Calculadora de área do triângulo
Resultado
Área
A calculadora de área do triângulo recebe uma base e a altura perpendicular acima dela e devolve quanta superfície o triângulo cobre, em centímetros quadrados. A fórmula é uma das mais curtas da matemática — base vezes altura, dividido por dois — e a divisão por dois é a parte que vale entender, porque todo o resto desta página decorre dela. Pegue um triângulo qualquer, copie-o, gire a cópia meia volta e junte as duas ao longo de um lado correspondente: o que sai é um paralelogramo, com a mesma base, a mesma altura e o dobro da área. É por isso que a parte do triângulo é metade e não o todo, e isso vale para todo triângulo e não apenas para os bem-comportados. Um triângulo retângulo é o caso mais fácil de enxergar, já que a cópia desliza direto e o paralelogramo vira um retângulo — mas o argumento não depende de haver um ângulo reto em lugar nenhum da figura, e a fórmula também não. A palavra com que é preciso cuidado é altura. Ela significa a distância perpendicular da base até o vértice oposto, medida em ângulo reto com a base, e não o comprimento de nenhum dos lados inclinados. Esses dois números só são iguais quando o triângulo por acaso é retângulo, e usar um lado inclinado no lugar da altura é a maneira mais comum de obter uma resposta que parece razoável e está errada. Uma calculadora que pede a altura perpendicular está pedindo que você faça essa medição antes de digitar qualquer coisa, então vale ter certeza de qual número você tem.
A área de um triângulo a partir de uma base e da sua altura perpendicular
| Base (cm) | Altura (cm) | Área (cm²) |
|---|---|---|
| 10 | 6 | 30 |
| 7 | 4 | 14 |
| 5 | 8 | 20 |
| 12 | 9 | 54 |
| 4 | 4 | 8 |
| 6 | 2.5 | 7.5 |
| 1 | 1 | 0.5 |
| 0 | 5 | 0 |
Oito triângulos e três colunas, porque a página tem uma fórmula e uma resposta. A primeira linha é o par com que a página carrega, e é também a linha que explica a fórmula: compare com a página do paralelogramo, em que uma base de 10 e uma altura de 6 dão 60 em vez de 30. Exatamente o dobro, sempre, e é isso que explica a divisão por dois. A terceira linha é a que se compara com a página do trapézio: uma base de 5 com uma altura de 8 dá 20, e um trapézio cuja base superior é zero e cuja base inferior é 10 com uma altura de 4 também dá 20, porque esse trapézio é um triângulo. A quinta linha é o triângulo retângulo isósceles, em que a base e a altura por acaso são o mesmo número e a área é metade daquele quadrado — 4 e 4 dão 8. A sexta é uma altura com vírgula, em que dividir 15 por dois dá 7,5 exatamente e nada se perde no arredondamento. A sétima é o triângulo unitário, uma base de 1 com uma altura de 1, que tem área 0,5 e vale guardar como a menor resposta que faz sentido. A última linha é uma altura zero, em que o triângulo colapsou sobre a própria base e não cobre nada — uma resposta real e não uma resposta faltante. Cada valor aqui é recalculado a partir das suas duas entradas quando a página é construída, em centímetros, e as quatro casas decimais são as mesmas quatro casas decimais que o painel de resultados usa. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.
Fórmula
A = b × h ÷ 2
- Base
- Qualquer um dos três lados, em centímetros. Qual deles você escolhe não importa, desde que a altura seja medida em relação a esse mesmo lado
- Altura
- A distância perpendicular da base até o vértice oposto, em centímetros — medida em ângulo reto com a base, nunca ao longo de um lado inclinado
- Área
- Quanta superfície o triângulo encerra, em centímetros quadrados. Metade do que cobriria um paralelogramo de mesma base e mesma altura
- Dois
- O divisor, e a razão inteira de a fórmula não ser simplesmente base vezes altura. Um triângulo é metade do paralelogramo feito girando meia volta uma cópia dele
- b × h
- A área desse paralelogramo, calculada primeiro e dividida por dois depois. Fazer a multiplicação antes da divisão é o que mantém o último dígito correto quando os números não são inteiros
- Quatro casas decimais
- A largura com que a leitura é escrita. Dividir por dois um produto exato pode deixar uma fração — uma base de 7 com uma altura de 5 dá 17,5, e uma base de meio centímetro dá um quarto
- Centímetros quadrados
- A unidade da resposta diga o que disser a lista. Uma área está sempre em unidades ao quadrado, então uma base e uma altura dadas em polegadas voltam como um valor em centímetros quadrados que precisa ser dividido por 6,4516 para ser lido em polegadas quadradas
Esta página responde à pergunta da área para qualquer figura que seja um triângulo, seja do que for feita e seja como for desenhada. Terreno é o uso mais antigo: um lote que termina em ponta é um triângulo, e um lote de quatro cantos são dois triângulos, e é por isso que os agrimensores trabalham assim desde que existem escrituras. Telhados, revestimentos e vidraçaria são os usos modernos, e todos eles trazem uma conta junto — um oitão, um vidro triangular, uma cunha de chapa de metal, cada um cotado por metro quadrado, então a área precisa estar certa antes de o pedido sair. Tecido e papel cortados na diagonal são a mesma conta com outra unidade, e o mesmo vale para a vela de um barco ou para a face triangular de uma pirâmide. É também a segunda metade de muitíssimos outros trabalhos. Qualquer polígono pode ser dividido em triângulos, e uma vez que você saiba fazer um deles o resto é aritmética — e é por isso que esta fórmula aparece dentro de calculadoras de quadriláteros, de prismas e de telhados, e por que vale conhecê-la bem por si mesma. E há a versão de sala de aula: triângulos retângulos, isósceles, os desenhados em papel quadriculado em que você consegue contar os quadradinhos e conferir a resposta sozinho. Vale fazer essa conferência uma vez, porque ver que a contagem e a fórmula concordam é o que faz a divisão por dois deixar de ser uma regra a decorar.
Exemplos resolvidos
Uma base de 10 e uma altura de 6
- Multiplique a base pela altura: 10 × 6 = 60
- Divida por dois: 60 ÷ 2 = 30
O par com que a página carrega, e a linha que mostra a relação com o paralelogramo: informe a mesma base e a mesma altura como paralelogramo e você obtém 60, que é exatamente o dobro disto. Se você guardar um número desta página, guarde esse — é a maneira mais rápida de saber se uma área de triângulo que lhe deram é plausível.
Uma base de 7 e uma altura de 4
- Multiplique a base pela altura: 7 × 4 = 28
- Divida por dois: 28 ÷ 2 = 14
O caso comum: uma base ímpar, uma altura par e uma resposta de número inteiro. Nada aqui é uma figura especial e nada precisou ser medido num ângulo conveniente. É assim que a maioria dos triângulos reais se parece — um lote irregular, um oitão, um pedaço de cartão cortado em ângulo — e a fórmula não se importa que os lados sejam desiguais.
Uma base de 5 e uma altura de 8
- Multiplique a base pela altura: 5 × 8 = 40
- Divida por dois: 40 ÷ 2 = 20
A linha a comparar com a página do trapézio. Dê a um trapézio uma base superior 0, uma base inferior 10 e uma altura 4 e você obtém 20 — o mesmo número, porque um trapézio com uma base nula é um triângulo. As duas páginas imprimem o mesmo valor para a mesma figura, o que é o motivo de existirem as duas.
Uma base de 12,5 e uma altura de 8
- Multiplique a base pela altura: 12,5 × 8 = 100
- Divida por dois: 100 ÷ 2 = 50
Uma medida com vírgula, que é o que uma trena costuma dar. A multiplicação acontece antes da divisão e a divisão é exata, então não entra erro de arredondamento nenhum — a resposta é 50 exatamente, e não 50,0000 e tanto.
Uma base de 20 e uma altura de 0
- Multiplique a base pela altura: 20 × 0 = 0
- Divida por dois: 0 ÷ 2 = 0
Uma altura zero significa que o triângulo foi achatado sobre a própria base e agora é um segmento de reta. Zero é uma entrada legítima, então esta é uma resposta de verdade e não uma resposta faltante — a página a distingue de deixar uma caixa vazia, o que não mostra resultado algum porque não há de onde partir.
Limitações
Esta página recebe uma base e uma altura perpendicular e nada mais. Ela não trabalha a partir dos três lados de um triângulo, que é outra conta, com outra fórmula e outra página. Ela não dá perímetro, ângulos nem comprimentos de lado, e a altura não é um lado inclinado — se a única medida que você tem é ao longo de uma das arestas do triângulo, essa aresta precisa ser transformada numa altura perpendicular antes de servir aqui. A resposta é sempre em centímetros quadrados seja qual for a unidade em que a lista está, e como isto é uma área a conversão é ao quadrado: uma base e uma altura informadas em polegadas voltam em centímetros quadrados, e para ler isso em polegadas quadradas você divide por cerca de 6,45 e não por 2,54. Quatro casas decimais é uma largura de exibição e não uma afirmação sobre precisão, e metade de um produto exato pode genuinamente ser uma fração — uma base de 7 com uma altura de 5 dá 17,5. Zero é aceito em qualquer das duas entradas e dá uma resposta zero, o que é correto para um triângulo degenerado e não é o mesmo que deixar as caixas em branco. Nada aqui trata de um lado curvo, de um triângulo desenhado sobre uma esfera, nem da espessura de um pedaço de material — isto é apenas a figura plana, bidimensional.
Perguntas frequentes
- Qual lado é a base?
- Qualquer um dos três, desde que a altura seja medida em relação ao que você escolheu. Um triângulo tem três pares possíveis de base e altura e os três dão a mesma área, o que é uma boa conferência para fazer uma vez: pegue um triângulo, calcule a área a partir de cada vértice e veja as três respostas concordarem. A página não se importa com qual par você usa.
- Por que a resposta é metade de base vezes altura?
- Porque duas cópias de um triângulo formam um paralelogramo. Pegue o triângulo, copie-o, gire a cópia meia volta e junte as duas ao longo de um lado correspondente — a figura que você obtém tem a mesma base e a mesma altura e exatamente o dobro da área. O triângulo é metade dela. Esse é o argumento inteiro, e ele vale para todo triângulo, não apenas para os bem-comportados.
- Posso usar um lado inclinado como altura?
- Não, e é esse o erro que a página existe para evitar. A altura é a distância perpendicular da base até o vértice oposto, medida em ângulo reto com a base. Um lado inclinado é maior que essa distância sempre que o triângulo se inclina, então usá-lo infla a área. Os dois números só são iguais num triângulo retângulo, em que um dos lados por acaso já fica em ângulo reto com a base.
- Onde está a versão pelos três lados?
- Em uma página própria. Calcular a área de um triângulo a partir dos três comprimentos de lado usa outra fórmula e uma raiz quadrada em vez de uma divisão por dois, e é uma ferramenta separada. Esta página faz deliberadamente uma coisa só, que é a mesma escolha que as páginas do círculo e da esfera deste grupo fazem: uma página que responde a uma pergunta é mais fácil de usar do que uma página que pergunta qual de várias perguntas você quis dizer.
- As unidades importam?
- A lista de unidades muda o que você digita, não o que sai. A leitura é sempre em centímetros quadrados, e como isto é uma área a conversão é ao quadrado — um triângulo medido em polegadas volta como um valor em centímetros quadrados, e você divide por 6,4516 para lê-lo em polegadas quadradas. Informar em pés e ler a resposta como pés quadrados é o erro a que se atentar.
- E se um dos números for zero?
- A resposta é zero, e isso está correto: um triângulo sem altura foi achatado sobre a base e não cobre nada. Zero é tratado como um valor real e não como uma caixa vazia, então a página imprime um resultado. Deixar uma caixa em branco é diferente — não há de onde partir e a página não mostra resultado algum.
Referências
- Triangle Area — the half-base-times-height formula this page computes, with the parallelogram argument that shows why the halving is there — Wolfram MathWorld (United States)
- Triangle — what a triangle is, the vocabulary of base and altitude, and the several ways its area can be arrived at — Wolfram MathWorld (United States)
- Parallelogram — the shape two copies of a triangle make, whose area is exactly double, and the reason the divisor in the formula is two — Wolfram MathWorld (United States)