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CalcMax

Calculadora de octógono

Intervalo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Resultado

173,8234 cm²

Área

Perímetro
48,0000 cm
Apótema
7,2426 cm
Diagonal menor
11,0866 cm
Diagonal média
14,4853 cm
Diagonal maior
15,6788 cm
Ângulo interno
135 °

Uma calculadora de octógono recebe o lado de um octógono regular e devolve sete medidas: a área, o perímetro, o apótema, as três diagonais e o ângulo interno. Oito lados é onde um polígono regular deixa de ser uma figura que se resolve de cabeça e passa a ser uma que se consulta, e o octógono é o primeiro deles que aparece na vida comum. Placas de pare, ladrilhos octogonais, telhados de quiosque, capas de spa, lonas de trampolim e cabeças de parafuso são todos octógonos, e o motivo é quase sempre o mesmo: o octógono é a figura que se obtém cortando os cantos de um quadrado, então ele mantém os lados retos e os ângulos retos do quadrado e ao mesmo tempo elimina os quatro cantos que estavam enroscando nas coisas. É também por isso que ele encaixa do jeito que encaixa — octógonos só ladrilham um piso se você preencher os pequenos vãos quadrados entre eles, que é exatamente o padrão de uma pavimentação octogonal com quadrados inseridos. A aritmética sai dos lados. O perímetro são oito lados. O ângulo interno de um polígono regular é fixado só pela contagem de lados, e para oito deles é 135 graus, que é o número a memorizar sobre o octógono, porque é ele que torna a figura cortável: uma serra de esquadria regulada em 67,5 graus — metade de 135 — é o que une duas arestas de octógono, e uma moldura de oito peças usa exatamente essa regulagem. A área é a expressão com raiz, dois vezes um mais a raiz quadrada de dois, vezes o lado ao quadrado, e vale saber que essa constante é cerca de 4,83, então um octógono de lado um cobre 4,83 unidades quadradas contra o 1 de um quadrado de mesmo lado. O apótema, a distância do centro em linha reta até o meio de um lado, é o lado vezes um mais a raiz quadrada de dois, dividido por dois. E o octógono tem três diagonais em vez das duas de um hexágono, porque com oito vértices há três distâncias distintas que se pode atravessar: a curta, que pula um vértice, a média, que pula dois, e a longa, que vai de ponta a ponta. A diagonal média é exatamente o dobro do apótema, o que não é coincidência — as duas vêm da mesma expressão, uma dividida por dois e a outra não —, e a longa é o diâmetro da circunferência traçada em volta do octógono.

Octógonos regulares de um lado zero a um lado dez

Lado (cm)Área (cm²)Perímetro (cm)Apótema (cm)Diagonal menor (cm)Diagonal média (cm)Diagonal maior (cm)Ângulo interno (°)
6173.8234487.242611.086614.485315.6788135
14.828481.20711.84782.41422.6131135
219.3137162.41423.69554.82845.2263135
343.4558243.62135.54337.24267.8394135
5120.7107406.03559.238812.071113.0656135
7.5271.599609.053313.858218.106619.5984135
10482.84278012.071118.477624.142126.1313135
0000000135

Oito octógonos, e a primeira linha é a com que a página carrega. A última coluna é o mesmo número em todas as linhas, 135, e isso é o ponto dela e não um erro de copiar e colar: o ângulo interno de um octógono regular é fixado por ele ter oito lados, então não se move quando o tamanho se move, e é a única figura da página que sobrevive ao lado ir a zero. As duas colunas que se leem juntas são o apótema e a diagonal média, que estão numa relação fixa de 1 para 2 em todas as linhas sem exceção — 1,2071 contra 2,4142, 6,0355 contra 12,0711, 12,0711 contra 24,1421 —, porque as duas vêm da mesma expressão, uma dividida por dois e a outra não. Essa é a conferência mais barata da tabela inteira: se a diagonal média de qualquer linha não for exatamente o dobro do apótema dela, a linha está errada. A sétima coluna, a diagonal maior, responde a uma segunda pergunta que o cabeçalho não menciona: ela é o diâmetro da circunferência traçada em volta do octógono, então cada linha também diz de que disco bruto o octógono saiu. Um par de células repete dígitos entre duas linhas de um jeito que parece erro e não é: a diagonal média com lado 5 é 12,0711, e o apótema com lado 10 também. Isso é consequência da regra de dobrar e não coincidência — dobrar o lado dobra todos os comprimentos da lista, então o apótema do octógono maior tem de cair em algum comprimento pertencente ao menor, e aqui ele caiu na diagonal média. A primeira linha é também a que se alinha com as outras duas páginas de polígono no lado 6: 173,8234 aqui, contra 93,5307 do hexágono e 61,9372 do pentágono, então a mesma aresta compra mais área quanto mais lados houver. Todo número aqui é recalculado a partir do seu lado quando a página é construída, em centímetros e graus. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.

Fórmula

A = 2(1 + √2) × s² P = 8s a = s(1 + √2) ÷ 2 d_curta = s√(2 + √2) d_média = s(1 + √2) d_longa = s√(4 + 2√2) ângulo interno = 135°

Lado
O comprimento de qualquer um dos oito lados, em centímetros. Como em todo polígono regular, esta é a única entrada que existe, porque os oito lados são iguais e os oito ângulos estão fixos em 135 graus, então esse único número decide o tamanho da figura inteira
Área
O espaço que o octógono cobre, em centímetros quadrados: dois vezes um mais a raiz quadrada de dois, vezes o lado ao quadrado. A constante é cerca de 4,828, e é essa a figura a levar na cabeça — um octógono cobre quase cinco vezes a área do quadrado desenhado sobre um dos seus lados
Perímetro
A distância por todo o contorno, em centímetros: oito vezes o lado, já que os oito são iguais. É a única saída que é sempre exata quando o lado é, o que a torna a figura com que se conferem as outras quando um resultado parece errado
Apótema
A distância do centro em linha reta até o ponto médio de um lado, em centímetros, que é o lado vezes um mais a raiz quadrada de dois, dividido por dois. É o raio da maior circunferência que cabe dentro do octógono, e é a figura que determina a que distância os lados retos estão um do outro — o dobro do apótema é o octógono medido entre lados planos
Diagonal menor
A distância entre dois vértices com um vértice entre eles, em centímetros, que é o lado vezes a raiz quadrada de dois mais a raiz quadrada de dois. É um pouco mais curta que a diagonal média e um pouco mais longa que o lado, e num octógono ela é tão próxima do lado que os dois são fáceis de confundir num desenho
Diagonal média
A distância entre dois vértices com dois vértices entre eles, em centímetros: o lado vezes um mais a raiz quadrada de dois. É exatamente o dobro do apótema, porque as duas são a mesma expressão com um dois em lugar diferente, e é a diagonal em torno da qual a geometria do próprio octógono regular é construída
Diagonal maior
A distância de um vértice em linha reta pelo centro até o vértice oposto, em centímetros, que é o lado vezes a raiz quadrada de quatro mais duas vezes a raiz quadrada de dois. É a medida mais larga que se consegue tirar na figura e é também o diâmetro da circunferência traçada em volta do octógono, então dividi-la por dois dá o raio com que essa circunferência é desenhada
Ângulo interno
O ângulo entre dois lados vizinhos, por dentro do octógono: 135 graus, fixado aí só pela contagem de lados. Ele não depende do comprimento do lado de forma alguma, e é por isso que essa coluna da tabela de referência traz o mesmo número em todas as linhas — um octógono de lado 1 e um de lado 10 têm o mesmo ângulo interno, e só os tamanhos diferem
√2
A raiz quadrada de dois, cerca de 1,4142136. Ela aparece em todas as sete saídas menos o perímetro e o ângulo interno, e está aí porque o octógono é o quadrado com os cantos cortados — cortar um canto a 45 graus é exatamente de onde a raiz quadrada de dois vem

A página é para o octógono como objeto físico, e os dois casos mais comuns são uma peça plana e um encaixe redondo. Se você está cortando um octógono de uma chapa — um tampo de mesa, um ladrilho, uma lajota, a chapa de topo de um poste —, a área diz o que você está gastando e o apótema diz como demarcá-la. O apótema é o número a marcar primeiro: o dobro dele é a largura entre lados planos, e são os lados planos que se medem num octógono cortado, já que os vértices são incômodos de atravessar com uma régua. A diagonal maior dá então a largura entre vértices, que é o que decide se a peça pronta cabe dentro do círculo de onde ela está sendo cortada; essa mesma figura é o diâmetro da circunferência circunscrita do octógono, então um disco bruto com esse diâmetro conterá o octógono sem sobra nenhuma. Se você está fazendo algo que une oito peças — uma moldura, uma lanterna, um telhado de quiosque —, o ângulo interno de 135 graus é a figura a consultar, porque a esquadria de cada peça é metade dele, 67,5 graus, e essa regulagem é a mesma para todo octógono, qualquer que seja o tamanho. Se o caso é o encaixe redondo, a diagonal maior responde se o octógono passa por uma abertura circular, e o apótema responde quanta superfície plana ele apresenta depois de estar lá. E se o que você quer é simplesmente comparar um octógono com um quadrado de mesmo lado, a constante de área 4,83 contra o 1 do quadrado é a comparação inteira: o octógono cobre mais terreno com a mesma aresta, mas também tem o dobro de arestas, então a coluna do perímetro é a figura mais justa quando o que você está comprando é material.

Exemplos resolvidos

  1. Um lado de 6

    1. Perímetro: 8 × 6 = 48
    2. Apótema: 6 × (1 + √2) ÷ 2 = 7,242640…, que arredonda para 7,2426
    3. Diagonal média: 6 × (1 + √2) = 14,485281…, que arredonda para 14,4853
    4. Diagonal menor: 6 × √(2 + √2) = 11,086554…, que arredonda para 11,0866
    5. Diagonal maior: 6 × √(4 + 2√2) = 15,678754…, que arredonda para 15,6788
    6. Área: 2 × (1 + √2) × 36 = 173,823376…, que arredonda para 173,8234
    7. Ângulo interno: (8 − 2) × 180 ÷ 8 = 135, exato

    A entrada com que a página carrega. Duas conferências ficam visíveis nesta única linha. A diagonal média, 14,4853, é exatamente o dobro do apótema, 7,2426 — e isso vale em qualquer lado, não só neste, porque as duas vêm da mesma expressão com um dois em lugar diferente. E a diagonal maior de 15,6788 é o diâmetro da circunferência traçada em volta do octógono, então um octógono de lado 6 cabe dentro de um círculo de diâmetro 15,6788 centímetros, e em nenhum menor. Esta é também a linha que se compara com as duas páginas vizinhas no mesmo comprimento de lado: lado 6 dá 173,8234 aqui, 93,5307 na página do hexágono e 61,9372 na do pentágono — a mesma aresta, e mais área cercada quanto mais lados houver.

  2. Um lado de 1

    1. Perímetro: 8 × 1 = 8
    2. Apótema: (1 + √2) ÷ 2 = 1,207106…, que arredonda para 1,2071
    3. Diagonal média: 1 + √2 = 2,414213…, que arredonda para 2,4142
    4. Diagonal menor: √(2 + √2) = 1,847759…, que arredonda para 1,8478
    5. Diagonal maior: √(4 + 2√2) = 2,613125…, que arredonda para 2,6131
    6. Área: 2 × (1 + √2) = 4,828427…, que arredonda para 4,8284
    7. Ângulo interno: 135

    O octógono unitário, e a linha que mostra as duas constantes do jeito mais direto: a área é 4,8284 e a diagonal média é 2,4142, que é o mesmo número dividido por dois. A diagonal menor de 1,8478 merece uma pausa, porque é a diagonal que pula um vértice e é menos que o dobro do lado — os vértices de um octógono ficam próximos entre si, e é isso que dá à figura o aspecto quase redondo. Contra um quadrado de lado um, cuja área é 1, o octógono cobre 4,83 vezes mais terreno.

  3. Um lado de 5

    1. Perímetro: 8 × 5 = 40
    2. Apótema: 5 × (1 + √2) ÷ 2 = 6,035533…, que arredonda para 6,0355
    3. Diagonal média: 5 × (1 + √2) = 12,071067…, que arredonda para 12,0711
    4. Diagonal menor: 5 × √(2 + √2) = 9,238795…, que arredonda para 9,2388
    5. Diagonal maior: 5 × √(4 + 2√2) = 13,065628…, que arredonda para 13,0656
    6. Área: 2 × (1 + √2) × 25 = 120,710678…, que arredonda para 120,7107
    7. Ângulo interno: 135

    Um octógono de cinco centímetros, mais ou menos o tamanho de um ladrilho pequeno ou da cabeça de um mourão. É a linha que se alinha com outra linha desta mesma tabela de um jeito que parece erro: a diagonal média aqui, 12,0711, tem os mesmos quatro dígitos do apótema com lado 10. Isso acontece porque dobrar o lado dobra todos os comprimentos desta lista, então todo valor que o apótema assume no lado 10 tem de aparecer em algum lugar no lado 5 — aqui, como a diagonal que é exatamente o dobro do apótema do octógono menor. Nada é calculado duas vezes.

  4. Um lado de 10

    1. Perímetro: 8 × 10 = 80
    2. Apótema: 10 × (1 + √2) ÷ 2 = 12,071067…, que arredonda para 12,0711
    3. Diagonal média: 10 × (1 + √2) = 24,142135…, que arredonda para 24,1421
    4. Diagonal menor: 10 × √(2 + √2) = 18,477590…, que arredonda para 18,4776
    5. Diagonal maior: 10 × √(4 + 2√2) = 26,131259…, que arredonda para 26,1313
    6. Área: 2 × (1 + √2) × 100 = 482,842712…, que arredonda para 482,8427
    7. Ângulo interno: 135

    Um octógono de dez centímetros, que é um tamanho comum de lajota de calçada ou de ladrilho decorativo. O apótema de 12,0711 é a figura com que se demarca: o dobro dele, 24,1421, é a largura entre lados planos, e é essa a distância que você marca na bancada. A diagonal maior de 26,1313 é a largura entre vértices, então um furo circular com esse diâmetro é o menor por onde este octógono passa. Compare as duas larguras — 24,14 entre lados planos contra 26,13 entre vértices — e você tem o octógono numa linha: os vértices sobressaem cerca de 8% além dos lados planos, e é isso, inteiro, o que cortar os cantos de um quadrado rendeu.

  5. Um lado de 0

    1. Perímetro: 8 × 0 = 0
    2. Apótema: 0 × (1 + √2) ÷ 2 = 0
    3. Diagonal média: 0 × (1 + √2) = 0
    4. Diagonal menor: 0 × √(2 + √2) = 0
    5. Diagonal maior: 0 × √(4 + 2√2) = 0
    6. Área: 2 × (1 + √2) × 0 = 0
    7. Ângulo interno: (8 − 2) × 180 ÷ 8 = 135

    Zero é uma entrada legal e não uma caixa vazia, e esta linha é a demonstração mais direta do que é o ângulo interno: um octógono de lado zero colapsou num ponto, seis das sete figuras são zero, e o ângulo interno continua 135 graus. Ele é propriedade da figura e não do tamanho, então sobrevive ao tamanho sumir por inteiro. Deixar a caixa em branco é o outro caso: sem nada nela, a página não mostra resultado nenhum.

Limitações

A página é só para octógonos regulares: os oito lados do mesmo comprimento e os oito ângulos de 135 graus. Um octógono que não seja regular — um quadrado com cantos desiguais cortados, por exemplo, ou um alongado — não tem um comprimento de lado único e não pode ser descrito por um número só, e a página vai silenciosamente devolver o octógono regular com aquele lado, em vez de avisar que a figura que você tem em mente é outra. As saídas estão em centímetros e centímetros quadrados seja qual for a unidade escolhida na lista, então um lado digitado em polegadas volta como resposta em centímetros que você mesmo precisa converter. Quatro casas decimais são uma largura de exibição, não uma afirmação de precisão, e é generoso para um lado medido; os dois últimos dígitos não são significativos, a menos que a entrada fosse exata. O ângulo interno é exato em 135 graus e é impresso sem decimais por causa disso, mas é o mesmo número em todas as linhas, então uma página que pareça não responder a uma mudança de lado não congelou — seis das sete figuras se moveram. A página é bidimensional e não tem campo para espessura de material, então ela não dá o volume de um prisma octogonal, o peso de uma placa octogonal nem a profundidade de um furo octogonal. Ela também não modela os quadrados que preenchem os vãos quando octógonos são ladrilhados juntos, que é uma questão de paginação e não a medida de uma figura.

Perguntas frequentes

Por que o ângulo interno nunca muda quando eu mudo o lado?
Porque os ângulos de um octógono regular são fixados pelo número de lados e por nada mais. O ângulo interno de um polígono regular é a contagem de lados menos dois, vezes 180 graus, dividido pela contagem de lados; para oito lados isso dá 135 graus, e nenhum comprimento de lado aparece em lugar nenhum dessa expressão. Um octógono de lado 1 e um de lado 100 têm exatamente os mesmos ângulos e diferem só no tamanho. É por isso que a última coluna da tabela de referência traz o mesmo número em todas as linhas, e é o que faz uma regulagem de esquadria de 67,5 graus servir para todo octógono que você vai cortar na vida.
Qual das três diagonais é qual?
A diagonal menor pula um vértice e é o lado vezes a raiz quadrada de dois mais a raiz quadrada de dois, valendo 1,85 para um lado unitário. A diagonal média pula dois vértices e é o lado vezes um mais a raiz quadrada de dois, valendo 2,41. A diagonal maior atravessa reto pelo centro e é o lado vezes a raiz quadrada de quatro mais duas vezes a raiz quadrada de dois, valendo 2,61. Um hexágono tem só duas dessas porque com seis vértices só há duas travessias distintas; oito vértices dão três. A do meio é exatamente o dobro do apótema, que é o jeito mais rápido de distingui-la das outras.
O que é o apótema e por que ele importa num octógono?
É a distância do centro em linha reta até o meio de um lado, e é o raio da maior circunferência que cabe dentro da figura. Num octógono ele importa mais do que na maioria das figuras porque são os lados planos que se medem na peça pronta: o dobro do apótema é a largura entre lados planos, e, ao contrário dos vértices, os lados planos são fáceis de atravessar com uma régua. Se você está demarcando um octógono para cortar, o apótema é o primeiro número a pôr na peça.
Quanto maior é um octógono do que um quadrado de mesmo lado?
Cerca de 4,83 vezes a área, já que um octógono unitário cobre 4,8284 unidades quadradas e um quadrado unitário cobre 1. Esse número é a história inteira da figura: um octógono é um quadrado com os quatro cantos cortados, e cortar os cantos tira área do quadrado deixando os quatro lados planos com quase toda a largura. Mas o octógono também tem oito arestas em vez de quatro, então, se o que você está comprando é material de acabamento ou de moldura, compare perímetros em vez de áreas.
Qual é o menor furo redondo por onde um octógono passa?
Uma circunferência cujo diâmetro é igual à diagonal maior, já que essa é a medida mais larga da figura e vai de vértice a vértice pelo centro. Para um lado de 10 isso dá 26,1313 centímetros. Essa mesma figura lida ao contrário é o diâmetro da circunferência dentro da qual o octógono cabe exatamente, com os oito vértices encostados nela, que é a versão útil quando você está cortando o octógono de um disco bruto e quer desperdiçar o mínimo possível.
O octógono ladrilha um piso sozinho?
Não, e os vãos são a parte interessante. Octógonos deitados lado a lado deixam um pequeno buraco quadrado entre cada quatro deles, e esses quadrados são exatamente o motivo de a pavimentação octogonal funcionar como padrão — o piso clássico de octógonos com quadrados é os octógonos fazendo a cobertura e os quadrados preenchendo. A página mede um octógono e não modela a paginação, então o número de peças que você precisa para um piso é uma conta separada destas.

Referências

Calculadoras relacionadas

Calculadora de hexágonoÁrea, perímetro e diagonais de um hexágono regular.Calculadora de pentágonoÁrea, perímetro, apótema e diagonal do pentágono regular.Calculadora de polígonosInforme o número de lados e veja área, perímetro e ângulos.Calculadora de círculoRaio, diâmetro, circunferência e área a partir de um deles.