problem carries no unit unless the axes were drawn with one — Wolfram MathWorld (United States)