Pular para o conteúdo principal
CalcMax

Calculadora de polígonos

Intervalo: 3 – 1.000

Intervalo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Resultado

93,5307 cm²

Área

Perímetro
36,0000 cm
Apótema
5,1962 cm
Ângulo interno
120,00 °
Número de diagonais
2

A calculadora de polígono recebe o número de lados de um polígono regular e o comprimento de um desses lados, e devolve cinco números: a área, o perímetro, o apótema, o ângulo interno e quantos comprimentos diferentes de diagonal a figura tem. Ela é o caso geral das três páginas de forma única ao lado dela, e a diferença entre elas está na entrada, não na saída. Uma página de pentágono sabe que está lidando com cinco lados, então pede um número; esta tem de receber quantos lados existem antes de calcular qualquer coisa e, uma vez que sabe, o resto da aritmética é igual para toda figura, de um triângulo a um polígono de mil lados. Vale a pena ter as cinco fórmulas num lugar só porque quatro delas são a mesma forma repetida. O perímetro é o lado multiplicado pelo número de lados, e é o único número que é exato sempre que o lado for. A área é o número de lados dividido por quatro vezes a tangente de pi sobre o número de lados, tudo multiplicado pelo lado ao quadrado, e a constante que multiplica o lado ao quadrado anda junto com a forma: é 0,4330 para um triângulo, 1 para um quadrado, 1,7205 para um pentágono e 2,5981 para um hexágono, e continua crescendo a partir daí — 31,5688 com vinte lados e 79.577,2097 com mil —, porque o lado fica fixo enquanto a figura cresce. O número que de fato se aproxima de pi, 3,1416, é outro: é a área dividida pelo quadrado da distância do centro até um vértice, que vale 2 para um quadrado e 2,5981 para um hexágono. O apótema, a distância do centro até o meio de um lado, é o lado dividido por duas vezes a tangente de pi sobre o número de lados. O ângulo interno é o número de lados menos dois, vezes 180, dividido pelo número de lados — 60 graus com três lados, 108 com cinco, 120 com seis, 135 com oito e 179,64 com mil. E as diagonais são os números que mudam de espécie, e não de tamanho, conforme a contagem de lados cresce: um triângulo não tem nenhuma, um quadrado e um pentágono têm uma, um hexágono duas, um octógono três e uma figura de doze lados cinco. Esta página responde a isso com uma contagem em vez de comprimentos, porque uma lista fixa de saídas não comporta uma quantidade de leituras que depende da própria entrada: não há como imprimir os comprimentos sem imprimir dois números idênticos com quatro e com cinco lados ou sem deixar as colunas vazias. Os comprimentos em si estão nas três páginas de forma única, onde a forma é conhecida e a contagem não é uma variável. A tabela abaixo está organizada ao contrário das daquelas páginas — o lado fica em 6 e quem muda é o número de lados — para que a mesma aresta possa ser acompanhada desde um triângulo até o ponto em que a figura deixou de ser um polígono em qualquer sentido prático e virou um círculo.

Polígonos regulares com lado 6, de um triângulo a uma figura de mil lados

LadosÁrea (cm²)Perímetro (cm)Apótema (cm)Ângulo interno (°)Comprimentos das diagonais
315.5885181.7321600
436243901
561.9372304.12911081
693.5307365.19621202
7130.8208426.2296128.572
8173.8234487.24261353
10276.9915609.23311444
12403.06157211.19621505
201136.475312018.94131629
10002864779.55096000954.9265179.64499

Dez figuras que têm todas a mesma aresta, então as colunas se leem como uma única figura crescendo e não como dez tamanhos diferentes. Três linhas desta tabela são a reconciliação com as três páginas de forma única: com cinco lados a área é 61,9372, com seis 93,5307, com oito 173,8234, que são os números com que as calculadoras de pentágono, de hexágono e de octógono carregam. Se aquelas três discordarem algum dia destas três células, a fórmula geral se afastou das específicas. A primeira coluna é a entrada que torna esta página diferente das irmãs, e as duas últimas colunas são as que não se movem quando o lado se move — o ângulo interno é fixado só pelo número de lados, e a contagem de diagonais é uma contagem de comprimentos e não de diagonais. Repare na largura de exibição da coluna do ângulo interno: ângulos inteiros aparecem aqui como 60, 90, 108, 120, 135 e 144, porque a tabela imprime o número em si, enquanto o painel de resultados acima deles imprime 60,00, e o 128,57 do heptágono aparece igual nos dois. Isso é uma quantidade em duas larguras, não duas respostas. A linha de baixo é a razão pela qual a página para em mil lados: uma figura de mil lados e perímetro de 6.000 tem área de 2.864.779,5509 contra 2.864.788,9757 de um círculo verdadeiro de mesmo perímetro, uma diferença de 0,0003 por cento, então passando dessa linha o comprimento do lado deixou de dizer qualquer coisa sobre a figura. Toda célula é recalculada a partir da sua linha quando a página é construída, em centímetros, centímetros quadrados e graus. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.

Fórmula

A = n ÷ (4·tan(π ÷ n)) × s² P = n·s a = s ÷ (2·tan(π ÷ n)) ângulo interno = (n − 2) × 180 ÷ n comprimentos das diagonais = ⌊n ÷ 2⌋ − 1

n
O número de lados, e a única entrada desta página que muda qual figura você está olhando em vez de mudar o tamanho dela. Tem de ser um número inteiro de pelo menos três: dois lados não fecham nada, e meio lado não é um lado. Tudo, exceto o perímetro, é uma função curva dele, e é por isso que esta página imprime o mesmo lado em dez contagens de lados em vez dos dez lados diferentes que as três páginas de forma única imprimem
s
O comprimento de qualquer um dos lados, em centímetros. Como em toda página de polígono regular, este é o único comprimento que existe: a figura é fixada por ter todos os lados iguais e todos os ângulos iguais, então um lado e a contagem determinam a figura inteira
A
A área, em centímetros quadrados: o número de lados dividido por quatro vezes a tangente de pi sobre o número de lados, multiplicado pelo lado ao quadrado. O fator que multiplica o lado ao quadrado é 0,4330 com três lados e cresce sem limite a partir daí — passa de 1 no quadrado, é 31,5688 com vinte lados e 79.577,2097 com mil —, porque um lado fixo numa figura com mais cantos cobre mais terreno. Mantenha o perímetro fixo em vez disso e o crescimento para: uma figura de mil lados com perímetro de 6.000 cobre 2.864.779,5509 contra 2.864.788,9757 do círculo de mesmo perímetro, uma diferença de 0,0003 por cento. O número que se aproxima de pi, 3,1416, é a área dividida pelo quadrado da distância do centro até um vértice
P
O perímetro, em centímetros: o lado multiplicado pelo número de lados. É a única saída exatamente linear nas duas entradas e a única que é exata sempre que as entradas forem, o que a torna o número contra o qual se conferem os outros quando um resultado parece errado
a
O apótema, em centímetros: a distância do centro direto até o ponto médio de um lado, que é o lado dividido por duas vezes a tangente de pi sobre o número de lados. É o raio do maior círculo que cabe dentro da figura, e o dobro dele é a largura entre os lados planos — a medida que uma régua consegue mesmo pegar
Ângulo interno
O ângulo entre dois lados vizinhos, por dentro da figura: o número de lados menos dois, vezes 180, dividido pelo número de lados. Ele não depende do comprimento do lado em nada, então é o mesmo número em toda linha de uma tabela cujo lado é fixo e cujo número de lados muda. Esta página o imprime com duas casas decimais porque o de um heptágono é 128,571428 e, sem elas, seria arredondado para 129 — que não é uma resposta mais curta, e sim uma resposta errada
⌊n ÷ 2⌋ − 1
Quantos comprimentos diferentes de diagonal a figura tem. As cordas que unem pares de vértices vêm em metade do número de lados de comprimentos distintos, e um deles é o próprio lado, então um triângulo não tem nenhum, um quadrado e um pentágono têm um cada, um hexágono dois, um octógono três. Isto é uma contagem e não um comprimento, então não carrega unidade e não se move quando o lado se move
π
A razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro, cerca de 3,14159265. Ele aparece aqui porque a tangente de pi sobre o número de lados é o que acopla a figura aos próprios cantos: a mesma constante que descreve o círculo do qual estas formas se aproximam conforme o número de lados sobe

Esta é a página a usar quando a forma não é uma das nomeadas, ou quando o assunto da pergunta é a própria forma e não uma medida dela. Se você sabe que está lidando com um hexágono ou um octógono, a página daquela forma pede um número em vez de dois e imprime também os comprimentos das diagonais; venha para cá quando o número de lados é o que você está escolhendo. Essa é a situação sempre que uma forma está sendo escolhida em vez de medida — quantos lados devem ter um canteiro elevado, o telhado de um quiosque, uma moeda ou um ladrilho —, porque a tabela deixa você ler a mesma aresta em dez contagens de lados numa coluna só e ver o que cada lado extra compra. Vale enunciar o padrão com clareza, e ele vem em duas metades fáceis de confundir. Com o lado fixo, cada lado acrescentado compra área, e os valores crescem em vez de encolher: passar de três lados para quatro acrescenta 20,4 centímetros quadrados a uma aresta de seis centímetros, de quatro para cinco acrescenta 25,9, de cinco para seis acrescenta 31,6, e a corrida de vinte lados até mil acrescenta 2.863.643, porque a figura está crescendo além de se arredondar e o perímetro cresce junto. Mantenha o perímetro fixo em vez disso e a troca se inverte. Com um perímetro de 6.000, o único passo de cinco lados para seis compra 120.589 centímetros quadrados, enquanto toda a corrida de vinte lados até mil — 980 lados a mais — compra 23.591. É para essa comparação que servem as duas últimas colunas da tabela, e é por isso que a cabeça de um parafuso, um ladrilho de piso e uma célula de favo de mel são hexágonos: passando de seis lados, a área extra deixa de valer a aresta extra a cortar e o canto extra a encaixar. A coluna do apótema serve para marcar uma forma numa folha, já que o dobro dele é a largura entre os lados planos, e a coluna do ângulo interno serve para construir uma forma a partir de peças, já que metade dele é o corte em meia-esquadria de cada peça e ele é o mesmo para qualquer tamanho daquela forma. Se você estiver comparando esta página com a calculadora de círculo, a linha dos mil lados é a comparação honesta: com lado 6 o perímetro dela é 6.000 e a área é 2.864.779,5509, contra 2.864.788,9757 de um círculo verdadeiro de mesmo perímetro, uma diferença de 0,0003 por cento.

Exemplos resolvidos

  1. Um hexágono, lado 6

    1. Perímetro: 6 × 6 = 36
    2. Ângulo interno: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 720 ÷ 6 = 120, exato
    3. Apótema: 6 ÷ (2 × tan 30°) = 6 ÷ 1,154700… = 5,196152…, que arredonda para 5,1962
    4. Área: 6 ÷ (4 × tan 30°) × 36 = 2,598076… × 36 = 93,530743…, que arredonda para 93,5307
    5. Comprimentos das diagonais: ⌊6 ÷ 2⌋ − 1 = 3 − 1 = 2

    A entrada com que a página carrega, e a linha que reconcilia esta página com a do hexágono: 93,5307 e 5,1962 são os dois números que a calculadora de hexágono mostra antes de você tocar em qualquer coisa. A contagem 2 da última coluna são também as duas diagonais da página do hexágono — uma que pula um vértice e uma que atravessa de ponta a ponta — escrita como contagem em vez de como comprimentos, que é o que esta página consegue fazer e aquela não. O ângulo interno de 120 aparece aqui como 120,00 no painel de resultados e como 120 na tabela abaixo, que é o mesmo número em duas larguras de exibição.

  2. Um triângulo, lado 6

    1. Perímetro: 3 × 6 = 18
    2. Ângulo interno: (3 − 2) × 180 ÷ 3 = 180 ÷ 3 = 60, exato
    3. Apótema: 6 ÷ (2 × tan 60°) = 6 ÷ 3,464101… = 1,732050…, que arredonda para 1,7321
    4. Área: 3 ÷ (4 × tan 60°) × 36 = 0,433012… × 36 = 15,588457…, que arredonda para 15,5885
    5. Comprimentos das diagonais: ⌊3 ÷ 2⌋ − 1 = 1 − 1 = 0

    A menor figura que a página aceita, e a única dela sem nenhuma diagonal: toda corda que une dois vértices de um triângulo é um dos seus três lados, então não sobra nada para ser diagonal. O zero é uma resposta e não uma célula vazia, e a área de 15,5885 concorda com a calculadora de triângulo equilátero no mesmo lado, que é a conferência de que a fórmula geral não se afastou da específica. Repare no apótema: com três lados ele é o menor de qualquer figura da tabela, 1,7321 contra um lado de 6, porque o círculo dentro de um triângulo é pequeno em relação ao triângulo.

  3. Um heptágono, lado 6

    1. Perímetro: 7 × 6 = 42
    2. Ângulo interno: (7 − 2) × 180 ÷ 7 = 900 ÷ 7 = 128,571428…, que arredonda para 128,57
    3. Apótema: 6 ÷ (2 × tan 25,714285…°) = 6 ÷ 0,963149… = 6,229585…, que arredonda para 6,2296
    4. Área: 7 ÷ (4 × tan 25,714285…°) × 36 = 3,633912… × 36 = 130,820846…, que arredonda para 130,8208
    5. Comprimentos das diagonais: ⌊7 ÷ 2⌋ − 1 = 3 − 1 = 2

    A linha pela qual esta página existe, e aquela sobre a qual a página do octógono avisou. Todo número de lados até doze dá um ângulo interno inteiro, exceto sete e onze, então uma página que imprimisse ângulos sem nenhuma casa decimal imprimiria 129 aqui — não uma resposta mais grosseira, mas uma resposta errada. Duas casas decimais bastam para todo número de lados que a página aceita: com mil lados o ângulo é 179,64, ainda a duas casas de 180. A figura de sete lados também é a primeira com menos comprimentos distintos de diagonal do que parece que deveria ter: um heptágono tem quatorze diagonais no total, mas elas vêm em apenas dois comprimentos, 2 e 3 vértices pulados, porque o resto são os mesmos dois vãos medidos a partir de outros vértices.

  4. Um quadrado, lado 6

    1. Perímetro: 4 × 6 = 24
    2. Ângulo interno: (4 − 2) × 180 ÷ 4 = 360 ÷ 4 = 90, exato
    3. Apótema: 6 ÷ (2 × tan 45°) = 6 ÷ 2 = 3, exato
    4. Área: 4 ÷ (4 × tan 45°) × 36 = 1 × 36 = 36
    5. Comprimentos das diagonais: ⌊4 ÷ 2⌋ − 1 = 2 − 1 = 1

    O quadrado, onde a fórmula geral esbarra num detalhe de ponto flutuante que vale conhecer: a tangente de 45 graus é 1 matematicamente, mas a página calcula a tangente de pi sobre quatro em ponto flutuante e obtém 0,9999999999999999, então a área chega como 36,000000000000014. Ela é impressa como 36 porque o resultado é arredondado para quatro casas na saída, que é justamente para isso que esse arredondamento serve. A última coluna é a outra coisa a olhar aqui: um quadrado tem duas diagonais, elas atravessam a figura do mesmo jeito, e ⌊4 ÷ 2⌋ − 1 as conta como um comprimento, o que está correto e é exatamente a armadilha que esta página evita ao não imprimir comprimentos.

  5. Mil lados, lado 6

    1. Perímetro: 1.000 × 6 = 6.000
    2. Ângulo interno: (1.000 − 2) × 180 ÷ 1.000 = 179.640 ÷ 1.000 = 179,64, exato
    3. Apótema: 6 ÷ (2 × tan 0,18°) = 6 ÷ 0,006283… = 954,926539…, que arredonda para 954,9265
    4. Área: 1.000 ÷ (4 × tan 0,18°) × 36 = 79.577,2097… × 36 = 2.864.779,5509…, que arredonda para 2.864.779,5509
    5. Comprimentos das diagonais: ⌊1.000 ÷ 2⌋ − 1 = 500 − 1 = 499

    O limite superior da página, e a linha que responde a uma pergunta sobre a qual as outras páginas desta família só conseguem falar. Uma figura regular de mil lados com perímetro de 6.000 tem área de 2.864.779,5509 centímetros quadrados; um círculo verdadeiro com o mesmo perímetro tem 2.864.788,9757, ou seja, 0,0003 por cento a mais. O apótema dela, 954,9265, fica ao lado do raio do círculo, 954,9297, uma diferença de 0,0032 de centímetro. É aqui, então, que o polígono deixou de ser um polígono em qualquer sentido prático — e é por isso que a página não aceita mais de mil lados: passando desse ponto, o comprimento do lado deixou de descrever a figura e o desenho é um círculo com passos extras.

Limitações

A página é só para polígonos regulares: todos os lados do mesmo comprimento e todos os ângulos iguais. Uma figura com lados desiguais ou ângulos desiguais não tem um único comprimento de lado nem um único ângulo interno, e nenhuma quantidade de entradas nesta página vai descrevê-la — informe um número de lados e um lado e a página responde calmamente com a figura regular daquele tamanho, sem avisar que a figura que você tem em mente é outra. O número de lados tem de ser um inteiro de pelo menos três, e a página reporta um erro em vez de arredondar se não for; qualquer coisa acima de mil também é recusada, porque passando disso a figura é um círculo para todos os fins que estes números poderiam servir. As saídas estão em centímetros e centímetros quadrados qualquer que seja a unidade escolhida na lista da entrada, então um lado informado em polegadas volta como uma resposta em centímetros que você mesmo tem de converter. Quatro casas decimais são uma largura de exibição e não uma afirmação de precisão, e são generosas para um lado medido; os dois últimos dígitos não têm significado a menos que a entrada fosse exata. O ângulo interno carrega duas casas decimais em vez de nenhuma, o que faz ângulos inteiros aparecerem como 120,00 aqui e como 120 nas páginas do pentágono e do octógono — o mesmo número em duas larguras de exibição, não uma discordância entre as páginas. As duas últimas colunas são uma contagem e um ângulo, e nenhuma das duas se move quando o lado se move, então uma página que pareça não responder a uma mudança de lado não travou: três dos cinco números mudaram. Há um único número de diagonal aqui e ele é uma contagem, não um comprimento: os comprimentos em si estão nas três páginas de forma única, e a razão é que a quantidade deles depende do número de lados, que uma lista fixa de saídas não comporta. A página é bidimensional e não tem campo para espessura de material, então ela não dá o volume de um prisma nem o peso de uma chapa recortada numa dessas formas, e a contagem de diagonais é uma contagem de comprimentos distintos e não de diagonais — um heptágono tem quatorze diagonais e esta página diz dois, sendo as duas afirmações verdadeiras a respeito de quantidades diferentes.

Perguntas frequentes

Como encontro a área de um polígono regular a partir do lado?
Multiplique o quadrado do lado pelo número de lados e divida por quatro vezes a tangente de pi dividido pelo número de lados. O fator que multiplica o quadrado do lado depende só do número de lados — 0,4330 para um triângulo, 1 para um quadrado, 1,7205 para um pentágono, 2,5981 para um hexágono — e cresce sem limite conforme o número de lados sobe: é 3,6339 com sete lados, 31,5688 com vinte e 79.577,2097 com mil. É a área, e não esse fator, que se aproxima da de um círculo, e só quando o perímetro é mantido fixo; o fator que se aproxima de pi, 3,1416, é a área dividida pelo quadrado da distância do centro até um vértice. Como é um fator e não uma parcela, dobrar o lado quadruplica a área em qualquer figura desta página.
Por que o ângulo interno não muda quando eu mudo o comprimento do lado?
Porque o ângulo interno de um polígono regular é fixado pelo número de lados e por nada mais: é o número de lados menos dois, vezes 180 graus, dividido pelo número de lados. Nenhum comprimento de lado aparece nessa expressão. Um triângulo é sempre 60 graus, um pentágono sempre 108, um hexágono sempre 120, um octógono sempre 135, qualquer que seja o tamanho. É por isso que a quarta coluna da tabela de referência é previsível em vez de medida, e por isso o corte em meia-esquadria que você faz para uma moldura hexagonal é de 30 graus, seja a moldura um porta-copos ou uma mesa.
Quantas diagonais tem um polígono?
Duas perguntas diferentes cabem nessa, e esta página responde à segunda. O número de diagonais é o número de lados vezes o número de lados menos três, dividido por dois: um pentágono tem cinco, um hexágono nove, um octógono vinte. A quantidade de comprimentos diferentes de diagonal é metade do número de lados, arredondada para baixo, menos um: um pentágono tem um, um hexágono dois, um octógono três, um heptágono dois. Esta página imprime a segunda, porque é o número em torno do qual as páginas de forma única ao lado dela são construídas, e porque uma contagem de comprimentos é o único número de diagonal que continua verdadeiro para todo número de lados.
O que é o apótema e para que ele serve?
É a distância do centro direto até o meio de um lado, e é o raio do maior círculo que cabe dentro da figura. É o número com que se marca um polígono no papel, porque o dobro do apótema é a largura entre os lados planos, e são os lados planos que uma régua consegue medir; os vértices não. Se você estiver marcando uma forma numa folha, meça o apótema a partir do centro tantas vezes quantos forem os lados e você terá o ponto médio de cada lado. Com três lados ele é pequeno em relação à figura, e ele se aproxima do raio da circunferência circunscrita conforme o número de lados cresce.
Quando devo usar esta página em vez da página do pentágono ou do octógono?
Quando o número de lados é o que você está decidindo e não o que você já sabe. As páginas de forma única pedem um número e dão também os comprimentos das diagonais, porque sabem com que forma estão lidando; esta pede dois números e, em troca, atende qualquer número de lados de três a mil e deixa você ler o mesmo lado em dez deles numa coluna só. Se você tem um hexágono fixo para medir, a página do hexágono dá menos passos. Se você está escolhendo entre um hexágono e um octógono para o tampo de uma mesa, esta página é a comparação.
O que a coluna do perímetro diz que a coluna da área não diz?
Ela diz quanto custa construir a figura, enquanto a área diz quanto ela cobre. O perímetro é o lado multiplicado pelo número de lados, então, com o lado fixo, ele sobe em linha reta enquanto a área cresce junto: passar de um triângulo para um quadrado acrescenta 6 ao perímetro e 20,4 à área de uma aresta de seis centímetros, mas passar de vinte lados para mil acrescenta 5.880 ao perímetro e 2.863.643 à área, o que é muitíssimo mais aresta para uma figura que aos olhos não parece diferente. Mantenha o perímetro fixo em vez disso e a troca corre ao contrário: com um perímetro de 6.000, um único lado a mais no passo de cinco para seis compra 120.589 centímetros quadrados, enquanto os últimos 980 lados juntos compram 23.591. É por isso que a cabeça de um parafuso e um ladrilho de piso são hexágonos e não figuras com mais lados — passando de seis, a aresta extra custa mais do que a área extra vale.

Referências

Calculadoras relacionadas

Calculadora de hexágonoÁrea, perímetro e diagonais de um hexágono regular.Calculadora de octógonoÁrea, perímetro, apótema e três diagonais do octógono.Calculadora de pentágonoÁrea, perímetro, apótema e diagonal do pentágono regular.Calculadora de círculoRaio, diâmetro, circunferência e área a partir de um deles.