Calculadora de trapézio

A = ((a + b) ÷ 2) × h P = a + b + c + d x = (c² − d² + Δ²) ÷ (2Δ) h = √(c² − x²)

a, b

Os dois lados paralelos, em centímetros — as bases. Qualquer um deles pode ser o maior; a página trabalha a partir da diferença entre eles e não se importa com qual você chama de superior. A média deles, (a + b) ÷ 2, multiplicada pela altura, é a área, que é a fórmula em torno da qual a página inteira é construída

c, d

Os dois catetos, em centímetros: os lados que não são paralelos. Os comprimentos deles decidem se a figura existe, porque juntos eles precisam vencer a diferença entre as bases. Não precisam ser iguais — um trapézio de catetos 5 e 4 é perfeitamente comum —, e quando são iguais a figura se chama isósceles e a altura é simplesmente a raiz quadrada do cateto ao quadrado menos metade da diferença das bases ao quadrado

Δ

A diferença entre as duas bases, |b − a|, em centímetros. É a base do triângulo que os dois catetos e as duas bases encerram, e é a grandeza que decide em qual dos três casos você está: menor do que os catetos conseguem vencer, exatamente no limite, ou maior do que eles alcançam. Quando ela é 0 — bases iguais —, a figura é um paralelogramo e os quatro lados deixam de determinar a altura, e é por isso que a página reporta um erro em vez de responder

x

Onde a altura cai ao longo da diferença das bases, em centímetros: a distância de uma ponta da diferença até o pé da perpendicular. Ela vem da lei dos cossenos aplicada ao triângulo de lados c, d e Δ, e a página só a usa para chegar à altura. Ela pode ficar fora do intervalo de 0 a Δ, que é o que acontece quando um cateto se inclina para fora além da ponta da base menor — a figura continua sendo um trapézio e a aritmética continua funcionando

h

A altura, em centímetros: a distância perpendicular entre as duas bases paralelas, e o número de que a fórmula da área precisa. Ela sai igual à raiz quadrada de c² − x², e é impressa com quatro casas decimais. Como é a raiz de uma diferença, o caso em que os catetos não conseguem vencer a diferença das bases é o caso em que o número sob a raiz ficaria negativo — e é por isso que a página confere antes a desigualdade triangular, em vez de deixar a raiz produzir um valor sem sentido

A, P

A área em centímetros quadrados e o perímetro em centímetros. A área é a média das bases vezes a altura, o que é o mesmo que metade da soma delas vezes a altura — um trapézio e um retângulo de mesma altura cobrem a mesma superfície quando a largura do retângulo é a média das duas bases. O perímetro é a soma dos quatro lados, e ele nunca envolve a altura

Use esta página quando o que você tem são as quatro arestas. É o caso comum em terreno: um lote com dois lados paralelos e dois que não são, medido pelo contorno com uma trena, em que os lados paralelos e os catetos são todos fáceis de medir e a altura perpendicular não é — você teria de atravessá-la a passos pelo lote, o que num declive ou no meio de uma plantação é exatamente o que não dá para fazer. É também o caso de um painel cortado a partir de um desenho que dá quatro arestas e nenhuma altura, e o de conferir uma figura que outra pessoa especificou: informe os quatro lados e veja se eles descrevem um trapézio. A sétima linha da tabela é a que se deve olhar para essa conferência — catetos 4 e 2 com bases 10 e 4 dão altura 0, porque a diferença de 6 é exatamente o que os dois catetos somam e a figura ficou dobrada. Encurte qualquer um dos catetos e a página passa a reportar erro. Use a calculadora de área do trapézio quando você tiver as duas bases e a altura e não os catetos, já que ela recebe esse par diretamente e pula o passo intermediário. Use a calculadora de área do paralelogramo quando as duas bases forem iguais, porque aí a figura é um paralelogramo e os quatro lados desta página deixam de determiná-la. E use a calculadora de área do triângulo quando a base menor for 0 — um triângulo é um trapézio com uma base nula, e a quarta linha da tabela abaixo é o triângulo retângulo 6-8-10 encontrado assim, com área 24.

1. Bases 4 e 10 com catetos 5 e 5

   1. Diferença entre as bases: 10 − 4 = 6
   2. Os catetos são iguais, então cada um reivindica metade dela: 6 ÷ 2 = 3
   3. Altura: √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4
   4. Média das bases: (4 + 10) ÷ 2 = 7
   5. Área: 7 × 4 = 28
   6. Perímetro: 4 + 10 + 5 + 5 = 24

   A linha com que a página carrega, e a que se confere à mão, porque os números são o triângulo 3-4-5 disfarçado: um cateto de 5 e metade da diferença das bases, 3, dão uma altura de exatamente 4. A altura é também a única grandeza que você não consegue ler nos quatro lados, que é o ponto inteiro da página. Compare a área com a do retângulo que tem a mesma altura e largura 7 — a média das bases — e você obtém os mesmos 28 centímetros quadrados, que é a maneira mais limpa de ver por que a fórmula divide a soma por dois em vez de fazer algo mais engenhoso.

2. Bases 7 e 10 com catetos 5 e 4

   1. Diferença entre as bases: 10 − 7 = 3
   2. Os catetos são desiguais, então a diferença é repartida de forma desigual: (25 − 16 + 9) ÷ (2 × 3) = 18 ÷ 6 = 3
   3. Altura: √(25 − 9) = √16 = 4
   4. Média das bases: (7 + 10) ÷ 2 = 8,5
   5. Área: 8,5 × 4 = 34
   6. Perímetro: 7 + 10 + 5 + 4 = 26

   Um trapézio escaleno, em que os dois catetos têm comprimentos diferentes e a altura cai em outro lugar que não o meio da diferença das bases. A resposta aqui é que o cateto de 4 cm fica vertical entre as pontas direitas das duas bases — a distância x dá igual à diferença inteira, 3, então o outro cateto não fica com nada dela —, que é o que um par de catetos desiguais faz; a altura então dá igual ao comprimento desse próprio cateto. A altura ainda dá exatamente 4, então esta linha e a primeira têm a mesma altura e áreas diferentes, 28 e 34 centímetros quadrados, puramente porque as bases delas diferem. Isso é um lembrete de que os quatro lados de um trapézio estão todos trabalhando: a mesma altura de 4 assenta sobre dois pares de bases diferentes aqui, então são os quatro juntos, e não a altura sozinha, que fixam a área.

3. Bases 0 e 10 com catetos 6 e 8

   1. Diferença entre as bases: 10 − 0 = 10
   2. Catetos desiguais: (36 − 64 + 100) ÷ (2 × 10) = 72 ÷ 20 = 3,6
   3. Altura: √(36 − 12,96) = √23,04 = 4,8
   4. Média das bases: (0 + 10) ÷ 2 = 5
   5. Área: 5 × 4,8 = 24
   6. Perímetro: 0 + 10 + 6 + 8 = 24

   Um triângulo vestindo roupa de trapézio: com uma base nula a figura se fecha num triângulo, e os números aqui são o triângulo retângulo 6-8-10, cuja área de 24 centímetros quadrados é a mesma resposta que a calculadora de área do triângulo dá. A aritmética é um lembrete de que a fórmula do trapézio contém a do triângulo dentro dela — com uma base em zero, a média das bases vira metade da outra base, que é exatamente o fator do triângulo. O perímetro de uma figura com um lado de comprimento zero é só a soma dos outros três, que aqui também dá 24, uma coincidência destes números e não uma regra.

4. Bases 4 e 10 com catetos 4 e 2

   1. Diferença entre as bases: 10 − 4 = 6
   2. Os dois catetos somam 4 + 2 = 6, exatamente a diferença
   3. Altura: os catetos apenas conseguem vencer a diferença, então a altura é 0
   4. Média das bases: (4 + 10) ÷ 2 = 7
   5. Área: 7 × 0 = 0
   6. Perímetro: 4 + 10 + 4 + 2 = 20

   A borda do que a página aceita, e a razão de ela conferir os catetos antes de tirar a raiz quadrada. Aqui os dois catetos somam exatamente a diferença entre as bases, então os dois ficam deitados ao longo da base maior, as duas bases ficam uma sobre a outra e a figura não encerra nada. A página responde 0 em vez de recusar, porque esses quatro lados de fato descrevem uma figura — uma figura chata. Encurte qualquer um dos catetos em um centímetro e não existe trapézio nenhum, e é esse o caso reportado como erro, com o argumento de que um número negativo sob uma raiz quadrada não é uma altura.

Esta página calcula a área, o perímetro e a altura de um trapézio a partir dos seus quatro lados, e nada mais. Ela não dá os ângulos, as diagonais, o comprimento do segmento médio nem a posição da altura ao longo das bases, e os quatro lados de fato determinam tudo isso — a página simplesmente não reporta, e a diagonal de um trapézio em particular exige uma segunda aplicação da mesma aritmética de triângulo que esta página já faz internamente. Ela não funciona ao contrário: não há caminho de uma área para os lados que a produzem, e um trapézio com uma área dada tem infinitas descrições de quatro lados. As saídas são em centímetros e centímetros quadrados sejam quais forem as unidades em que as entradas foram informadas, já que as listas convertem cada lado para centímetros antes da aritmética. A página supõe que a figura é um trapézio com exatamente um par de lados paralelos e que os dois lados que você informa como bases são o par paralelo — troque uma base por um cateto e a página calculará a altura de outra figura sem reportar erro algum, porque quatro números que formam um triângulo válido com a diferença das bases sempre produzem uma resposta. Ambas as bases são tratadas como comprimentos que não podem ser negativos. Bases iguais são reportadas como erro em vez de respondidas, o que é deliberado mas vale saber: nesse caso a figura é um paralelogramo e a altura dela genuinamente não é determinada pelos quatro lados, então uma página que devolvesse um número estaria inventando um. A página não diz em qual dos três casos degenerados você está além da mensagem de erro: um trapézio dobrado com altura 0 é respondido, enquanto catetos curtos demais para vencer a diferença das bases são recusados, e a diferença entre os dois é de um centímetro em um dos catetos. Quatro casas decimais é uma largura de exibição compartilhada com as outras páginas de área desta subcategoria, não uma afirmação sobre precisão — um lado medido até o centímetro mais próximo desloca a altura mais que a quarta casa decimal. Nada aqui considera sobras, perda de corte ou terreno irregular, então a área devolvida é a área da figura tal como descrita e não a quantidade de material a encomendar.

Como encontro a área de um trapézio a partir dos quatro lados?

Encontre a altura primeiro, depois tire a média das bases e multiplique. As duas bases diferem em certa quantidade Δ; essa diferença, junto com os dois catetos, forma um triângulo, e a altura do trapézio é a altura desse triângulo. Para bases 4 e 10 com catetos 5 e 5: a diferença é 6, cada cateto reivindica 3 dela, a altura é √(25 − 9) = 4, a média das bases é 7, e a área é 28 centímetros quadrados.

Por que a página recusa alguns conjuntos de quatro lados?

Porque a maioria dos conjuntos de quatro lados não descreve um trapézio. Os dois catetos precisam conseguir vencer a diferença entre as bases, exatamente como os dois lados menores de um triângulo precisam conseguir vencer o maior. Bases 10 e 4 diferem em 6, então catetos 4 e 2 apenas chegam — a altura é 0 —, enquanto catetos 3 e 2 não conseguem vencer 6 de forma alguma, e essa figura não existe. A página reporta isso em vez de devolver um número negativo vindo da raiz quadrada.

E se as duas bases tiverem o mesmo comprimento?

Então a figura é um paralelogramo, e os quatro lados não a determinam mais. Lados 5, 5, 6 e 6 descrevem um retângulo de 6 por 5 com altura 5, e também uma figura inclinada quase até ficar chata com altura quase nula — mesmos quatro lados, áreas diferentes. Esta página reporta um erro em vez de escolher uma para você. A calculadora de área do paralelogramo recebe uma base e uma altura e responde essa pergunta diretamente.

O que é um trapézio isósceles e como ele simplifica as coisas?

É aquele cujos dois catetos são iguais. A diferença das bases então se reparte igualmente entre os dois catetos, então cada cateto e metade da diferença formam um triângulo retângulo, e a altura é √(cateto² − (Δ ÷ 2)²). Com bases 4 e 10 e catetos iguais, Δ é 6, metade dela é 3, e um cateto de 5 dá √(25 − 9) = 4. A primeira linha da tabela é este caso, e a figura dele é simétrica — os dois ângulos da base são iguais e as duas diagonais também.

Um triângulo é um caso especial de trapézio?

Aritmeticamente sim, quando uma das bases é 0. A média das bases vira então metade da base restante, e a fórmula da área se transforma em metade da base vezes a altura, que é a fórmula do triângulo. Informe uma base superior 0 com catetos 6 e 8 e uma base inferior 10 e a página devolve 24 centímetros quadrados, a mesma resposta que a calculadora de área do triângulo dá para um triângulo 6-8-10. Se um triângulo conta como trapézio é uma questão de definição, mas a fórmula não se importa.

Por que a altura não é um dos quatro lados?

Porque num trapézio ela não é um lado — é a distância perpendicular entre as duas bases paralelas, e fica dentro da figura e não no contorno dela. É a única grandeza que você não consegue obter passando uma trena pela borda, e é por isso que uma página como esta é útil: ela deriva a altura a partir dos quatro lados que você consegue medir. A altura é igual ao cateto mais curto apenas no caso degenerado em que esse cateto fica perpendicular às duas bases.

• Trapezoid — the four-sided figure with one pair of parallel sides that this page describes, including the area formula based on the average of the bases and the relations between the sides and the height — Wolfram MathWorld (United States)
• Isosceles Trapezoid — the case where the two legs are equal, where the base difference splits evenly and the height is the square root of the leg squared minus half the difference squared — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the figure the two legs and the difference between the bases form, and the source of the triangle inequality that decides whether four given sides describe a trapezoid at all — Wolfram MathWorld (United States)