Calculadora de área do trapézio
Resultado
Área
Uma calculadora de área do trapézio recebe os dois lados paralelos e a distância entre eles e devolve quanta superfície a figura cobre, em centímetros quadrados. Um trapézio é um quadrilátero com um par de lados opostos paralelos — esses dois são as bases, e todo o resto sai deles. A fórmula é a média das duas bases multiplicada pela altura, e a média é a parte que vale entender, porque ela explica por que esta página é mais geral que as duas vizinhas. Pegue um trapézio, copie-o, gire a cópia meia volta e junte as duas ao longo de um dos lados inclinados: o que sai é um paralelogramo cuja base é a soma das duas bases e cuja altura não mudou. A parte do trapézio é metade disso, o que dá no mesmo que dizer a média das duas bases vezes a altura. Quando as duas bases por acaso são iguais, tirar a média não muda nada e a fórmula se reduz a base vezes altura — que é o paralelogramo. Quando uma delas é zero, a média é metade da outra e a fórmula se reduz à do triângulo. Ou seja, o trapézio não é uma figura esquisita que precisou de regra própria; ele é o caso geral, e as outras duas são aquilo em que ele se transforma nas pontas. Há uma coisa a saber antes de começar a digitar, e ela economiza um tempo surpreendente: não importa qual base vai em qual campo. A fórmula soma as duas antes de qualquer outra coisa, então um trapézio apoiado no lado maior e o mesmo trapézio apoiado no lado menor dão a mesma resposta, e uma base superior maior que a inferior não é erro — significa apenas que a figura está de cabeça para baixo. A palavra que exige cuidado é altura. Ela é a distância perpendicular entre as duas bases, não o comprimento de nenhum dos lados inclinados, pela mesma razão que na página do triângulo.
A área de um trapézio a partir dos dois lados paralelos e da distância entre eles
| Base superior (cm) | Base inferior (cm) | Altura (cm) | Área (cm²) |
|---|---|---|---|
| 6 | 10 | 4 | 32 |
| 5 | 9 | 6 | 42 |
| 3 | 7 | 2 | 10 |
| 8 | 8 | 5 | 40 |
| 0 | 10 | 4 | 20 |
| 12 | 4 | 7 | 56 |
| 2 | 2 | 3 | 6 |
| 1 | 9 | 10 | 50 |
Oito trapézios e quatro colunas, e duas das linhas são a razão de a página existir. A quarta é a linha do paralelogramo: duas bases de 8 com altura 5 dão 40, que é o que a página do paralelogramo imprime para a mesma figura — esta tabela e aquela se encontram nessa linha. A quinta é a linha do triângulo: base superior 0 com base inferior 10 e altura 4 dá 20, que é o que a página do triângulo dá quando você entra com base 10 e altura 4. Lidas juntas, essas duas linhas dizem que o trapézio é o caso geral e que as outras figuras são as suas pontas. A primeira linha é o par com que a página carrega, e a sexta é a sua imagem espelhada: base superior 12 sobre base inferior 4 é uma figura apoiada no lado maior, e trocar as duas entradas chega aos mesmos 56 — experimente e veja a resposta se recusar a mudar. A sétima é um paralelogramo pequeno, duas bases de 2 com altura 3, que a fórmula geral resolve sem nenhum caso especial. Todo valor aqui é recalculado a partir das suas três entradas quando a página é construída, em centímetros, e os números da tabela são exatamente os que o painel de resultados mostra, apenas sem as quatro casas decimais fixas que ele acrescenta.
Fórmula
A = (a + b) ÷ 2 × h
- a
- Um dos dois lados paralelos, em centímetros. Qual deles você chama de a e qual chama de b não importa — os dois são somados, então invertê-los dá a mesma resposta
- b
- O outro lado paralelo, em centímetros. Ele pode ser mais longo ou mais curto que a; uma base superior maior que a inferior é só a figura de cabeça para baixo
- h
- A distância perpendicular entre as duas bases, em centímetros — medida em ângulo reto com as duas, nunca ao longo de um lado inclinado
- (a + b) ÷ 2
- A média das duas bases, e o truque inteiro da fórmula. A área de um trapézio se comporta como se a figura fosse um retângulo cuja largura é a média das duas bases
- Dois
- O divisor, e a razão de esta página conter as outras duas figuras. Quando as bases são iguais, a divisão por dois e a média se cancelam e volta base vezes altura; quando uma base é zero, a média é metade da outra e aparece a divisão por dois do triângulo
- Área
- Quanta superfície o trapézio encerra, em centímetros quadrados — sempre nesta unidade, digam o que disserem os seletores
- Quatro casas decimais
- A largura com que a leitura é escrita. Dividir por dois a soma de duas bases é exato para centímetros inteiros, então só aparece fração quando as próprias entradas já trazem uma
Tudo o que tem forma de trapézio e é orçado ou coberto por área. Telhados são o caso clássico e a razão de a figura ter nome no vocabulário de todo profissional: um telhado de quatro águas, um oitão visto de lado, o trapézio entre duas águas-furtadas, tudo isso é esta fórmula, e telhado se encomenda por metro quadrado. Terreno é o outro caso antigo. Um lote com dois lados paralelos e dois que não são é um trapézio, e um lote com mais lados que isso costuma ser cortado em trapézios e triângulos, que é como se mede terreno irregular desde muito antes de existir calculadora. Fora esses dois, é a mesma figura aparecendo em tudo que é mais largo numa ponta do que na outra: uma entrada de garagem que afunila, um pedaço de terra entre duas vias que divergem, um painel acústico, um trecho de duto que alarga, um tampo de mesa trapezoidal, a face de uma barragem, um canal de drenagem. Também vale conhecer por uma razão que não tem nada a ver com trapézios. Como o caso das bases iguais dá o paralelogramo e o caso da base zero dá o triângulo, esta única fórmula cobre a área de todo quadrilátero com um par de lados paralelos — então, se você guardar só esta, leva as outras duas de graça, e o retângulo também. É nesse sentido que esta página é a geral.
Exemplos resolvidos
Base superior 6, base inferior 10 e altura 4
- Some as duas bases: 6 + 10 = 16
- Divida por dois para obter a largura média: 16 ÷ 2 = 8
- Multiplique pela altura: 8 × 4 = 32
O par com que a página carrega. É também a linha para demonstrar que a ordem das bases não importa: ponha 10 no campo de cima e 6 no de baixo, e dá 32 outra vez. As duas são somadas antes de qualquer outra coisa, então os campos não são bem um superior e um inferior — são apenas os dois lados paralelos.
Base superior 12, base inferior 4 e altura 7
- Some as duas bases: 12 + 4 = 16
- Divida por dois: 16 ÷ 2 = 8
- Multiplique pela altura: 8 × 7 = 56
Um trapézio cuja base superior é maior que a inferior, o que não é erro nem é uma figura diferente em nada que importe — significa apenas que a figura está apoiada no lado maior. Como as duas bases são somadas antes de qualquer outra coisa, digitar 4 em cima e 12 embaixo chega aos mesmos 56. Experimente dos dois jeitos e veja a resposta se recusar a mudar.
Base superior 8 e base inferior 8
- Some as duas bases: 8 + 8 = 16
- Divida por dois: 16 ÷ 2 = 8
- Multiplique pela altura: 8 × 5 = 40
A linha do paralelogramo. Quando as duas bases são iguais não sobra nada para tirar média, e a fórmula faz o que a página do paralelogramo faz: base vezes altura, 40. A divisão por dois e a média se cancelam exatamente, e é por isso que esta página contém aquela em vez de competir com ela.
Base superior 0 e base inferior 10
- Some as duas bases: 0 + 10 = 10
- Divida por dois: 10 ÷ 2 = 5
- Multiplique pela altura: 5 × 4 = 20
A linha do triângulo, e a outra ponta da fórmula. Base superior zero quer dizer que a figura foi espremida até um ponto, então ela é um triângulo de base 10 e altura 4 — e a página do triângulo dá 20 exatamente para esses dois números. A média entre 0 e 10 é 5, que é metade da base, que é a divisão por dois do triângulo chegando pelo outro lado.
Base superior 1, base inferior 9 e altura 10
- Some as duas bases: 1 + 9 = 10
- Divida por dois: 10 ÷ 2 = 5
- Multiplique pela altura: 5 × 10 = 50
Uma tira estreita em cima de outra muito mais larga, que é a cara de um lote que afunila ou de um duto que alarga. A média entre 1 e 9 é 5, e 5 também é a média entre 0 e 10 — o que é o mesmo fato da linha acima, visto por outro par de números. Nada aqui precisou de decimal, e nada foi arredondado.
Limitações
Esta página calcula a área e nada mais. Ela não dá o perímetro, os lados inclinados, a altura nem os ângulos, e não funciona de trás para frente a partir de uma área até uma medida que falta — uma área sozinha não determina um trapézio, então não há para onde voltar. A altura é a distância perpendicular entre as duas bases e não o comprimento de um lado inclinado; se a única medida que você tem corre ao longo de uma das arestas inclinadas, ela é o número errado para este campo. As duas bases e a altura precisam estar na mesma unidade, e a resposta sai sempre em centímetros quadrados, digam o que disserem os seletores, então uma figura medida em polegadas volta como um número em centímetros quadrados que precisa ser dividido por 6,4516 para ser lido em polegadas quadradas. A figura tem de ter exatamente um par de lados paralelos: um quadrilátero qualquer sem lados paralelos precisa ser partido em triângulos, e uma figura com dois pares de lados paralelos é um paralelogramo, que esta página ainda calcula mas que tem página própria. Um trapézio desenhado sobre uma superfície curva está fora do escopo, e o volume de um sólido com faces trapezoidais também.
Perguntas frequentes
- Faz diferença qual base vai em qual campo?
- Não, e vale saber disso antes de começar. A fórmula soma as duas antes de fazer qualquer outra coisa, então uma base de 6 com uma base de 10 dá a mesma resposta em qualquer ordem. Uma base superior maior que a inferior também não é engano — significa apenas que o trapézio está apoiado do outro lado.
- O que é exatamente a altura?
- A distância perpendicular entre os dois lados paralelos, medida em ângulo reto com os dois. Não é o comprimento de nenhum dos lados inclinados, que é sempre maior quando a figura se inclina. É o mesmo aviso da página do triângulo, e pela mesma razão: entrar com um lado inclinado dá uma área maior que parece perfeitamente plausível.
- Por que a página do paralelogramo existe se esta cobre o caso?
- Porque quem quer a área de um paralelogramo em geral não pensa nele como um trapézio de duas bases iguais, e obrigar a pessoa a dar esse passo é trabalho sem benefício. As duas páginas concordam exatamente: dê a esta duas bases de 8 e altura 5 e você chega a 40, que é o que a página do paralelogramo imprime para a mesma figura. A sobreposição é deliberada, e a tabela de cada página tem uma linha parada nesse ponto.
- E se uma das bases for zero?
- Então o trapézio foi espremido até um ponto e ele é um triângulo, e a resposta está certa. Base superior zero com base inferior 10 e altura 4 dá 20 — os mesmos 20 que a página do triângulo dá para base 10 e altura 4, porque é a mesma figura. Zero é tratado como valor de verdade, não como campo vazio; deixar um campo em branco é outra coisa e não mostra resultado nenhum.
- Consigo descobrir uma base que falta a partir da área?
- Não só com a área. Uma área não determina um trapézio — existem infinitos trapézios com a mesma área e lados bem diferentes —, então não há o que resolver de trás para frente. Se você tem a área, a altura e uma das bases, então a outra base sai da fórmula por rearranjo, mas essa é uma conta que você faz à mão, não algo que esta página ofereça.
- Isto serve para uma figura com dois pares de lados paralelos?
- Dá o número certo, sim, porque uma figura com dois pares de lados paralelos é um paralelogramo — e já vimos que esta fórmula se reduz a base vezes altura quando as duas bases são iguais, que é exatamente o caso do paralelogramo. Mas essa figura tem página própria, e usá-la costuma ser mais claro do que tratar um retângulo como trapézio.
Referências
- Trapezoid — the shape, the vocabulary of bases and legs, and the area formula this page computes — Wolfram MathWorld (United States)
- Parallelogram — what a trapezoid becomes when its two bases are equal, and the base-times-height result it collapses into — Wolfram MathWorld (United States)
- Quadrilateral — the family this shape belongs to, and where the trapezoid sits in it relative to the parallelogram and the rectangle — Wolfram MathWorld (United States)