Calculadora de inclinação

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) θ = arctan(m) declividade % = m × 100

m

A inclinação, ou a variação em y sobre a variação em x: quanto a reta sobe a cada unidade que avança para a direita. Não tem unidade, porque é uma distância dividida por outra. Positiva significa que a reta sobe conforme x aumenta, negativa que desce, e 0 que ela é horizontal. É a resposta principal desta página, e é a única leitura que não muda ao trocar os dois pontos, já que a troca inverte ao mesmo tempo a variação em y e a variação em x, e a razão de dois negativos é a mesma razão

Δy = y₂ − y₁

A variação em y, a diferença entre os dois valores de y e o numerador da inclinação. Ela conserva o sinal: ir de um y igual a 5 para um y igual a 1 dá uma variação de −4, e é o sinal de menos que torna a inclinação negativa. É o número que você obteria medindo a distância vertical entre os dois pontos, e ela é impressa na página para que a inclinação possa ser conferida à mão

Δx = x₂ − x₁

A variação em x, a diferença entre os dois valores de x e o denominador da inclinação. É a distância horizontal entre os pontos e, ao contrário da inclinação e do ângulo, na prática nunca é negativa numa leitura da esquerda para a direita, embora a página conserve o sinal que a subtração der. Ela não pode ser 0: uma variação em x igual a zero é uma reta vertical, que não tem inclinação, e a página para em vez de dividir por zero. O emparelhamento importa aqui — x₁ anda junto com y₁ e x₂ com y₂, e embaralhar os quatro números em pontos que não são os que você mediu dá a inclinação de outra reta

θ = arctan(m)

O ângulo de inclinação em graus, o ângulo que a reta forma com a horizontal, impresso com duas casas decimais. Ele vem do arco tangente da inclinação, e é por isso que está sempre entre −90 e 90 e que se repete a cada 180 graus: a reta que passa pelos dois pontos continua nos dois sentidos, e o ângulo descreve a direção dela, não um segmento em particular. Uma inclinação de 0,5 dá 26,57 graus, uma inclinação de 1 dá 45, e uma inclinação íngreme de 10 dá 84,29 — o ângulo se aproxima de 90 conforme a reta chega perto da vertical, sem nunca alcançá-la

declividade % = m × 100

A mesma inclinação como declividade em porcentagem, impressa com duas casas decimais: a variação em y como porcentagem da variação em x. Uma inclinação de 0,5 é uma declividade de 50%, uma inclinação de 1 é 100%, e a reta suave de 1 em 12 é 8,33%. A porcentagem não é o ângulo e é fácil confundir as duas: uma declividade de 100% tem apenas 45 graus, porque a declividade mede a variação em y contra a variação em x, enquanto o ângulo mede a variação em y contra a própria distância inclinada

Use esta página quando o que você tem são dois pontos, o que na prática significa coordenadas e não medições: duas posições levantadas numa planta, duas leituras de um gráfico, dois cantos marcados num desenho, duas amostras de uma tabela de valores de x e y. Ela responde à pergunta que vem logo depois da distância entre dois pontos, e responde na forma em que a reta é descrita na matemática — a inclinação, da qual a equação da reta sai diretamente. É também a página honesta para uma reta que desce, já que o sinal da inclinação é impresso em vez de descartado. Use a calculadora de declividade quando a subida e o avanço já tiverem sido medidos como distâncias separadas e a pergunta for a que se escreve na obra — uma queda de uma polegada por pé, uma subida de dois centímetros por metro —, porque aquela página pula a subtração de coordenadas e toma esses dois números diretamente. Use a calculadora de distância quando o que você quer é o comprimento entre os dois pontos e não a direção da reta que passa por eles; a calculadora de ponto médio, para o ponto que fica no meio do caminho; e a calculadora de ponto final quando você tem o ponto médio e uma das extremidades de um segmento e quer a outra. Juntas, as quatro descrevem o mesmo segmento — o comprimento, a posição, a direção e onde ele termina.

1. Pontos (0, 0) e (4, 2)

   1. Variação em y: 2 − 0 = 2
   2. Variação em x: 4 − 0 = 4
   3. Inclinação: 2 ÷ 4 = 0,5
   4. Ângulo de inclinação: arctan(0,5) = 26,565…° → 26,57
   5. Declividade: 0,5 × 100 = 50%

   A linha padrão e a mais fácil de conferir à mão, já que começar na origem faz da variação em y o y do segundo ponto e da variação em x o x dele. Uma inclinação de 0,5 significa meia unidade para cima a cada unidade para o lado, o que é suave o bastante para passar despercebido ao caminhar — uma rampa acessível fica em torno de 1 em 12, um sexto disto. As três leituras concordam entre si do modo que a página pretende: 0,5, 26,57 graus e 50% são a mesma inclinação escrita de três maneiras, e a variação em x de 4 é a única delas que você poderia medir com uma trena.

2. Pontos (1, 2) e (5, 8)

   1. Variação em y: 8 − 2 = 6
   2. Variação em x: 5 − 1 = 4
   3. Inclinação: 6 ÷ 4 = 1,5
   4. Ângulo de inclinação: arctan(1,5) = 56,309…° → 56,31
   5. Declividade: 1,5 × 100 = 150%

   Nenhum dos pontos na origem, que é o caso comum e o que mostra por que a página subtrai em vez de ler as coordenadas: os dois pontos estão acima e à direita da origem, e nenhuma coordenada sozinha é a variação em y ou a variação em x. Uma declividade de 150% é a leitura que surpreende, porque uma porcentagem acima de 100 soa impossível — não é, e significa apenas que a reta sobe mais do que avança para o lado. O ângulo de inclinação de 56,31 graus é a conferência: tudo acima de uma inclinação de 1 é mais íngreme que 45 graus, e tudo abaixo é mais suave.

3. Pontos (0, 0) e (12, 1)

   1. Variação em y: 1 − 0 = 1
   2. Variação em x: 12 − 0 = 12
   3. Inclinação: 1 ÷ 12 = 0,08333… → 0,0833
   4. Ângulo de inclinação: arctan(0,08333…) = 4,763…° → 4,76
   5. Declividade: 0,08333… × 100 = 8,33%

   A inclinação suave, e a linha que encontra a calculadora de declividade no mesmo número: aqui uma subida de um sobre uma variação em x de doze é 8,33%, e lá uma polegada de subida por pé de percurso é 8,33% — uma única razão escrita de duas maneiras, uma vez a partir de dois pontos e outra a partir de duas distâncias medidas. Essa razão é o máximo padrão de muitas normas de acessibilidade para rampas, e lê-la como uma inclinação de 0,0833 ou um ângulo de 4,76 graus é o que esta página acrescenta — o ângulo é pequeno, e é exatamente por isso que a declividade é citada como porcentagem: 4,76 graus é difícil de mirar, e 1 em 12 é fácil de medir.

4. Pontos (2, 5) e (7, 1)

   1. Variação em y: 1 − 5 = −4
   2. Variação em x: 7 − 2 = 5
   3. Inclinação: −4 ÷ 5 = −0,8
   4. Ângulo de inclinação: arctan(−0,8) = −38,659…° → −38,66
   5. Declividade: −0,8 × 100 = −80%

   Uma reta que desce, e a razão pela qual a página imprime a variação em y além da razão: o sinal de menos vem da variação em y, então quem visse apenas −0,8 não saberia dizer se a variação em x foi tomada ao contrário. A variação em x continua positiva em 5, porque é uma distância para a direita, e só a direção vertical carrega o sinal. Lida da esquerda para a direita, esta reta cai 80 centímetros a cada metro percorrido — o tipo de número com que se especifica a queda de um ralo ou a inclinação de uma escada, e que seria ativamente enganoso sem o sinal.

Esta página calcula a inclinação de uma reta a partir de dois pontos, e nada mais. Ela não ajusta uma reta a mais de dois pontos, não informa onde a reta cruza cada eixo e não dá a equação da reta, embora a inclinação que imprime seja a primeira metade de uma. Também não funciona ao contrário: uma inclinação sozinha descreve uma direção e não uma reta, e existem infinitas retas com inclinação 0,5 — você precisaria também de um ponto, que é o que a forma ponto-inclinação faz com os mesmos números que esta página produz. As quatro coordenadas são números puros e não têm unidade, então não há nada a converter e nada a escolher: se os seus pontos estão em metros, a inclinação é metros por metro e a variação em x é metros, e a página não vai rotular nenhum dos dois. É também por isso que ela não consegue avisar sobre mistura de unidades — informe x em metros e y em centímetros e ela vai dividir assim mesmo, dando uma inclinação cem vezes maior, sem nenhum sinal de que algo está errado. Uma reta vertical é recusada em vez de respondida, porque a inclinação de uma reta vertical não existe; se os seus dois pontos têm o mesmo x, confira se são mesmo dois pontos distintos, já que dois pontos idênticos dão a mesma recusa. Uma reta horizontal é respondida, com inclinação e ângulo iguais a 0. Trocar os dois pontos deixa a inclinação e o ângulo inalterados, já que as duas diferenças mudam de sinal juntas, mas emparelhar as coordenadas nos pontos errados — x₁ com y₂ — descreve silenciosamente outra reta, e nenhuma conferência nesta página consegue pegar isso, porque quaisquer quatro números são as coordenadas de alguma reta. Nada aqui é classificado em faixas: suave e íngreme são julgamentos relativos e a página não faz nenhum deles. A inclinação é impressa com quatro casas decimais e o ângulo e a declividade com duas, que são larguras de exibição compartilhadas com o resto desta subcategoria e não afirmações sobre precisão; uma inclinação de 0,0833 é um 1 em 12 arredondado, e um levantamento com precisão de centímetro ao longo de um metro não justifica o último dígito.

Como calcular a inclinação a partir de dois pontos?

Subtraia os valores de y para obter a variação em y, subtraia os valores de x para obter a variação em x e divida: a inclinação é (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁). Os pontos (0, 0) e (4, 2) dão uma variação em y de 2 e uma variação em x de 4, logo a inclinação é 0,5. Não importa qual ponto você chama de primeiro, já que a troca inverte as duas diferenças e os dois negativos se cancelam — mas importa que x₁ esteja emparelhado com y₁.

Como transformar uma inclinação em graus?

Tome o arco tangente da inclinação. Uma inclinação de 0,5 dá 26,57 graus, uma inclinação de 1 dá 45 graus e uma inclinação de 10 dá 84,29 graus. O ângulo sempre cai entre −90 e 90, porque o arco tangente não distingue os dois sentidos da reta — a reta que passa pelos seus dois pontos continua para os dois lados, e o ângulo descreve a inclinação dela, não um sentido ao longo dela.

O que significa uma inclinação negativa?

Que a reta desce conforme você lê da esquerda para a direita. Os pontos (2, 5) e (7, 1) caem 4 ao longo de uma variação em x de 5, então a inclinação é −0,8 e o ângulo de inclinação é −38,66 graus. O sinal de menos não é erro e a página não toma valor absoluto: é a diferença entre uma rampa que sobe e um ralo que escoa, que são detalhes construtivos opostos feitos com os mesmos números. A variação em x continua positiva; só a variação em y carrega o sinal.

Uma declividade de 100% é o mesmo que um ângulo de 90 graus?

Não, e esta é a confusão mais comum com declividades. Uma declividade de 100% significa que a variação em y é igual à variação em x, o que é uma inclinação de 1 — e isso são 45 graus, não 90. A declividade compara a variação em y com a variação em x, enquanto o ângulo compara a variação em y com a própria distância inclinada. Mais íngreme que 100% é perfeitamente possível: uma inclinação de 1,5 é uma declividade de 150% e apenas 56,31 graus, e o ângulo só se aproxima de 90 conforme a declividade tende ao infinito.

E se os dois pontos tiverem o mesmo x?

Então a reta é vertical e não tem inclinação. A variação em x é 0 e a divisão é indefinida, então a página diz isso em vez de imprimir um infinito — a inclinação de uma reta vertical não é um número muito grande, é a ausência de um. Se você queria dois pontos distintos, confira os valores de x; se a reta for mesmo vertical, a calculadora de distância dá o comprimento entre eles, que é a única coisa que uma reta vertical tem.

Qual é a diferença em relação à calculadora de declividade?

As duas calculam o mesmo número a partir de entradas diferentes. Esta página toma dois pontos e subtrai as coordenadas por conta própria; a calculadora de declividade toma a subida e o avanço como duas distâncias que você já mediu, que é como as declividades são escritas na obra — uma polegada de queda por pé, dois centímetros de subida por metro. Os pontos (0, 0) e (12, 1) daqui dão 8,33%, a mesma cifra que aquela página dá para uma polegada de subida por pé de percurso. Note que os dois campos de lá não compartilham unidade — a subida é lida em polegadas e o avanço em pés —, então a mesma razão é informada lá como 1 e 1, não como 1 e 12.

• Slope — the rise over the run, with the sign conventions for lines that fall as well as rise, and the relation between the slope, the angle of inclination and the grade — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — the straight line through two points, whose direction is the slope this page computes and whose other properties follow from it — Wolfram MathWorld (United States)
• Point-Slope Form — where the slope from two points is used next: the equation of the line through them, which needs a slope and one point — Wolfram MathWorld (United States)