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Calculadora de retângulo

Intervalo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Intervalo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Resultado

12,0000 cm²

Área

Perímetro
14,0000 cm
Diagonal
5,0000 cm

A calculadora de retângulo recebe o comprimento e a largura de um retângulo e devolve três medidas dele: a área, o perímetro e a diagonal. Nada nesta página vai surpreender quem passou pela escola, e é mais ou menos essa a ideia — o retângulo é onde os três tipos diferentes de medida com que toda esta família de páginas trabalha podem ser distinguidos com mais clareza, porque os três usam as mesmas duas entradas e os três se comportam de maneiras diferentes quando essas entradas mudam. A área é o comprimento vezes a largura, e responde à pergunta de quanta superfície o retângulo cobre. O perímetro é duas vezes a soma do comprimento com a largura, e responde a quanta borda ele tem, que é a pergunta que você faz quando compra uma moldura ou uma faixa de acabamento. A diagonal é a raiz quadrada do comprimento ao quadrado mais a largura ao quadrado, e responde a que distância há de um canto ao canto oposto, que é a pergunta que você faz quando verifica se alguma coisa passa por uma porta ou atravessa uma sala. As duas primeiras dessas são fórmulas de escola. A terceira é o teorema de Pitágoras, e vale notar que é ele que está trabalhando aqui: a diagonal corta o retângulo em dois triângulos retângulos, o comprimento e a largura são os dois catetos, e a diagonal é a hipotenusa, e é por isso que a resposta é a raiz quadrada de uma soma de quadrados em vez de qualquer coisa mais simples. Se você já sabe dois lados de um triângulo retângulo, já sabe fazer esta página; se não sabe, a página do teorema de Pitágoras ao lado é onde isso está escrito por si só.

Retângulos comuns, de um 4 por 3 a um achatado

Comprimento (cm)Largura (cm)Área (cm²)Perímetro (cm)Diagonal (cm)
4312145
5525207.0711
6424207.2111
125603413
10101004014.1421
100505000300111.8034
00000
700147

Oito retângulos, e a primeira linha é a que a página carrega. A coluna para ler com atenção é a do perímetro, porque ela se repete: a primeira linha e a última dão ambas 14, e a segunda e a terceira dão ambas 20. Isso não é um deslize de aritmética na tabela, é o fato de que um perímetro não determina uma forma — o de 5 por 5 e o de 6 por 4 têm a mesma quantidade de borda e áreas e diagonais bem diferentes, e é por isso que a página pede dois números em vez de um. A quarta linha é o retângulo 5-12-13, o único aqui cujas três saídas são todas números inteiros, e o que vale guardar ao lado do 4 por 3 como segunda conferência. A quinta linha é um quadrado de 10 por 10, cuja diagonal é 14,1421 — uma raiz quadrada que nunca termina, e a resposta correta para um quadrado daquele tamanho. A sexta linha é deliberadamente grande, para mostrar a área disparando em relação às outras duas: em 100 por 50 a área é 5.000, mas o perímetro é só 300 e a diagonal 111,8034, porque a área anda com o quadrado do tamanho e as outras duas andam com o tamanho em si. A última linha é um retângulo achatado até a largura zero, onde a área é 0 e o perímetro continua 14. Todo número aqui é recalculado a partir do seu comprimento e da sua largura quando a página é construída, em centímetros, e as quatro casas decimais são as mesmas que o painel de resultados usa. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.

Fórmula

A = c × l P = 2(c + l) d = √(c² + l²)

Comprimento
O maior dos dois lados, em centímetros. A página não verifica se ele é de fato o maior — trocar os dois campos dá exatamente as mesmas três respostas, porque toda fórmula aqui trata comprimento e largura do mesmo jeito
Largura
O outro lado, em centímetros, em ângulo reto com o comprimento. Junto com o comprimento ela fixa o retângulo por completo: dois números independentes é o que um retângulo precisa, enquanto um quadrado precisa de um e um triângulo precisa de três
Área
A superfície que o retângulo cobre, em centímetros quadrados, que é o comprimento vezes a largura. É a única das três saídas que cresce com o quadrado do tamanho em vez de crescer com o tamanho — dobre os dois lados e a área sobe quatro vezes
Perímetro
A distância por todo o contorno, em centímetros: duas vezes a soma do comprimento com a largura, uma vez para cada um dos dois pares de lados. É a medida que você quer para qualquer coisa que corra pela borda, e a que menos diz sobre a forma, já que muitos retângulos diferentes compartilham um mesmo perímetro
Diagonal
A distância em linha reta de um canto ao canto oposto, em centímetros. É a hipotenusa do triângulo retângulo formado pelo comprimento e pela largura, e é sempre o segmento de reta mais longo que cabe dentro do retângulo
c² + l²
A soma dos dois quadrados, feita antes da raiz quadrada e não depois. É o teorema de Pitágoras na forma em que o retângulo o usa, e é o motivo de a diagonal ser um pouco maior que o comprimento mas nunca tão longa quanto a soma do comprimento com a largura
Quatro casas decimais
A largura com que toda saída é escrita. A área e o perímetro são exatos sempre que as duas entradas são, mas a diagonal quase nunca é: ela é uma raiz quadrada, então costuma carregar uma fileira de dígitos, e quatro casas são uma largura de exibição e não uma afirmação sobre precisão

As três saídas respondem a três perguntas práticas diferentes sobre o mesmo objeto, e saber qual delas você quer é a maior parte do trabalho. Piso, tinta, grama e tecido se compram por área, então é essa a coluna a ler quando o retângulo é uma superfície. Rodapé, acabamento, moldura, cerca e guarnição se compram por comprimento, então é esse o perímetro — e vale saber que o perímetro sozinho não consegue dizer a forma, então uma sala de 4 por 3 e uma tira de 7 por 0 têm a mesma quantidade de rodapé, o que é verdadeiro e inútil na mesma medida. A diagonal aparece quando o retângulo está sendo encaixado através de alguma coisa ou dentro dela: o vão de uma porta, uma moldura sendo esquadrejada, uma tela anunciada pela diagonal em vez de pelos lados, ou o objeto reto mais longo que ficará deitado numa caixa. Ela também é o jeito mais rápido de conferir se um retângulo é de fato retangular — meça as duas diagonais de qualquer coisa que deva ser retangular e, se elas baterem, os cantos estão a 90 graus, que é um truque que carpinteiros usam em salas e moldureiros usam em passe-partout.

Exemplos resolvidos

  1. Um retângulo de 4 por 3

    1. Área: 4 × 3 = 12
    2. Perímetro: 2 × (4 + 3) = 14
    3. Diagonal: √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5

    É a entrada com que a página carrega e o único retângulo cujas três respostas são todas números inteiros pequenos. Ele é o triângulo 3-4-5 dobrado ao meio pela hipotenusa, e é por isso que sai limpo: a diagonal deste retângulo é um dos triângulos retângulos inteiros mais antigos que existem. Se você for conferir uma única linha desta página à mão, confira esta — todo passo é aritmética que dá para fazer sem calculadora.

  2. Um quadrado, 5 por 5

    1. Área: 5 × 5 = 25
    2. Perímetro: 2 × (5 + 5) = 20
    3. Diagonal: √(5² + 5²) = √50 = 7,0710678…, que arredonda para 7,0711

    Um retângulo cujos lados por acaso são iguais, o que é um quadrado mas não precisa de uma página diferente: ponha o mesmo número nos dois campos e as três fórmulas dão as respostas certas. A diagonal é 5√2, e é uma raiz quadrada que nunca termina — e é por isso que a calculadora de quadrado ao lado imprime os mesmos 7,0711 para um lado de 5. Duas páginas, um número, e é o mesmo número de propósito.

  3. Um retângulo de 6 por 4

    1. Área: 6 × 4 = 24
    2. Perímetro: 2 × (6 + 4) = 20
    3. Diagonal: √(36 + 16) = √52 = 7,2111025…, que arredonda para 7,2111

    A linha para colocar ao lado da de cima: este retângulo é mais longo e mais fino que o de 5 por 5, cobre um pouco menos de superfície — 24 contra 25 — e tem exatamente o mesmo perímetro de 20, mas sua diagonal é 7,2111 contra 7,0711. A mesma quantidade de borda, forma diferente, e a diagonal é a saída que percebe. É essa a razão inteira de um perímetro sozinho ser uma descrição fraca de um retângulo.

  4. O retângulo 5-12-13

    1. Área: 12 × 5 = 60
    2. Perímetro: 2 × (12 + 5) = 34
    3. Diagonal: √(144 + 25) = √169 = 13

    O outro triângulo retângulo inteiro desta página, e um maior. Vale guardar o retângulo 5-12-13 como uma segunda conferência ao lado do 3-4-5, porque ele é grande o bastante para que um erro de escala apareça: um retângulo de 12 por 5 metros é uma sala plausível, e sua diagonal de exatamente 13 metros é uma medida que dá para conferir com uma trena em vez de com uma fórmula.

  5. Um retângulo sem largura

    1. Área: 7 × 0 = 0
    2. Perímetro: 2 × (7 + 0) = 14
    3. Diagonal: √(49 + 0) = 7

    Uma largura de zero é aceita, e as três saídas que ela dá são todas corretas e todas significam uma coisa diferente. O retângulo foi achatado até virar um segmento de reta: não cobre área nenhuma, então a área é 0; não tem diagonal nenhuma a rigor, então a diagonal colapsa sobre o próprio comprimento, em 7; e o perímetro continua sendo 2 × 7 = 14, que é a distância ao longo do segmento e de volta, duas vezes. Um perímetro para uma forma sem área parece um erro e não é.

Limitações

A página é só para retângulos: quatro lados, quatro ângulos retos, lados opostos iguais. Um paralelogramo que não é retângulo tem a mesma forma de dois dentro e três fora, mas uma diagonal diferente, e a página do paralelogramo ao lado é onde isso é tratado. As saídas estão em centímetros e centímetros quadrados, qualquer que seja a unidade escolhida na lista, então um comprimento informado em polegadas volta como uma resposta em centímetros que você mesmo converte. Quatro casas decimais são uma largura de exibição e não uma afirmação sobre precisão: a área e o perímetro são exatos sempre que as entradas são, mas a diagonal é uma raiz quadrada e seus dois últimos dígitos não têm significado a menos que as entradas já fossem exatas. A página não verifica qual das duas entradas é a maior, e não precisa — toda fórmula aqui é simétrica no comprimento e na largura, então trocá-los dá as mesmas três respostas e nenhum aviso. Uma largura de zero é aceita e produz um conjunto de respostas real, ainda que degenerado; a página não a trata como um campo vazio. Nada aqui lida com um retângulo de cantos arredondados, um retângulo desenhado sobre uma superfície curva, ou a espessura de uma tábua ou viga retangular, que é uma terceira dimensão para a qual esta página não tem campo.

Perguntas frequentes

Faz diferença qual lado eu ponho no campo do comprimento?
Não. Toda fórmula desta página trata o comprimento e a largura do mesmo jeito — a área multiplica os dois, o perímetro soma os dois, e a diagonal eleva os dois ao quadrado e soma —, então trocar os dois campos dá exatamente as mesmas três respostas. A página não verifica qual é o maior, e não precisa. Se for mais fácil para você manter a ordem pondo sempre o número maior primeiro, isso é um hábito e não uma exigência.
Por que a diagonal é maior que o comprimento mas menor que a soma do comprimento com a largura?
Porque ela é a hipotenusa do triângulo retângulo que a diagonal recorta, então é a raiz quadrada do comprimento ao quadrado mais a largura ao quadrado. Elevar ao quadrado, somar e tirar a raiz sempre dá algo entre os dois: maior que qualquer um dos lados sozinho, porque você somou algo positivo antes de tirar a raiz, e menor que a soma dos dois, porque o quadrado de uma soma é maior que a soma dos quadrados. A diferença entre a diagonal e a soma do comprimento com a largura é o que se economiza cortando por dentro em vez de dar a volta.
O perímetro dá o mesmo para dois retângulos diferentes. Isso é um bug?
Não, e a tabela está organizada para mostrar isso acontecendo duas vezes: 4 por 3 e 7 por 0 têm ambos perímetro 14, e 5 por 5 e 6 por 4 têm ambos perímetro 20. Um perímetro fixa quanta borda um retângulo tem, mas não a forma dele — muitos retângulos diferentes compartilham um mesmo perímetro, e eles têm áreas e diagonais diferentes. Se você precisa descrever um retângulo por completo, precisa de dois números, que é exatamente o motivo de a página pedir dois.
Posso usar isto para conferir se um canto está esquadrejado?
Pode, e é o truque mais antigo que existe. Meça as duas diagonais da coisa que você está conferindo. Se elas forem iguais, os quatro cantos são ângulos retos e você tem um retângulo; se não forem, você tem um paralelogramo ou uma forma com um canto torto, e a diagonal maior está do lado do ângulo obtuso. Numa sala grande é mais fácil comparar duas diagonais medidas do que tentar medir um ângulo de 90 graus, e é por isso que os pedreiros e carpinteiros fazem assim.
Por que uma largura de zero dá um perímetro de 14 em vez de nada?
Porque um retângulo achatado continua sendo uma forma, apenas degenerada. Esmagá-lo até a largura zero o transforma num segmento de reta de comprimento 7, que não cobre área nenhuma, então a área é 0 e a diagonal colapsa sobre o comprimento. A fórmula do perímetro não se importa: duas vezes a soma do comprimento com a largura é duas vezes 7, que é a distância ao longo do segmento e de volta, uma vez para cada um dos dois lados longos que agora estão um sobre o outro. A resposta é real, e a página trata o zero como uma entrada e não como um campo vazio.
Qual é a diferença em relação à calculadora de quadrado?
Um quadrado é um retângulo cujos lados são iguais, então tudo aqui funciona num quadrado — ponha o mesmo número nos dois campos e as três respostas saem certas. A diferença é a direção da pergunta. Esta página recebe dois números e dá respostas; a página do quadrado recebe qualquer um entre o lado, o perímetro e a área e calcula o resto, porque um quadrado tem um único grau de liberdade e um retângulo tem dois. Use esta página quando você conhece os dois lados, e a página do quadrado quando você conhece uma medida e quer as outras.

Referências

Calculadoras relacionadas

Calculadora de quadradoLado, perímetro, área e diagonal de um quadrado.Calculadora de área do paralelogramoÁrea e perímetro do paralelogramo pela base, altura e lado.Calculadora de perímetroPerímetro das formas comuns a partir dos lados.Calculadora de área do trapézioÁrea do trapézio a partir das duas bases e da altura.