Calculadora de círculo

d = 2r C = 2πr = πd A = πr² e de volta: r = d ÷ 2 = C ÷ 2π = √(A ÷ π)

Raio

A distância do centro até a borda, em centímetros. Zero é permitido e descreve um círculo sem tamanho, e nesse caso as quatro saídas são zero

Diâmetro

A distância de um lado ao outro passando pelo centro, o dobro do raio. Preencher este campo em vez do raio não muda nada na resposta, já que a página o divide por dois logo de saída

Circunferência

A distância ao longo de toda a volta, π vezes o diâmetro. É a única entrada que exige uma divisão por dois π para voltar ao raio, então é nela que os quatro dígitos impressos deixam de bastar para reproduzir os outros à mão

Área

O espaço dentro do círculo, π vezes o raio ao quadrado, em centímetros quadrados. Ir pelo outro caminho exige dividir por π e tirar uma raiz quadrada, e é por isso que o campo da área aceita valores muito maiores que os três campos de comprimento

π

A razão entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro, cerca de 3,14159. A página usa o valor completo de precisão dupla em vez de encurtá-lo para três casas, então uma conta feita à mão com 3,14 vai divergir da resposta impressa

Quatro casas decimais

A largura com que toda saída é escrita. O raio e o diâmetro muitas vezes são exatos e aparecem com zeros no fim; a circunferência e a área são quase sempre irracionais, então nessas duas os quatro dígitos são onde a resposta é cortada, não onde ela termina

A página é útil justamente porque um círculo raramente chega até você como um raio. Uma mesa redonda é vendida pelo diâmetro, um comprimento de cerca em volta de um canteiro circular é vendido por metro e é uma circunferência, uma lata de tinta cobre tantos metros quadrados e o trecho que você vai pintar é um círculo, e uma roda de bicicleta é cotada pelo tamanho do pneu. Cada um desses vem com um dos quatro números diferentes, e cada um deles pode ir direto para o campo correspondente. É no sentido inverso que as pessoas erram à mão. Dada a área, o raio não é a área dividida por π — é a raiz quadrada disso, e esquecer a raiz produz um raio errado por um fator igual à raiz de si mesmo, o que para um jardim de tamanho médio não é um erro pequeno. Dada a circunferência, o raio é a circunferência dividida por dois π, e usar 3,14 no lugar do valor completo já basta para mexer no último dígito impresso. A página faz as duas coisas corretamente, o que a torna um jeito razoável de conferir uma conta à mão de que você não tem certeza. Vale levar um hábito desta página e da geometria em volta dela: seja o que for que você calcule, a resposta deve ficar em torno de um terço da circunferência e da raiz quadrada de um sexto da área, então se um diâmetro voltar maior que a circunferência você pôs a entrada no campo errado.

1. Um raio de cinco

   1. Diâmetro: 5 × 2 = 10
   2. Circunferência: 2 × π × 5 = 31,415926…, que arredonda para 31,4159
   3. Área: π × 5 × 5 = 78,539816…, que arredonda para 78,5398
   4. O raio volta sem mudança, já que foi ele que foi dado

   A entrada com que a página carrega, e a mais fácil de conferir: um círculo de raio cinco tem diâmetro dez e uma área um pouco acima de três quartos de cem, o que faz sentido, já que π é um pouco mais que três e cinco ao quadrado é vinte e cinco. O raio é impresso como 5,0000 e não como 5, o que é uma largura de exibição e não uma afirmação sobre precisão — ele é exatamente cinco.

2. Um diâmetro de doze

   1. Raio: 12 ÷ 2 = 6
   2. Circunferência: π × 12 = 37,699111…, que arredonda para 37,6991
   3. Área: π × 6 × 6 = 113,097335…, que arredonda para 113,0973
   4. O diâmetro fica como foi dado

   A mesma figura alcançada pela outra ponta, e um lembrete de que as saídas de diâmetro e raio são exatas enquanto as outras duas não são — dividir um número par por dois não introduz erro nenhum, enquanto multiplicar por π sempre introduz. A área ser um pouco acima de 113 é uma conferência razoável: seis ao quadrado é trinta e seis e trinta e seis vezes π é um pouco mais que cento e treze.

3. Uma circunferência de vinte

   1. Raio: 20 ÷ (2 × π) = 3,1830988…, que arredonda para 3,1831
   2. Diâmetro: esse raio dobrado dá 6,3661977…, que arredonda para 6,3662
   3. Área: π × o raio não arredondado ao quadrado, que é 100 ÷ π = 31,830988…, e arredonda para 31,8310
   4. A circunferência fica como foi dada

   O caso que mostra por que os quatro números impressos nem sempre reproduzem uns aos outros. A área é exatamente cem dividido por π, e é calculada a partir do raio não arredondado e não do 3,1831 que está na tela; elevar o raio impresso ao quadrado e multiplicar por π dá 31,8309. O valor impresso é o correto. Lendo pelo outro lado, a área de um círculo de circunferência 20 é um terço de cem, que é a conferência mental rápida que diz que 31,83 está na região certa.

4. Uma área de cem centímetros quadrados

   1. Raio: √(100 ÷ π) = 5,6418958…, que arredonda para 5,6419
   2. Diâmetro: esse valor dobrado dá 11,2837916…, que arredonda para 11,2838
   3. Circunferência: 2 × π × o raio não arredondado = 35,449077…, que arredonda para 35,4491
   4. A área fica como foi dada

   A direção em que as pessoas erram no papel: o raio é a raiz quadrada da área dividida por π, e não a área dividida por π, que daria 31,831. Cem centímetros quadrados são uma figura de cerca de onze centímetros de ponta a ponta, o que é uma conferência útil — um círculo de raio 31,8 teria área três mil, não cem. Esse mesmo número 31,831 é a área calculada no exemplo acima, a partir de uma circunferência de vinte; aqui ele é o que a conta errada produziria, o que é uma coincidência dessas duas entradas e não algo a interpretar.

5. Um raio de zero

   1. Diâmetro: 0 × 2 = 0
   2. Circunferência: 2 × π × 0 = 0
   3. Área: π × 0 × 0 = 0
   4. As quatro saídas são zero, que é a leitura correta de um círculo sem tamanho

   Zero é uma entrada legítima aqui, e não um campo vazio. Um círculo de raio zero é um único ponto, e cada uma das quatro medidas é zero, então uma linha de zeros é uma resposta de verdade. A página distingue isso de deixar tudo em branco, o que é recusado com uma mensagem pedindo que você preencha um campo — a diferença entre uma figura que se reduziu a nada e um formulário que não foi preenchido.

As saídas estão sempre em centímetros e centímetros quadrados, qualquer que seja a unidade em que o seletor da entrada esteja. Escolher polegadas no seletor muda como o seu número é interpretado na entrada e nada sobre como a resposta é mostrada, então um círculo digitado como dez polegadas volta com um raio de 25,4 centímetros. É uma escolha deliberada e a tabela de referência segue a mesma regra para que a página nunca se contradiga, mas isso significa que você mesmo precisa converter a resposta se a queria na unidade que digitou. Os quatro valores impressos são cada um derivado do valor que você digitou e não uns dos outros, então nem sempre eles reproduzem uns aos outros até o último dígito: multiplicar o raio impresso por π pode diferir da circunferência impressa na quarta casa decimal, e a circunferência impressa é a que merece confiança. Circunferência e área são quase sempre números irracionais, então quatro casas decimais são um corte e não uma resposta completa, e arredondar duas vezes — ler um valor impresso e usá-lo na conta seguinte — é justamente como a diferença aparece. O raio e o diâmetro são exatos sempre que a entrada era, mas também são arredondados quando vêm de uma área ou de uma circunferência. No máximo um campo pode ser preenchido: dois ou mais são recusados, porque os quatro valores não são independentes e um par que discorda não descreve círculo nenhum. A página não aceita valor negativo em campo nenhum, e também não avisa que o raio de uma dada área seria encontrado mais rápido tirando uma raiz quadrada do que dividindo.

Quais campos eu preencho?

Exatamente um, aquele que você por acaso conhece. Os quatro são opcionais e qualquer um serve: a página pega o valor que você deu, calcula o raio e deriva os outros três a partir dele. Preencher dois campos é recusado em vez de resolvido, porque as quatro medidas não são independentes — um raio de 5 e um diâmetro de 12 não podem descrever o mesmo círculo, e a página prefere dizer isso a escolher um deles em silêncio.

Por que a resposta está em centímetros se eu digitei em polegadas?

Porque as quatro saídas são um conjunto fixo em centímetros e centímetros quadrados, escolhido para que o painel de resultados e a tabela de referência logo abaixo concordem sempre. O seletor muda como o seu número é entendido na entrada, não como a resposta é escrita, então um raio digitado como 10 polegadas volta como 25,4 centímetros. Se você precisa da resposta em polegadas, divida as saídas de comprimento por 2,54 e a de área por 6,4516.

Por que a área não bate com o raio que aparece?

Porque o raio impresso já está arredondado e a área não é calculada a partir dele. A página calcula a área a partir do raio de precisão total e só arredonda a exibição no fim, então para uma circunferência de 20 a área é 31,8310, enquanto elevar o raio impresso de 3,1831 ao quadrado e multiplicar por π dá 31,8309. A área impressa é a correta. A mesma coisa acontece ao contrário sempre que você pega um número da tela e o devolve para uma conta.

A página usa 3,14 para o pi?

Não. Ela usa a precisão total disponível em aritmética de precisão dupla, que é π com cerca de quinze algarismos significativos, e arredonda apenas o resultado exibido. Isso importa na quarta casa decimal: uma circunferência calculada à mão com 3,14 costuma diferir da resposta impressa no último dígito ou nos dois últimos, e a diferença é a constante encurtada e não um erro na conta. Para conferências mentais rápidas, 3,14 serve, e é o que a maioria das pessoas deveria usar.

Como faço para obter o raio a partir da área?

Divida a área por π e tire a raiz quadrada. A raiz é o passo que se esquece: sem ela você obtém um número do tamanho da própria área, que para cem centímetros quadrados é 31,831 em vez do correto 5,6419. Confira o resultado elevando-o ao quadrado e multiplicando por π — você deve voltar à área com que começou, até o arredondamento dos dígitos impressos.

O raio pode ser zero?

Pode, e as quatro saídas voltam como zero, que é a descrição honesta de um círculo sem tamanho. Zero é tratado como entrada de verdade e não como campo vazio, então uma linha de zeros no painel de resultados não é sinal de que algo deixou de ser preenchido. Um formulário completamente vazio é outra coisa: se nenhum dos quatro campos tem valor, a página pede um, já que não há com o que trabalhar.

• Circle — the set of points at a fixed distance from a centre, with the relations between radius, diameter, circumference and area that this page solves in both directions — Wolfram MathWorld (United States)
• Circumference — the distance around a circle, π times the diameter, which is the relation the circumference box inverts — Wolfram MathWorld (United States)
• Pi — the ratio of a circle's circumference to its diameter, and the constant that makes the circumference and area outputs irrational for almost every input — Wolfram MathWorld (United States)