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CalcMax

Calculadora de hexágono

Intervalo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Resultado

93,5307 cm²

Área

Perímetro
36,0000 cm
Diagonal maior
12,0000 cm
Diagonal menor
10,3923 cm
Apótema
5,1962 cm
Ângulo interno
120 °

Uma calculadora de hexágono recebe o comprimento do lado de um hexágono regular e devolve seis medidas dele: a área, o perímetro, as duas diagonais, o apótema e o ângulo interno. Um hexágono regular é a forma de uma célula de favo de mel, de uma porca, de uma cabeça de parafuso e de um ladrilho de piso, e o motivo de ele aparecer tão often é que é o jeito mais eficiente de dividir uma superfície em células iguais sem vãos — foi por isso que as abelhas o encontraram antes que alguém o demonstrasse. A outra virtude dele é aritmética: um hexágono regular é feito de seis triângulos equiláteros unidos num ponto, e quase tudo sobre ele decorre desse único fato. O perímetro são seis lados. A diagonal longa, a que atravessa reto pelo centro de um vértice ao vértice oposto, é dois lados, porque são dois desses triângulos postos ponta a ponta. A diagonal curta, a que pula um único vértice, é a altura de dois desses triângulos encostados pelas bases, que é a raiz quadrada de três vezes o lado. A área são seis triângulos equiláteros, cada um deles um quarto da raiz quadrada de três vezes o lado ao quadrado, e seis desses dão três vezes a raiz quadrada de três sobre dois, vezes o lado ao quadrado. E o apótema — a distância do centro em linha reta até o meio de um lado, que é o raio da circunferência dentro da qual o hexágono está — é metade da diagonal curta, ou a raiz quadrada de três sobre dois vezes o lado. Seis saídas, uma entrada. Vale parar um instante nessa entrada única, porque é ela que torna esta página diferente da maioria das que estão em volta. Um retângulo precisa de dois números, um triângulo precisa de três, e um quadrilátero qualquer precisa de mais que isso; um hexágono regular precisa só do lado, porque a palavra regular já fixou todos os ângulos em 120 graus e todos os lados no mesmo comprimento. Mude o lado e a figura inteira escala junto — dobre o lado e o perímetro dobra, as diagonais dobram, mas a área vai para quatro vezes, já que área sempre acompanha o quadrado do comprimento e esta página não é exceção. O ângulo interno é a única figura que não se move de forma alguma quando o lado se move: ele está fixo em 120 graus pelo simples fato de haver seis lados, o que vale a pena ver na tabela abaixo, onde o mesmo número corre pela última coluna de todas as linhas. As cinco figuras de tamanho são impressas com quatro casas decimais porque três delas carregam a raiz quadrada de três e quase nunca dão exato, enquanto o perímetro e a diagonal longa são exatos sempre que o lado é; o ângulo é um número inteiro e é impresso como tal.

Hexágonos regulares de um lado zero a um lado dez

Lado (cm)Área (cm²)Perímetro (cm)Diagonal longa (cm)Diagonal curta (cm)Apótema (cm)Ângulo interno (°)
693.5307361210.39235.1962120
12.5981621.73210.866120
210.39231243.46411.7321120
323.38271865.19622.5981120
564.951930108.66034.3301120
7.5146.1418451512.99046.4952120
10259.8076602017.32058.6603120
000000120

Oito hexágonos, e a primeira linha é a com que a página carrega. Leia as duas primeiras colunas para ver a relação que pega as pessoas: ir de um lado 5 para um lado 10 dobra o perímetro, as diagonais e o apótema, mas a área vai de 64,9519 para 259,8076 — quatro vezes, e não duas, porque a área acompanha o quadrado do comprimento. A última coluna é o mesmo 120 em todas as linhas, e isso é a propriedade e não um erro de copiar e colar: o ângulo interno de um hexágono regular é fixado por ele ter seis lados, então não se move quando o tamanho se move, e é a única figura desta página que sobrevive ao lado ir a zero enquanto as outras cinco colapsam para nada. A segunda linha é o hexágono unitário, onde as três saídas com raiz de três estão na forma mais simples: 1,7321 para a diagonal curta e 0,866 para o apótema, que são √3 e √3 sobre dois. A terceira linha é onde está a primeira coincidência: um hexágono de lado 2 tem área de 10,3923, e o hexágono de lado 6 da primeira linha tem uma diagonal curta dos mesmos 10,3923. A sétima linha, um lado de 10, carrega a segunda: o apótema dela é 8,6603, que é a diagonal curta de um hexágono de lado 5 — as duas são 5√3 alcançado de direções diferentes. Duas grandezas compartilhando quatro dígitos impressos na mesma tabela é exatamente o tipo de coisa que parece erro de copiar e colar, e as duas são reais. A última linha é um lado de zero, onde as cinco colunas de tamanho são zero e a resposta é de verdade e não está faltando — e onde a coluna do ângulo, pelo motivo acima, ainda é 120. Todo número aqui é recalculado a partir do seu lado quando a página é construída, em centímetros e graus, e as larguras decimais são as mesmas que o painel de resultados usa. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.

Fórmula

A = (3√3 ÷ 2) × s² P = 6s d_longa = 2s d_curta = √3 × s apótema = (√3 ÷ 2) × s ângulo interno = 120°

Lado
O comprimento de qualquer um dos seis lados, em centímetros. Esta é a única entrada porque um hexágono regular tem os seis lados iguais e os seis ângulos fixos em 120 graus, então esse número sozinho determina a figura inteira
Área
O espaço dentro do hexágono, em centímetros quadrados, que é três vezes a raiz quadrada de três sobre dois, vezes o lado ao quadrado. Os seis triângulos equiláteros de que ele é feito são a origem dessa constante, e não uma fórmula a decorar
Perímetro
A distância por todo o contorno, em centímetros: seis vezes o lado, já que os seis são iguais. É a única saída que é sempre exata quando o lado é, o que a torna a figura com que se conferem as outras
Diagonal longa
A distância de um vértice em linha reta pelo centro até o vértice oposto, em centímetros. É exatamente duas vezes o lado, o que a torna o diâmetro da circunferência traçada em volta do hexágono, e é também a medida mais larga que se consegue tirar na figura
Diagonal curta
A distância entre dois vértices com exatamente um vértice entre eles, em centímetros, que é a raiz quadrada de três vezes o lado. É um pouco menos que o dobro do apótema e um pouco mais que uma vez e meia o lado, e divide o hexágono num retângulo e dois triângulos
Apótema
A distância do centro em linha reta até o ponto médio de um lado, em centímetros, que é a raiz quadrada de três sobre dois vezes o lado. É o raio da circunferência traçada dentro do hexágono, e é exatamente metade da diagonal curta — as duas são a mesma medida vista do centro e vista de um vértice
√3
A raiz quadrada de três, cerca de 1,7320508. Ela aparece na área, na diagonal curta e no apótema, e é a altura de um triângulo equilátero de lado um — o número que transforma o lado de um triângulo na altura dele
Ângulo interno
O ângulo entre dois lados vizinhos por dentro do hexágono, que é 120 graus em todo hexágono regular e portanto não depende do lado de forma alguma. Ele vem da regra de que os ângulos de qualquer polígono somam a contagem de lados menos dois, vezes 180 graus — seis lados, quatro triângulos, 720 graus repartidos entre seis vértices iguais. É a única saída desta página que um hexágono maior imprime exatamente igual
Quatro casas decimais
A largura com que toda saída é escrita. A área, a diagonal curta e o apótema quase sempre carregam um √3 e por isso quase nunca terminam; o perímetro e a diagonal longa são exatos, e imprimi-los com quatro casas é uma largura e não uma afirmação. O ângulo interno é 120 exato, então é impresso como número inteiro e sem ponto decimal nenhum — as larguras são por saída e não uma largura única para a página

A página é para o hexágono como objeto físico, e o favo de mel é o motivo de ele aparecer tanto. Se você está ladrilhando uma superfície e quer saber quanto material um ladrilho hexagonal consome, a área é a figura que você quer, e vale saber que um hexágono de lado um tem área de cerca de 2,6 enquanto um quadrado de lado um tem área de 1 — um hexágono cobre mais terreno com o mesmo comprimento de aresta, que é a eficiência que faz os favos valerem a pena serem copiados em embalagens e em painéis. Se você está recortando os ladrilhos de uma chapa, o apótema é o que diz a que distância espaçar os centros, e as duas diagonais dizem de quanto espaço livre a figura pronta precisa — a longa na parte mais larga, a curta entre as medidas de lado plano, que são as que determinam se uma porca vai caber numa chave. Uma cabeça de parafuso é cotada entre lados planos, que é o dobro do apótema, e uma chave para ela é cotada do mesmo jeito, então a saída do apótema é a que se procura e não a da diagonal longa. E se você está conferindo um desenho, as duas diagonais têm entre si uma razão fixa — a curta é exatamente metade da longa vezes a raiz quadrada de três —, então um hexágono calculado cujas diagonais não estejam nessa razão tem um erro de digitação e não uma diferença de arredondamento.

Exemplos resolvidos

  1. Um lado de 6

    1. Perímetro: 6 × 6 = 36
    2. Diagonal longa: 2 × 6 = 12
    3. Apótema: (√3 ÷ 2) × 6 = 5,196152…, que arredonda para 5,1962
    4. Diagonal curta: √3 × 6 = 10,392304…, que arredonda para 10,3923
    5. Área: (3√3 ÷ 2) × 36 = 93,530743…, que arredonda para 93,5307
    6. Ângulo interno: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 graus, e é o mesmo para todo hexágono regular

    A entrada com que a página carrega. Duas das seis saídas são exatas — o perímetro em 36 e a diagonal longa em 12 — e três carregam a raiz quadrada de três e imprimem quatro dígitos. O ângulo interno é a sexta: 120 graus, a mesma figura que a tabela abaixo imprime em todas as suas oito linhas. A conferência que vale fazer uma vez: o apótema é exatamente metade da diagonal curta, 5,1962 contra 10,3923, e isso vale para todo lado e não só para este.

  2. Um lado de 1

    1. Perímetro: 6 × 1 = 6
    2. Diagonal longa: 2 × 1 = 2
    3. Diagonal curta: √3 × 1 = 1,7320508…, que arredonda para 1,7321
    4. Apótema: 0,8660254…, que arredonda para 0,866
    5. Área: (3√3 ÷ 2) × 1 = 2,5980762…, que arredonda para 2,5981
    6. Ângulo interno: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 graus, e é o mesmo para todo hexágono regular

    O hexágono unitário, e a linha de onde guardar as constantes: um hexágono regular de lado um tem área de 2,5981, diagonal curta de 1,7321 e apótema de 0,8660. Ele também ganha de um quadrado de lado um, cuja área é 1, que é a aritmética por trás do favo de mel. O apótema aparece como 0,866 e não 0,8660 porque a quarta casa decimal é um zero à direita e a forma impressa é a mais curta possível — e o ângulo interno, em 120, não tem parte decimal nenhuma para imprimir.

  3. Um lado de 2

    1. Perímetro: 6 × 2 = 12
    2. Diagonal longa: 2 × 2 = 4
    3. Diagonal curta: √3 × 2 = 3,4641016…, que arredonda para 3,4641
    4. Apótema: 1,7320508…, que arredonda para 1,7321
    5. Área: (3√3 ÷ 2) × 4 = 10,392304…, que arredonda para 10,3923
    6. Ângulo interno: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 graus, e é o mesmo para todo hexágono regular

    A linha que surpreende as pessoas: a área deste hexágono é 10,3923, e um hexágono de lado 6 tem diagonal curta de 10,3923. Duas grandezas diferentes em dois hexágonos diferentes imprimindo os mesmos quatro dígitos são uma coincidência dos números e não um cálculo repetido, e vale saber disso antes de você topar com o caso na tabela de referência e imaginar o pior. O ângulo interno, em contrapartida, é a única coluna sem surpresa nenhuma: 120 em todas as linhas.

  4. Um lado de 10

    1. Perímetro: 6 × 10 = 60
    2. Diagonal longa: 2 × 10 = 20
    3. Diagonal curta: √3 × 10 = 17,320508…, que arredonda para 17,3205
    4. Apótema: (√3 ÷ 2) × 10 = 8,660254…, que arredonda para 8,6603
    5. Área: (3√3 ÷ 2) × 100 = 259,807621…, que arredonda para 259,8076
    6. Ângulo interno: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 graus, e é o mesmo para todo hexágono regular

    Um hexágono de dez centímetros, mais ou menos o tamanho de um ladrilho pequeno. O apótema de 8,6603 é a segunda das duas coincidências desta página: tem os mesmos quatro dígitos da diagonal curta de um hexágono de lado 5, já que os dois são 5√3 visto de lugares diferentes. A figura que vale tirar desta linha é a diagonal longa de 20 contra a curta de 17,32 — o hexágono é mais largo entre os vértices do que entre os lados planos, em cerca de 15%, e é por isso que uma porca e a chave que serve nela são cotadas entre lados planos.

  5. Um lado de 0

    1. Perímetro: 6 × 0 = 0
    2. Diagonal longa: 2 × 0 = 0
    3. Diagonal curta: √3 × 0 = 0
    4. Apótema: (√3 ÷ 2) × 0 = 0
    5. Área: (3√3 ÷ 2) × 0 = 0
    6. Ângulo interno: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 graus, e é o mesmo para todo hexágono regular

    Zero é uma entrada legal e não uma caixa vazia. Um hexágono de lado zero é um ponto único e as cinco medidas de tamanho são todas zero, então uma fileira de zeros é uma resposta de verdade e não um sinal de que algo deixou de ser preenchido. O ângulo interno é a exceção e continua em 120 graus, porque ele é propriedade de haver seis lados e não do tamanho — a figura colapsou, mas não virou outra figura. A página distingue um zero de deixar a caixa em branco, que não mostra resultado nenhum porque não há de onde partir.

Limitações

A página é só para hexágonos regulares: os seis lados do mesmo comprimento e os seis ângulos de 120 graus. Um hexágono que não seja regular não tem um comprimento de lado único e não pode ser descrito por um número só, e a página vai silenciosamente devolver as figuras do hexágono regular com aquele lado, em vez de avisar que a figura que você tem em mente é outra. O ângulo interno é fixo em 120 graus para qualquer tamanho e é impresso sem mudança em todas as linhas da tabela, inclusive na linha em que o lado é zero; a página não dá ângulo externo nem ângulo central, e não dá ângulo nenhum para um hexágono que não seja regular, porque não há uma resposta única a dar. As saídas estão em centímetros, centímetros quadrados e graus, seja qual for a unidade escolhida na lista, então um lado digitado em polegadas volta como resposta em centímetros que você mesmo precisa converter. Quatro casas decimais são uma largura de exibição e não uma afirmação de precisão: são generosas para um lado medido e os dois últimos dígitos não são significativos, a menos que a entrada fosse exata. A área cresce com o quadrado do lado enquanto o perímetro e as diagonais crescem com o próprio lado, então ampliar um hexágono muda essas figuras a taxas diferentes — o ângulo interno é a única que não muda de forma alguma. O apótema e a diagonal curta são impressos como duas saídas mesmo sendo um exatamente metade do outro, porque os dois são cotados em ofícios diferentes e a página prefere imprimir os dois a fazer você dividir um por dois. Nada aqui trata de um hexágono com um furo no meio, de um hexágono desenhado sobre uma superfície curva, nem da espessura de um ladrilho ou de uma porca hexagonal, que é uma terceira dimensão para a qual esta página não tem campo.

Perguntas frequentes

Por que uma medida só basta para um hexágono?
Porque a página é para hexágonos regulares, em que os seis lados são iguais e os seis ângulos estão fixos em 120 graus. Esses dois fatos deixam só o tamanho para decidir, e um comprimento de lado resolve isso. É o que separa um hexágono regular de um retângulo, que precisa de dois números, ou de um triângulo qualquer, que precisa de três.
O que é o apótema e por que ele é útil?
É a distância do centro do hexágono em linha reta até o meio de um lado, e é o raio da maior circunferência que cabe dentro dele. Ele é útil porque é assim que objetos de lados planos são medidos na prática: uma porca e a chave que serve nela são cotadas entre lados planos, que é o dobro do apótema, e não entre vértices, que é a diagonal longa.
Qual diagonal é qual?
A diagonal longa vai de um vértice em linha reta pelo centro até o vértice oposto e é exatamente duas vezes o lado. A diagonal curta vai entre dois vértices com um vértice entre eles e é a raiz quadrada de três vezes o lado. A longa é cerca de 15% mais longa que a curta, e a curta é exatamente o dobro do apótema.
Por que três das saídas têm quatro decimais e as outras nenhuma?
Porque as larguras são definidas por saída e não para a página. A área, a diagonal curta e o apótema contêm todos a raiz quadrada de três, que nunca termina, então as respostas deles quase nunca terminam também, e eles são impressos com quatro casas. O perímetro é seis vezes o lado e a diagonal longa é duas vezes o lado, então os dois são exatos sempre que o lado é — eles são impressos com quatro casas como largura fixa, e zeros à direita simplesmente não aparecem. O ângulo interno é 120 exato, então é impresso como número inteiro e sem ponto decimal nenhum.
Como um hexágono se compara com um quadrado de mesmo lado?
O hexágono cobre mais. Um hexágono regular de lado um tem área de cerca de 2,6 unidades quadradas contra 1 de um quadrado de lado um, usando o mesmo comprimento de aresta em cada um — mas ele também tem um perímetro maior para essa aresta, seis lados em vez de quatro, então a comparação só é justa quando enunciada como área por unidade de comprimento de aresta. Essa eficiência é o motivo de favos de mel, berços de embalagem e painéis de radiador usarem células hexagonais.
O lado pode ser zero?
Pode, e as cinco saídas voltam como zero, que é a descrição honesta de um hexágono sem tamanho. Zero é tratado como uma entrada de verdade e não como uma caixa vazia, então uma fileira de zeros é uma resposta. Uma caixa em branco é o outro caso: sem nada nela, a página não mostra resultado nenhum, porque não há de onde partir.
Por que o ângulo interno nunca muda quando eu mudo o lado?
Porque ele é propriedade da figura e não do tamanho dela. Os ângulos de qualquer polígono somam a contagem de lados menos dois, vezes 180 graus; para seis lados isso dá 720 graus, e um hexágono regular os reparte igualmente entre seis vértices, o que dá 120 em cada. Nada nessa aritmética menciona o comprimento do lado, então um hexágono de lado 1 e um de lado 10 têm os dois vértices de 120 graus — e um hexágono colapsado num ponto ainda informa 120, que é a resposta honesta para uma figura que perdeu o tamanho mas não a forma.

Referências

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