Calculadora de ponto extremo

Outra extremidade em x = 2 × (x do ponto médio) − (x conhecido) Outra extremidade em y = 2 × (y do ponto médio) − (y conhecido) Distância até o ponto médio = √((x conhecido − x do ponto médio)² + (y conhecido − y do ponto médio)²)

Ponto médio

Um x e um y do ponto no meio do segmento. Ele é dado por você e não calculado, então precisa ser o ponto médio verdadeiro do segmento que você tem em mente — a página não tem como perceber que não é

Extremidade conhecida

A ponta que você já tem. Precisa ser uma das duas extremidades e não outro ponto qualquer do segmento, já que a regra supõe que ela está exatamente tão longe do ponto médio quanto a resposta estará

Outra extremidade

A resposta, uma coordenada por eixo, cada uma arredondada para quatro casas decimais. Ela fica à mesma distância do ponto médio que a extremidade conhecida, mas do lado oposto, então em geral está fora da faixa dos números que você digitou

Distância até o ponto médio

A distância da extremidade conhecida até o ponto médio, calculada diretamente a partir desses dois pontos. É a conferência que a página faz de si mesma: a extremidade recuperada tem de ficar à mesma distância do ponto médio, e comparar este número com a sua própria medição é o que pega um sinal invertido

Quatro casas decimais

A largura com que todo número é escrito, zeros à direita incluídos. Coordenadas inteiras ainda saem com quatro zeros depois da vírgula, o que é uma escolha de exibição e não uma afirmação sobre precisão

O trabalho mais óbvio é fechar uma figura: você tem o centro de alguma coisa e uma borda, e precisa do ponto exatamente oposto. O centro de um círculo e uma ponta de um diâmetro dão a você a outra ponta desse diâmetro, que é o mesmo problema com outras palavras. Um topógrafo que cravou uma estaca no meio de um trecho e sabe onde uma das pontas caiu quer a outra ponta, e é exatamente esta página. Aparece também no desenho — o meio de uma linha e uma ponta, e você quer a ponta oposta para posicionar um espelho ou um elemento simétrico. Há um segundo uso menos óbvio e muitas vezes mais valioso: conferir. Dado um segmento, pegue o ponto médio dele, jogue esse ponto e uma das extremidades aqui, e a página deve devolver a outra extremidade. Se não devolver, o ponto médio estava errado ou o segmento não é reto, e de qualquer jeito você descobriu algo que valia saber antes de construir em cima disso. A linha da distância até o ponto médio é a versão mais rápida dessa conferência, já que uma figura cujas duas metades discordam não é simétrica em relação ao ponto que você achava que era o meio dela. Um hábito deixa a resposta muito mais fácil de confiar: antes de ler o resultado, pergunte de que lado do ponto médio o novo ponto deve estar. A resposta é sempre o lado oposto ao da extremidade que você informou, e um resultado do mesmo lado da extremidade conhecida é um erro de sinal e não uma surpresa.

1. O par padrão, que é o padrão da página do ponto médio lido ao contrário

   1. Dobre o x do ponto médio: 3 × 2 = 6, depois tire o x conhecido: 6 − 1 = 5
   2. Dobre o y do ponto médio: 5 × 2 = 10, depois tire o y conhecido: 10 − 2 = 8
   3. A outra extremidade é (5, 8)
   4. Distância até o ponto médio: o vão de (1, 2) até (3, 5) é √(4 + 9) = √13 = 3,6056

   O mesmo segmento com que a página do ponto médio carrega, rodado no outro sentido: informe àquela página (1, 2) e (5, 8) e ela devolve (3, 5), que é de onde esta começa. As duas páginas concordarem é a conferência mais barata possível de que nenhuma das fórmulas está com os sinais trocados, e ela vale para qualquer entrada e não só para esta. A distância de 3,6056 é o mesmo número que a página do ponto médio imprime para o mesmo segmento, o que não é coincidência — é o mesmo vão medido a partir do mesmo par de pontos.

2. A outra ponta de um segmento cujo meio é a origem

   1. Dobre o x do ponto médio: 0 × 2 = 0, depois tire o x conhecido: 0 − 3 = −3
   2. Dobre o y do ponto médio: 0 × 2 = 0, depois tire o y conhecido: 0 − 4 = −4
   3. A outra extremidade é (−3, −4)
   4. Distância até o ponto médio: o vão de (3, 4) até a origem é √(9 + 16) = 5

   Um ponto médio na origem faz a regra colapsar numa troca de sinal, e é o caso mais claro para ver o que a página faz: a resposta é o reflexo da extremidade conhecida através do ponto médio. Com vários zeros na entrada também é fácil perder um sinal, então esta é a entrada a usar quando um resultado parecer errado — a resposta aqui é obrigatória e não há nada para arredondar.

3. Uma extremidade no quadrante oposto

   1. Dobre o x do ponto médio: (−2) × 2 = −4, depois tire o x conhecido: −4 − 4 = −8
   2. Dobre o y do ponto médio: 1 × 2 = 2, depois tire o y conhecido: 2 − (−3) = 5
   3. A outra extremidade é (−8, 5)
   4. Distância até o ponto médio: o vão de (4, −3) até (−2, 1) é √(36 + 16) = √52 = 7,2111

   Aqui todo sinal está fazendo alguma coisa, e a segunda linha é a que pega as pessoas: subtrair um y negativo soma, então a resposta 5 está acima do ponto médio 1 e não abaixo dele. A extremidade recuperada cai no quadrante diagonalmente oposto ao da extremidade conhecida, que é o padrão geral — um segmento que passa por um ponto médio atravessa de um lado para o outro nos dois eixos ao mesmo tempo. A ressalva é quando uma das coordenadas coincide nos três pontos, como no segmento vertical da tabela: aí o avanço acontece só no outro eixo, e falar em quadrante oposto deixa de descrever o que se vê.

4. Uma extremidade conhecida que é o próprio ponto médio

   1. Dobre o x do ponto médio: 2 × 2 = 4, depois tire o x conhecido: 4 − 2 = 2
   2. O mesmo para o y: 4 − 2 = 2
   3. A outra extremidade é (2, 2), o ponto de onde você partiu
   4. Distância até o ponto médio: o vão é zero, porque os dois pontos coincidem

   Um segmento de comprimento zero é o único caso em que a resposta não está do outro lado do ponto médio — ela é o ponto médio, e a extremidade conhecida está lá também. Isso é a resposta correta e não uma falha degenerada: se as duas extremidades de um segmento são o mesmo ponto, então esse ponto também é o meio dele, e a página não tem mais nada a dizer. Vale ver uma vez para que uma coordenada repetida não seja lida como defeito.

5. Um ponto médio bem longe da extremidade conhecida

   1. Dobre o x do ponto médio: 1.000.000 × 2 = 2.000.000, depois tire o x conhecido: 2.000.000 − 0 = 2.000.000
   2. Dobre o y do ponto médio: 0 × 2 = 0, depois tire o y conhecido: 0 − 0 = 0
   3. A outra extremidade é (2.000.000, 0)
   4. Distância até o ponto médio: o vão da origem até (1.000.000, 0) é 1.000.000

   O caso que mostra que a resposta não fica presa à faixa das entradas. Os dois números digitados estão a até um milhão da origem, e a resposta está a dois milhões — mais longe do que qualquer coisa da página, porque a extremidade conhecida e a resposta ficam uma de cada lado do ponto médio em vez de perto uma da outra. Não há estouro nem aproximação aqui: dobrar e subtrair números inteiros continua exato muito além desse tamanho.

A página supõe que o ponto que você chama de ponto médio realmente seja um. Ela não verifica que a extremidade conhecida e a recuperada estão à mesma distância dele — ela constrói a segunda para que estejam, o que quer dizer que um ponto médio errado na entrada produz uma resposta errada exatamente na mesma medida, e a página não tem como perceber. Se o ponto médio que você tem é uma estimativa e não uma medição, a resposta também é. As coordenadas não têm unidade, e a página não converte nem guarda nenhuma, então ela não consegue ver que um ponto médio em metros e uma extremidade em milímetros foram misturados. Os quatro campos de entrada estão limitados a mais ou menos um bilhão, mas a extremidade recuperada não está: ela pode chegar a três bilhões, e isso está certo e não é defeito, porque dobrar e depois subtrair pode ultrapassar os números que foram dados. Uma coordenada recuperada fora da faixa que você digitou é normal nesta página. A distância até o ponto médio sai arredondada para quatro casas decimais e costuma ser irracional, então ela é uma aproximação na maioria das entradas, e uma conferência à mão contra a sua própria medição nem sempre vai concordar até o último dígito. Por fim, a página recupera um ponto e não diz mais nada: ela não dá o comprimento total do segmento, a inclinação da reta que passa por ele nem uma terceira dimensão, então um par de pontos no espaço não pode ser completado aqui mesmo que duas das três coordenadas sejam conhecidas.

Qual é a fórmula do ponto extremo?

Dobre o ponto médio e subtraia a extremidade que você conhece, uma vez para cada eixo. Se o ponto médio é 3 e a extremidade conhecida é 1, a outra extremidade é 6 menos 1, que dá 5. É a regra do ponto médio reorganizada: o ponto médio é a média das duas extremidades, então as duas somadas dão o dobro do ponto médio, e tirar uma delas deixa a outra. Não há nada extra para decorar além do sentido da última subtração.

Por que a resposta está fora da faixa dos números que eu digitei?

Porque as duas extremidades ficam em lados opostos do ponto médio, então a resposta está tão longe além do meio quanto a extremidade que você informou está aquém dele. Informe um ponto médio a um milhão da origem e uma extremidade conhecida na origem, e a resposta fica a dois milhões. Não é estouro nem erro — dobrar e subtrair pode produzir um número maior que qualquer uma das entradas, e a página não tem limite próprio para o resultado, só o limite de um bilhão para o que você pode digitar nos quatro campos.

Para que serve o terceiro número da página?

É a página conferindo a si mesma. Um ponto médio está à mesma distância das duas extremidades, então o vão entre a extremidade conhecida e o ponto médio tem de ser igual ao vão entre o ponto médio e a extremidade que você acabou de recuperar. A página imprime o primeiro desses dois vãos, e se ele bater com a metade do segmento que você já conhecia, a resposta é coerente. Comparar com o segundo vão não provaria nada, já que a página estaria usando a própria resposta para testar a própria resposta.

A página confere se o meu ponto médio é mesmo o ponto médio?

Não, e não tem como. A página usa o ponto que você chama de ponto médio como o dado de partida e constrói a outra extremidade para que ela fique à mesma distância — então, se o ponto informado não era o meio verdadeiro do segmento, a resposta vai estar errada exatamente na mesma medida e nada na página vai parecer estranho. Um ponto médio que é estimativa e não medição dá uma extremidade estimada. A linha da distância até o ponto médio é o único apoio que você tem, e ela só fala da geometria que você informou, não do mundo.

Posso usar isto para pontos no espaço?

Só se você trabalhar um eixo de cada vez. A página tem dois campos de coordenada por ponto e nenhum terceiro, então um problema tridimensional não pode ser informado como está. A regra em si não tem nada a ver com duas dimensões — dobre o ponto médio e subtraia a extremidade conhecida, em todos os eixos —, então você pode aplicar a mesma aritmética à terceira coordenada por conta própria, mas a página não vai fazer isso nem mostrar o resultado.

E se a extremidade conhecida for o próprio ponto médio?

Então a resposta é esse mesmo ponto, e a distância até o ponto médio é zero. Um segmento cujas extremidades coincidem não tem comprimento, e o meio dele é o próprio ponto, então nada deu errado. É o único caso em que a extremidade recuperada não está do lado oposto do ponto médio, e vale vê-lo uma vez para que uma coordenada repetida não pareça falha do cálculo.

• Midpoint — the point on a line segment equidistant from both endpoints, and the relation this page inverts to recover the far end from the middle and one end — Wolfram MathWorld (United States)
• Line segment — the part of a line bounded by two endpoints, where knowing the middle and one end determines the other end completely — Wolfram MathWorld (United States)
• Point — the coordinate pair the page takes in and gives back, and the reason no unit is attached to any of it — Wolfram MathWorld (United States)