Calculadora de área do paralelogramo

Área = b × h Perímetro = 2(b + a)

Base

O comprimento de um dos dois lados paralelos sobre os quais o paralelogramo se apoia, em centímetros. Qualquer um dos dois pares paralelos pode ser chamado de base; o que importa é que a altura seja medida perpendicularmente ao que você escolher

Altura

A distância perpendicular da base até o lado oposto, em centímetros — medida em linha reta para cima, e não ao longo do lado inclinado. É dela que a área depende, e é ela que as pessoas confundem com o lado inclinado, que tem comprimento diferente em todo paralelogramo que não seja um retângulo

Cateto adjacente

O comprimento de um dos dois lados inclinados, em centímetros. A área o ignora por completo e o perímetro não vive sem ele: o perímetro é duas vezes a base mais duas vezes este. Ele tem de ser pelo menos tão longo quanto a altura, já que é a altura dividida pelo seno do ângulo que faz com a base

Área

O espaço interno, em centímetros quadrados: base vezes altura, a mesma fórmula que um retângulo usa. É exatamente o dobro da área do triângulo que compartilha a mesma base e a mesma altura, que é o que a segunda linha da tabela de referência mostra

Perímetro

A distância por todo o contorno, em centímetros: duas vezes a base mais duas vezes o cateto adjacente, já que os dois pares de lados são iguais. A altura não participa dele de forma alguma, e é por isso que uma página que pedisse só uma base e uma altura não conseguiria dar esse número

Centímetros e centímetros quadrados

As unidades das duas saídas, sempre, sejam quais forem as unidades escolhidas nas listas. O perímetro é um comprimento e a área é um comprimento ao quadrado, então os dois não são comparáveis e dobrar um não dobra o outro

Quatro casas decimais

A largura com que as duas saídas são escritas. Quatro em vez de duas porque a página trabalha com números inteiros na sua tabela de referência mas não está restrita a eles, e uma base digitada em metros pela lista chega como decimal

A fórmula da área é a que mais importa, e vale saber que ela é a mesma fórmula base-vezes-altura que todo paralelogramo compartilha, retângulo incluído. Onde ela se paga é em mostrar que uma figura inclinada não é menor que uma reta de mesma base e mesma altura: um terreno empurrado para fora do esquadro por uma cerca torta não perde nada de área, o que não é o que o olho relata. Se o que você precisa é da área de um lote cujos lados mediu pelo chão, no entanto, cuidado — a altura é a distância perpendicular, que raramente é o número que sai de uma trena, e o lado inclinado não a substitui. Para o perímetro, o mesmo lote precisa dos dois comprimentos de lado, e é aí que esta página pede o terceiro número. A recusa vale a pena ser encontrada de propósito em vez de por acidente: se você digitar um cateto adjacente menor que a altura, os dois números se contradizem, e a causa mais comum é terem sido medidos uma base e um lado inclinado enquanto a altura perpendicular foi adivinhada ou tomada como sendo o outro lado. A página do triângulo ao lado desta usa a mesma base e a mesma altura e devolve metade da área, e a página do retângulo devolve a mesma área com o cateto adjacente igual à altura — essas duas são as conferências mais rápidas de que esta página está se comportando.

1. Uma base de 6, uma altura de 4 e um cateto de 5

   1. Área: 6 × 4 = 24 centímetros quadrados
   2. Perímetro: 2 × (6 + 5) = 22 centímetros
   3. A altura de 4 não é usada no perímetro, e o cateto de 5 não é usado na área

   A entrada com que a página carrega, e o par de cálculos que mostra por que a página precisa de três números: a área vem da base e da altura e o perímetro vem da base e do cateto, e nenhuma das saídas usa os três. A figura é um retângulo 3-4-5 empurrado de lado, e é por isso que os números são tão redondos.

2. Uma base de 3, uma altura de 4 e um cateto de 5

   1. Área: 3 × 4 = 12 centímetros quadrados
   2. Perímetro: 2 × (3 + 5) = 16 centímetros
   3. Doze é exatamente o dobro da área do triângulo de mesma base e mesma altura, que é 3 × 4 ÷ 2 = 6

   A linha que torna o dobro visível. Pegue o paralelogramo e corte-o por uma diagonal e você obtém dois triângulos de mesma base e mesma altura, então a área do paralelogramo é exatamente o dobro da do triângulo — 12 contra 6. É daí que vem o dois da fórmula do triângulo, lida ao contrário.

3. Uma base de 12, uma altura de 5 e um cateto de 13

   1. Área: 12 × 5 = 60 centímetros quadrados
   2. Perímetro: 2 × (12 + 13) = 50 centímetros
   3. O triângulo 5-12-13 é o segundo menor triângulo retângulo de lados inteiros, e é por isso que estes números são redondos

   Um paralelogramo longo e baixo, e a linha em que as duas saídas estão mais distantes: a área é 60 enquanto o perímetro é 50, o que lembra que as duas são grandezas diferentes medidas em unidades diferentes e que não há regra de uma ser maior que a outra. Os 5, 12 e 13 nos três campos são os lados de um triângulo retângulo, que é o jeito mais arrumado de construir um paralelogramo cuja inclinação é exatamente a perpendicular.

4. Uma base de 1, uma altura de 1 e um cateto de 1

   1. Área: 1 × 1 = 1 centímetro quadrado
   2. Perímetro: 2 × (1 + 1) = 4 centímetros
   3. O cateto é igual à altura, então o ângulo é de 90 graus e a figura é um quadrado

   A fronteira que a página aceita em vez de recusar. Quando o cateto é igual à altura, o seno do ângulo é um, o ângulo é reto, e o paralelogramo é um quadrado — um membro de verdade da família e não um caso degenerado. A regra que a página aplica é que o cateto tem de ser no mínimo igual à altura, e não maior que ela, e este é o caso que faz a diferença.

5. Uma base de 5, uma altura de 0 e um cateto de 3

   1. Área: 5 × 0 = 0 centímetros quadrados
   2. Perímetro: 2 × (5 + 3) = 16 centímetros
   3. As duas figuras saem das suas próprias fórmulas, e elas descrevem coisas diferentes da mesma figura achatada

   O caso em que as duas saídas parecem inconsistentes e não são. Uma altura de zero significa que o lado de cima desceu sobre o de baixo e a figura se achatou num segmento de reta, então ela não delimita área nenhuma — zero é a resposta certa. O perímetro, por sua vez, é o comprimento total dos quatro lados, que é o que a fórmula calcula e o que perímetro significa: siga pela base, volte pelo lado inclinado, siga pela base de novo, volte pelo lado inclinado. Ele não é o comprimento do resultado achatado, que seria 2 × 5 = 10. A página dá o comprimento da borda da figura de quatro lados, e isso vale saber antes que um dos dois números pareça um erro.

A altura é a distância perpendicular entre a base e o lado oposto, e a página não tem como saber se o que você mediu foi o lado inclinado. Digitar o lado inclinado no campo da altura dá uma área grande demais, e é o erro mais comum que esta página vê, porque o lado inclinado é o que uma trena alcança. O perímetro usa a base e o cateto adjacente e não leva a altura em conta, então se você informa uma altura e nenhum cateto a página não roda de jeito nenhum. Um cateto adjacente menor que a altura é recusado, porque não descreve paralelogramo nenhum: a altura é igual ao cateto vezes o seno do ângulo que ele faz com a base, e nenhum ângulo tem seno acima de um. As saídas estão em centímetros e centímetros quadrados seja qual for a unidade escolhida nas listas. Quatro casas decimais são uma largura de exibição e não uma afirmação de precisão. A página pressupõe um paralelogramo verdadeiro, com dois pares de lados paralelos, então ela não confere um quadrilátero cujos lados opostos sejam desiguais, e não dá ângulos, não dá diagonais e não tem como receber o ângulo entre os lados diretamente. Uma altura de zero é aceita e devolve área zero com um perímetro diferente de zero, o que é aritmeticamente correto e fisicamente um segmento de reta e não uma figura — o perímetro então descreve o caminho pelos quatro lados e não o comprimento do resultado achatado.

Por que a página pede três números se a área só precisa de dois?

Porque o perímetro precisa de um número que a área não usa. A área é base vezes altura; o perímetro é duas vezes a base mais duas vezes o lado inclinado, e altura e lado inclinado são comprimentos diferentes em todo paralelogramo que não seja um retângulo. Uma base e uma altura fixam a área mas deixam a figura livre para ser entortada, e entortá-la muda o perímetro enquanto a área fica onde estava.

A altura é a mesma coisa que o lado inclinado?

Não, e este é o erro que a página mais vê. A altura é a distância perpendicular da base em linha reta até o lado oposto; o lado inclinado é o comprimento da própria aresta. Os dois são iguais só num retângulo. Num paralelogramo inclinado a 30 graus o lado inclinado é o dobro da altura, então digitar o lado inclinado no campo da altura dobraria a área.

Por que ela não aceita um lado inclinado menor que a altura?

Porque não existe paralelogramo assim. A altura é o lado inclinado multiplicado pelo seno do ângulo que o lado faz com a base, e um seno nunca passa de um, então o lado inclinado é sempre no mínimo tão longo quanto a altura. Um lado inclinado igual à altura significa que o ângulo é de 90 graus e a figura é um retângulo, e é por isso que a página permite a igualdade em vez de recusá-la.

Por que a área é a mesma de um retângulo?

Porque um paralelogramo e um retângulo com a mesma base e a mesma altura perpendicular delimitam a mesma área, por mais inclinado que o paralelogramo esteja. Deslize o triângulo de uma das pontas do paralelogramo e ele encaixa exatamente na outra ponta, transformando a figura num retângulo de mesma base e mesma altura. Inclinar um retângulo deixa os lados inclinados mais compridos sem mudar o que ele delimita.

A área é zero mas o perímetro não — qual dos dois está errado?

Nenhum. Uma altura de zero significa que o lado de cima desceu sobre o de baixo, então a figura é um segmento de reta e não delimita área nenhuma; zero está correto. O perímetro é o comprimento total dos quatro lados — pela base, de volta pelo lado inclinado, pela base de novo, de volta pelo lado inclinado — e esse caminho ainda tem 16 centímetros quando a base é 5 e o lado é 3. Ele não é o comprimento do resultado achatado, que seria 10.

Como faço para obter a área de um triângulo em vez disso?

Divida por dois a área desta página, desde que o triângulo compartilhe a mesma base e a mesma altura perpendicular. Cortar um paralelogramo por uma diagonal dá dois triângulos de áreas iguais, que é exatamente de onde vem o meio na fórmula do triângulo. Se o que você mediu num triângulo foram os lados em vez da base e da altura, as páginas de triângulo deste site recebem os três lados diretamente.

• Parallelogram — the quadrilateral with two pairs of parallel sides, with the base-times-height area formula and the note that a parallelogram and a rectangle on the same base and height have equal areas — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the figure a parallelogram splits into along a diagonal, which is why the triangle's area carries a half and the parallelogram's does not — Wolfram MathWorld (United States)
• Sine — the function that relates a parallelogram's sloping side, its height and the angle between them, and the reason a sloping side can never be shorter than the height — Wolfram MathWorld (United States)