Calculadora de altura do triângulo
Resultado
Altura
A calculadora de altura do triângulo recebe a área de um triângulo e a base com que essa área foi medida e devolve a altura perpendicular: a distância da base até o vértice oposto, em centímetros. É a fórmula da área lida ao contrário. A página da área multiplica uma base por uma altura e divide o resultado pela metade; esta página dobra a área e divide pela base, que é a mesma relação com a incógnita do outro lado da igualdade. Nada mais sobre o triângulo é necessário — nem os ângulos, nem os outros dois lados, nem o perímetro —, porque a área e a base juntas já fixam a altura num único número. Vale parar nisso, porque é a parte que surpreende. Um triângulo com área de 30 centímetros quadrados e base de 10 centímetros tem 6 centímetros de altura, e essa é a única altura que ele pode ter, por mais torto que seja o desenho. Toda a liberdade do triângulo está em onde o vértice de cima fica ao longo da base, não em quão alto ele está. A única coisa com que ter cuidado é a mesma que a página da área avisa, vista do outro lado: a base aqui é o lado em relação ao qual a altura é medida, e a altura tem de ser perpendicular a ele. Informe um lado inclinado como base e a resposta será uma altura um pouco pequena demais, sem nada na página sugerindo que algo deu errado. Se você não tem certeza de qual das duas medidas tem em mãos, a página da área é o lugar de resolver isso primeiro, já que ela pede o par explicitamente.
A altura perpendicular de um triângulo a partir da área e da base
| Área (cm²) | Base (cm) | Altura (cm) |
|---|---|---|
| 30 | 10 | 6 |
| 20 | 5 | 8 |
| 7.5 | 6 | 2.5 |
| 12 | 8 | 3 |
| 8 | 4 | 4 |
| 9 | 9 | 2 |
| 21 | 7 | 6 |
| 0 | 5 | 0 |
Oito triângulos e três colunas, porque a página tem uma fórmula e uma resposta. As três primeiras linhas são compartilhadas com a página da área de propósito, nos mesmos números lidos ao contrário: uma área de 30 com base 10 dá 6, uma área de 20 com base 5 dá 8, e uma área de 7,5 com base 6 dá 2,5 — e a página da área imprime 30, 20 e 7,5 para esses mesmos três triângulos quando você entrega a ela a base e a altura. Ler as duas tabelas lado a lado é o jeito mais rápido de ver que são uma fórmula e não duas. A quinta linha é o triângulo retângulo isósceles, em que uma área de 8 com base 4 devolve altura 4: aqui a base é um cateto e a altura é o outro, e é por isso que os dois são iguais. Essa é uma linha diferente da altura relativa à hipotenusa, que mede 4 ÷ √2 = 2,8284 e é a que cai no meio da hipotenusa. A sexta linha é a que se autoconfere: uma área de 9 com base 9 sempre devolve 2, qualquer que seja o número, porque dobrá-lo e dividi-lo por ele mesmo só pode dar 2. A sétima tem uma base ímpar e ainda assim volta exatamente 6, que é o ponto de dobrar a área antes de dividir: a divisão fica sendo o último passo, então há um único arredondamento e ele acontece na saída. A última linha é uma área zero, em que o triângulo colapsou sobre a própria base e a altura é zero — uma resposta real e não uma resposta faltante. Cada valor aqui é recalculado a partir das suas duas entradas quando a página é construída, em centímetros, e as quatro casas decimais são as mesmas quatro casas decimais que o painel de resultados usa. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.
Fórmula
h = 2 × A ÷ b
- Área
- Quanta superfície o triângulo cobre, em centímetros quadrados. É o número que a página da área produz, entregue de volta aqui como ponto de partida
- Base
- O lado em relação ao qual a altura é medida, em centímetros. Qualquer um dos três lados serve, desde que a altura que você quer seja a perpendicular a ele
- Altura
- O que esta página calcula: a distância perpendicular da base até o vértice oposto, em centímetros. Não é o comprimento de nenhum dos lados inclinados
- Dois
- De onde vem a dobrada. A fórmula da área divide por dois o produto da base pela altura, então desfazer essa metade significa multiplicar a área por dois antes de dividir pela base
- 2A ÷ b
- A conta inteira. Multiplicar a área por dois antes, em vez de dividir a base pela metade, é o que mantém o último dígito correto quando os números não são inteiros
- Quatro casas decimais
- A largura com que a leitura é escrita. Uma altura pode genuinamente ser uma fração — uma área de 7,5 com base 6 dá exatamente 2,5, e uma área de 1 com base 3 dá dois terços
- Centímetros
- A unidade da resposta diga o que disser a lista. Isto é um comprimento, então ao contrário da página da área a conversão não é ao quadrado — uma base informada em polegadas continua devolvendo uma altura em centímetros, e você divide por 2,54 para lê-la em polegadas
O uso óbvio é aquele em que alguém já conhece a área e precisa de uma dimensão. Terreno é o caso clássico: a área de um lote está na escritura ou nas notas do levantamento, a base corre ao longo de uma estrada ou de uma cerca, e a pergunta é até onde o lote vai no seu ponto mais fundo. É exatamente esta conta, e é por isso que a fórmula é ensinada junto com a da área desde que as duas existem. Telhados e carpintaria trazem uma segunda família de usos, em que a área de um triângulo já foi calculada para o orçamento e a altura é necessária como medida de corte ou de marcação — a subida de um oitão a partir do seu vão, a profundidade de um painel afunilado, a distância de uma corda até o lado oposto do arco. O desenho técnico e o CAD dão uma terceira: um triângulo numa prancha cuja área está anotada, do qual a altura que falta precisa ser recuperada. E há a versão de sala de aula, que é a que faz a relação encaixar. Pegue qualquer triângulo cuja área e cuja base você conhece, calcule a altura e depois confira contra o desenho — o número que sai é o que a figura mostra, e esse é o sentido inteiro do par formado por esta página e a página da área. Vale ter as duas direções da mesma fórmula à frente pelo menos uma vez, porque uma fórmula é muito mais difícil de esquecer depois que você a executou ao contrário.
Exemplos resolvidos
Uma área de 30 e uma base de 10
- Dobre a área: 2 × 30 = 60
- Divida pela base: 60 ÷ 10 = 6
O par com que a página carrega, e a linha que a amarra à página da área: uma base de 10 com uma altura de 6 é exatamente o que produz uma área de 30 lá. Rode uma página e depois a outra com os números correspondentes e você volta ao ponto de partida, que é a conferência mais barata possível de que você entendeu a fórmula.
Uma área de 20 e uma base de 5
- Dobre a área: 2 × 20 = 40
- Divida pela base: 40 ÷ 5 = 8
O mesmo triângulo que a página da área usa para fazer o seu comentário sobre trapézios: uma base de 5 com uma altura de 8 dá 20, e um trapézio com base superior zero, base inferior 10 e altura 4 também dá 20. Nada aqui é especial — um par de entradas de aparência ímpar e uma resposta de número inteiro.
Uma área de 7,5 e uma base de 6
- Dobre a área: 2 × 7,5 = 15
- Divida pela base: 15 ÷ 6 = 2,5
Uma área com meio dentro, que é o que um produto dividido pela metade costuma dar, e uma base par. Dobrar primeiro transforma o meio num número inteiro antes de a divisão acontecer, então a resposta é exatamente 2,5 e não algo que foi arredondado até parecer isso.
Uma área de 0 e uma base de 5
- Dobre a área: 2 × 0 = 0
- Divida pela base: 0 ÷ 5 = 0
Uma área zero significa que o triângulo foi achatado sobre a própria base e não sobrou altura nenhuma. Zero é uma entrada de verdade e não uma caixa vazia, então esta é uma resposta de verdade — e é genuinamente diferente do caso em que a base é zero, que a página recusa por não haver por que dividir.
Limitações
Esta página recebe uma área e uma base e nada mais. Ela não trabalha a partir dos três lados de um triângulo, que é outra rota para a mesma altura e exige que a área seja calculada antes. Ela não dá ângulos nem comprimentos de lado, e a base aqui é o lado em relação ao qual a altura é medida, não qualquer um dos outros dois — informe um lado inclinado e a altura volta um pouco pequena demais, sem nada na página que sinalize isso. A base precisa ser maior que zero: uma área zero é aceita e devolve altura zero, mas uma base zero não tem resposta nenhuma em vez de uma resposta infinita, e a página diz isso em vez de imprimir um número muito grande. A resposta é sempre em centímetros seja qual for a posição da lista, e como uma altura é um comprimento a conversão é linear — uma base informada em polegadas devolve centímetros, e você divide por 2,54 e não por 6,4516. Quatro casas decimais é uma largura de exibição e não uma afirmação sobre precisão, e uma altura pode ser genuinamente uma fração: uma área de 1 com base 3 dá dois terços, escrito com quatro casas. Nada aqui trata de um lado curvo, de um triângulo desenhado sobre uma esfera, nem de uma figura cuja área foi medida num plano diferente do da base.
Perguntas frequentes
- Qual lado é a base aqui?
- Aquele em relação ao qual a altura é perpendicular — e como é você quem está fornecendo o alvo da altura, é o lado com que você mediu a área. Se a área veio de um levantamento ou de um desenho, a base é o lado a partir do qual aquele documento a mediu. Errar esse pareamento é a única maneira de obter uma resposta errada desta página com tudo parecendo certo.
- Por que a área é dobrada em vez de a base ser dividida pela metade?
- As duas formas dão a mesma resposta e, num computador, as duas são igualmente exatas: dobrar um número e dividir um número pela metade são operações exatas, então qualquer das rotas faz uma divisão e arredonda uma vez, no fim. A página dobra porque é essa a forma que a fórmula tem — a fórmula da área divide por dois o produto da base pela altura, e multiplicar a área por dois é como essa metade é desfeita. Também mantém a divisão como último passo, então o valor arredondado nunca é realimentado em nada.
- A altura pode sair maior que a base?
- Pode, e não há nada de errado nisso. Um triângulo alto e estreito tem uma área que, dobrada e dividida por uma base curta, dá uma altura grande. A altura e a base são duas direções independentes e nenhuma restringe a outra — só a área as amarra, e a fórmula é o que é.
- E se a base for zero?
- A página recusa em vez de responder. Uma base zero significa que a divisão é por zero, e a descrição honesta desse resultado é que não existe altura, não que a altura é enorme. Área zero é outra questão e é aceita: um triângulo sem área foi achatado sobre a própria base, e a altura dele é mesmo zero.
- Onde está a versão pelos três lados?
- Em uma página própria. Calcular a área de um triângulo a partir de três comprimentos de lado usa outra fórmula e uma raiz quadrada, e depois de ter a área você pode voltar aqui com qualquer um dos três lados como base. As duas páginas devem ser usadas nessa ordem, e a página da altura não tenta duplicar o trabalho da página da área.
- As unidades importam?
- A lista de unidades muda o que você digita, não o que sai. A leitura é sempre em centímetros. Ao contrário da página da área a conversão não é ao quadrado, porque uma altura é um comprimento: divida por 2,54 para ler em polegadas uma resposta dada em centímetros. Informar uma base em polegadas e ler a resposta como polegadas é o erro a que se atentar.
Referências
- Triangle Area — the formula this page runs backwards, and the parallelogram argument that shows why the factor of two is there in the first place — Wolfram MathWorld (United States)
- Altitude — the perpendicular from a vertex to the opposite side, which is exactly the quantity this page returns, and why a triangle has three of them — Wolfram MathWorld (United States)
- Triangle — what a triangle is, the vocabulary of base and altitude, and the several ways its area and its altitudes can be arrived at — Wolfram MathWorld (United States)