Calculadora de área do círculo
Resultado
Área
Uma calculadora de área do círculo recebe aquela entre o raio, o diâmetro e a circunferência que você por acaso mediu e devolve quanta superfície o círculo encerra, em centímetros quadrados. A fórmula é π vezes o raio ao quadrado — pi r ao quadrado, como se costuma dizer —, e o passo do meio, transformar o que você digitou num raio, é de onde vêm os três campos. O diâmetro é o raio dobrado e a circunferência é o raio multiplicado por 2π, então qualquer um dos três determina os outros dois, e é por isso que você preenche exatamente um. Preencher dois não é mais preciso, é uma contradição: um raio de 5 e um diâmetro de 12 não descrevem o mesmo círculo, e a página diz isso em vez de escolher um dos dois em silêncio. Vale um instante de atenção sobre o que está sendo medido. A rigor a área pertence ao disco — a região plana —, enquanto o círculo é a curva que fica na borda dele. Ninguém fala assim no uso comum, e esta página segue o uso comum, mas é essa a razão de uma fórmula que parece que deveria dar um comprimento voltar em unidades ao quadrado. As unidades são a parte desta página com mais chance de pegar você. O raio pode ser digitado em centímetros, metros, milímetros, polegadas ou pés, e a resposta sai em centímetros quadrados seja qual for a escolha, porque a conversão acontece na entrada e não na saída. Digite um raio em polegadas esperando polegadas quadradas e você vai receber um número cerca de seis vezes e meia maior do que devia. A regra a levar embora é que áreas convertem pelo quadrado do fator de comprimento, não pelo fator em si. Há mais uma coisa que vale saber antes de comparar esta página com a sua própria conta. A área é calculada a partir do raio não arredondado e arredondada só no fim, e isso importa quando você parte de uma circunferência, porque aí o raio não é um número que alguém consiga escrever. Digite uma circunferência de 20, leia o raio que a tabela dá, eleve esse raio ao quadrado e multiplique por π, e você vai chegar a um dígito de distância da resposta que esta página imprime. A página está certa e a sua conta também; a diferença é que um dos dois arredondou no meio do caminho e o outro não.
A área de um círculo a partir do raio, com o diâmetro ao lado
| Raio (cm) | Diâmetro (cm) | Área (cm²) |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3.1416 |
| 2 | 4 | 12.5664 |
| 3 | 6 | 28.2743 |
| 5 | 10 | 78.5398 |
| 10 | 20 | 314.1593 |
| 20 | 40 | 1256.6371 |
| 0.5 | 1 | 0.7854 |
| 0 | 0 | 0 |
Oito círculos e três colunas, e a terceira coluna é a resposta enquanto as duas primeiras a explicam. O raio e o seu diâmetro aparecem juntos porque esta página não repete o que você digitou: se você entrou com um diâmetro, o único lugar onde dá para ver como ele foi lido é aqui. A primeira linha é o círculo unitário, cuja área em centímetros quadrados é numericamente π, o que é um detalhe elegante e um jeito rápido de lembrar o que πr² faz quando r vale 1. A primeira e a segunda linhas são o par que mostra a relação que vale guardar: o raio vai de 1 para 2 e a área de 3,1416 para 12,5664, quatro vezes mais. A quarta linha é o par com que a página carrega, e é a linha que a página geral também imprime para o mesmo círculo, 78,5398 — as duas páginas batem nesse valor até o último dígito porque nenhuma delas arredonda o raio antes de elevá-lo ao quadrado. A sétima é um raio de meio centímetro, cuja área é um quarto de π, e a última é um raio de zero, onde o círculo encolheu a um ponto e a área é um zero de verdade, não uma resposta ausente. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.
Fórmula
A = πr²
- π
- A mesma constante para todo círculo, cerca de 3,14159. É a razão entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro, que é de onde ela vem e por que aparece tanto nas fórmulas de comprimento quanto nesta
- r
- O raio, em centímetros — metade do diâmetro, ou a circunferência dividida por 2π, dependendo de qual campo você preencheu
- r²
- O raio multiplicado por ele mesmo, e não por dois. Dobrar o raio multiplica a área por quatro, que é o fato mais útil desta fórmula e a razão de a tabela ter um par de linhas para mostrá-lo
- Área
- Quanta superfície plana o disco encerra, em centímetros quadrados, qualquer que tenha sido a unidade digitada na entrada
- Circunferência ÷ 2π
- Como se recupera um raio a partir de uma medida tirada em volta da borda. O resultado não é um número que termina, então ele é mantido sem arredondamento até depois da elevação ao quadrado
- Diâmetro ÷ 2
- A outra entrada, e a mais fácil: o raio é exatamente metade do diâmetro sempre que o diâmetro é um número que você mediu
- Quatro casas decimais
- A largura com que a leitura é escrita. A área de um círculo quase nunca é um número que termina, então as quatro casas são uma largura de exibição e não uma afirmação de que o valor é exato
Tudo o que é redondo e cuja superfície vai ser coberta, revestida, cortada ou orçada. Pintura e revestimento são o caso mais simples: um tampo de mesa redondo, a tampa de um tanque, uma placa circular, um disco de metal sendo pulverizado, todos são cotados por unidade de área e a área é esta fórmula. Materiais cortados de chapa são o segundo: um disco vazado de aço, uma lâmina circular de vidro, um anel de vedação, uma toalha redonda — e aí a área é o que diz quanto da chapa cada peça consome, que é o número de que o preço depende. Paisagismo e construção usam para canteiros redondos, pátios circulares, gramados redondos, a seção transversal de uma coluna e a superfície de um lago circular. Na engenharia é a área da seção de um tubo, de um eixo ou de um cabo, que é contra o que se calculam vazão e capacidade de condução de corrente — um tubo de diâmetro dobrado passa quatro vezes a área, e esse fator de quatro pega as pessoas nos dois sentidos. Na física e na aritmética do dia a dia é a área que transforma uma pressão em força, uma intensidade num total, ou um índice de chuva num volume de água. E há o uso de sala de aula, que é o que faz a fórmula grudar: desenhe um círculo em papel quadriculado, conte os quadrados inteiros dentro dele e compare a contagem com πr². A contagem sai um pouco menor, porque os quadrados da borda ficam em parte do lado de fora, e essa diferença é o primeiro encontro honesto que a maioria das pessoas tem com o que uma constante irracional dentro de uma fórmula realmente significa.
Exemplos resolvidos
Um raio de 5
- Eleve o raio ao quadrado: 5 × 5 = 25
- Multiplique por π: 25 × 3,14159 = 78,5398
O par com que a página carrega, e a linha que amarra esta página à página geral: um círculo de raio 5 tem área 78,5398 lá também. Nada foi arredondado no meio, e é por isso que as duas batem até o último dígito — uma área calculada a partir de um raio já arredondado não bateria.
Um diâmetro de 12
- Divida o diâmetro por dois para obter o raio: 12 ÷ 2 = 6
- Eleve ao quadrado: 6 × 6 = 36
- Multiplique por π: 36 × 3,14159 = 113,0973
O jeito mais comum de chegar aqui, porque um objeto circular é muito mais fácil de medir de um lado ao outro do que do centro até a borda. Esta página não devolve o raio para você, então se quiser conferir que o seu 12 foi lido como 6, olhe a coluna do raio na tabela — o 6 não está nela, mas a linha do 3 tem diâmetro 6 e a linha do 10 tem diâmetro 20, o que já basta para ver a relação que a página está usando.
Uma circunferência de 20
- Recupere o raio: 20 ÷ (2 × π) = 3,1830988…
- Eleve ao quadrado: 3,1830988 × 3,1830988 = 10,1318311…
- Multiplique por π: 10,1318311 × 3,14159 = 31,8310
A linha que explica por que esta página nunca arredonda no meio. O raio aqui não pode ser escrito — ele é 10/π —, então ele é carregado sem arredondamento ao longo da elevação ao quadrado e só a resposta é arredondada. Faça pelo outro caminho: leia o raio na tabela como 3,1831, eleve ao quadrado, multiplique por π e você obtém 31,8309. Um dígito de diferença, e nenhuma das duas contas está errada: uma delas arredondou antes do fim.
Um raio de 10
- Eleve o raio ao quadrado: 10 × 10 = 100
- Multiplique por π: 100 × 3,14159 = 314,1593
Exatamente quatro vezes a área de um círculo de raio 5, e o lugar mais limpo para ver que dobrar o raio quadruplica a área. O raio subiu por um fator de dois e a resposta por um fator de quatro, porque o raio é elevado ao quadrado. É a mesma relação que faz um tubo de diâmetro dobrado passar quatro vezes mais.
Um raio de 0
- Eleve o raio ao quadrado: 0 × 0 = 0
- Multiplique por π: 0 × 3,14159 = 0
Um círculo sem tamanho não encerra nada, e a resposta zero está certa, não faltando. Zero é um valor legítimo em qualquer dos três campos — é a diferença entre uma medida de zero e nenhuma medida —, e a página trata o segundo caso, o campo vazio, como o caso em que não há com o que trabalhar.
Limitações
Esta página devolve a área e nada mais: nem a circunferência, nem o diâmetro, nem o raio. Dada uma área e querendo uma das outras, é a outra página. A saída está sempre em centímetros quadrados, qualquer que seja a unidade de cada entrada — a conversão acontece na entrada, então um raio digitado em polegadas volta como um número em centímetros quadrados que precisa ser dividido por 6,4516 para ser lido em polegadas quadradas. Converter uma área dividindo pelo fator de comprimento 2,54 em vez do seu quadrado é o erro a vigiar. A resposta é calculada a partir de um raio não arredondado, então se você partir de uma circunferência e conferir a conta à mão usando um raio arredondado, o seu valor vai diferir no último dígito; a página não é a que está errada. Quatro casas decimais são uma largura de exibição e não uma afirmação de que a área é exata — a área de um círculo quase nunca é um número que termina, e 78,5398 é um 78,53981633... arredondado. Um círculo de raio zero é aceito e dá área zero, o que está correto. Esta página aceita exatamente uma das três medidas: dê duas e ela recusa, porque dois números incoerentes não descrevem um círculo. Nada aqui trata de elipse, segmento, setor ou da superfície de uma esfera — cada um desses é uma figura diferente com fórmula diferente, e a elipse em particular não é um círculo esticado com área fácil.
Perguntas frequentes
- Por que só posso preencher um dos três campos?
- Porque os três descrevem o mesmo círculo, então quaisquer dois são redundantes e quaisquer dois que discordem são uma contradição. Um raio de 5 e um diâmetro de 12 não podem ser verdadeiros ao mesmo tempo sobre um mesmo círculo. A página recusa dois em vez de escolher um em silêncio, porque o sentido dos campos é justamente você entrar com a medida que de fato tem.
- Digitei em polegadas. Por que a resposta está em centímetros quadrados?
- Porque a conversão de unidade acontece na entrada e não na saída. As suas polegadas são transformadas em centímetros, a área é calculada, e a resposta sai em centímetros quadrados — não é um valor em polegadas quadradas. Para ler em polegadas quadradas, divida por 6,4516, que é 2,54 ao quadrado. Áreas convertem pelo quadrado do fator de comprimento, e dividir por 2,54 em vez disso é o engano a evitar.
- Por que obtenho uma resposta um pouco diferente quando confiro à mão?
- Por causa de onde o arredondamento acontece. A página mantém o raio sem arredondamento até o fim, e se você partiu de uma circunferência então o raio é um número que não pode ser escrito exatamente. Leia-o na tabela, eleve ao quadrado e multiplique, e você está arredondando no meio. Isso vale 0,0001 numa circunferência de 20, e esta página é a que concorda consigo mesma.
- Por que dobrar o raio deu quatro vezes a área?
- Porque o raio é elevado ao quadrado e não dobrado. O dobro do raio significa o dobro do raio em cada uma das duas direções de que o quadrado é feito, então a área sobe por dois vezes dois. Vale guardar: é a mesma relação que faz um tubo de diâmetro dobrado passar quatro vezes a vazão, e ela pega as pessoas nos dois sentidos.
- A página mostra como ela leu o meu diâmetro?
- Não diretamente — o painel de resultados mostra só a área e não repete o que você digitou. A tabela existe exatamente por isso: cada linha dá um raio ao lado do seu diâmetro e da sua área, então você pode achar uma linha perto do seu número e ver a duplicação que a página está aplicando. Um diâmetro de 12 é um raio de 6, que é a linha do 3 com o diâmetro dobrado.
- Consigo descobrir o raio a partir de uma área aqui?
- Nesta página não. É de propósito que a conta corra só num sentido: esta página recebe um comprimento e dá uma área, e voltar pelo outro caminho exige uma raiz quadrada. Existe uma página que faz isso junto com todo o resto, recebendo qualquer uma das quatro grandezas e devolvendo as demais, e é essa que você deve usar se a área for o seu ponto de partida.
Referências
- Circle — the curve, its radius, diameter and circumference, and the πr² that gives the area of the region it bounds — Wolfram MathWorld (United States)
- Disk — the flat region whose area this page computes, as distinct from the circle that bounds it, which is the reason the answer comes back in squared units — Wolfram MathWorld (United States)
- Area — what an area is and how it is defined, including why the conversion between square units is the square of the length conversion — Wolfram MathWorld (United States)