Calculadora de área do setor

A = (θ ÷ 360) × πr² L = (θ ÷ 360) × 2πr c = 2r × sen(θ ÷ 2)

Raio

A distância do centro até a borda curva, em centímetros. É metade dos lados retos da fatia, e é o número que diz de que tamanho era o círculo de onde ela foi recortada

Ângulo central

O ângulo entre os dois lados retos, medido no centro, em graus. Com o raio ele determina a fatia por completo, e é o número que diz que fração do círculo você tomou — 90 é um quarto dele, 60 é um sexto

Área

A superfície que a fatia cobre, em centímetros quadrados. Ela resulta da fração do círculo multiplicada pela área do círculo inteiro, e é a única das três que acompanha o quadrado do raio: dobre o raio e a área fica quatro vezes maior

Comprimento do arco

A distância ao longo da borda curva, em centímetros. A mesma fração do círculo, aplicada à circunferência em vez da área — por isso ela acompanha o raio e não o seu quadrado, e resulta exatamente igual ao raio quando o ângulo é de um radiano

Corda

A linha reta de uma ponta do arco até a outra, em centímetros. É o lado plano da fatia, e é a única das três saídas que precisa de trigonometria em vez de apenas uma fração: ela é duas vezes o raio multiplicado pelo seno da metade do ângulo

sen(θ ÷ 2)

O seno da metade do ângulo, e é a metade e não o ângulo inteiro que vale reter — a corda e os dois raios formam um triângulo isósceles, e baixar uma linha pelo meio dele divide o ângulo em dois e também divide a corda em duas

θ ÷ 360

A fração do círculo inteiro que a fatia ocupa. É o fator que a área e o comprimento do arco compartilham, e é por isso que as duas são simplesmente uma cópia reduzida das medidas do próprio círculo

Quatro casas decimais

A largura com que cada leitura é escrita. A área e o comprimento do arco carregam um π e por isso quase nunca terminam; a corda só é exata nos ângulos em que o seno é, e é por isso que 60 graus e 180 graus dão números redondos e a maioria dos outros ângulos não

As três saídas respondem a três perguntas diferentes sobre a mesma fatia, e escolher a certa é a maior parte do trabalho. A área é para tudo que se compra ou se conta por superfície: uma fatia de pizza cobrada pela assadeira, um terreno em cunha entre duas cercas que se encontram num canto, um vidro cortado para um caixilho curvo, ou a fração do campo de visão de uma câmera que determinada regulagem de obturador deixa passar. O comprimento do arco é para tudo que acompanha a curva: o comprimento de moldura necessário em volta de um balcão curvo, a cerca ao longo de uma divisa que faz barriga, o trecho de correia que passa por parte de uma polia, ou a distância que um ponto da borda percorre quando a roda gira um dado ângulo. A corda é para a linha reta — a largura de uma pá de ventilador na ponta, o fundo plano de uma fatia que se apoia num prato, o vão de um arco, ou a que distância ficam dois pontos de um círculo depois de ambos girarem o mesmo ângulo a partir de um centro comum. E há um quarto uso que atravessa as três: o setor é a unidade com que se constroem muitíssimas coisas circulares — um gráfico de pizza não é nada além de setores, um hexágono são seis deles, e um dente de engrenagem é um deles com a ponta aparada.

1. Uma fatia de 60 graus de um círculo de 5 cm

   1. Fração do círculo: 60 ÷ 360 = 1/6
   2. Área: (1/6) × π × 5² = 25π ÷ 6 = 13,0899…, que arredonda para 13,09
   3. Comprimento do arco: (1/6) × 2π × 5 = 10π ÷ 6 = 5,2359…, que arredonda para 5,236
   4. Corda: 2 × 5 × sen(30°) = 10 × 0,5 = 5

   A entrada com que a página carrega, e a linha que mostra o que a fração está fazendo: uma fatia de 60 graus é exatamente um sexto do círculo, então a área dela é um sexto de 25π e o arco é um sexto de 10π. A corda é a parte em que vale parar — ela dá exatamente 5, o mesmo que o raio, porque o seno de 30 graus é exatamente um meio e o 2 e o meio se cancelam. Seis dessas fatias encostadas ponta com ponta formam um hexágono regular, e essa é a página seguinte.

2. Um quarto de um círculo de 5 cm

   1. Fração do círculo: 90 ÷ 360 = 1/4
   2. Área: 25π ÷ 4 = 19,6349…, que arredonda para 19,635
   3. Comprimento do arco: 10π ÷ 4 = 7,8539…, que arredonda para 7,854
   4. Corda: 2 × 5 × sen(45°) = 10 × 0,7071068 = 7,0710678…, que arredonda para 7,0711

   O quarto de círculo. A corda de um setor de 90 graus é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos dois catetos são o raio, então ela vale r√2 — aqui 5√2, o mesmo 7,0711 que a página do quadrado imprime para a sua diagonal e o mesmo número de que precisaria o quadrado inscrito da página do círculo. Três páginas, um número, e as três são o mesmo triângulo visto de lados diferentes.

3. Um semicírculo

   1. Fração do círculo: 180 ÷ 360 = 1/2
   2. Área: 25π ÷ 2 = 39,2699…, que arredonda para 39,2699
   3. Comprimento do arco: 10π ÷ 2 = 15,7079…, que arredonda para 15,708
   4. Corda: 2 × 5 × sen(90°) = 10 × 1 = 10

   O ângulo em que a corda deixa de ser corda e passa a ser diâmetro: as duas pontas do arco agora estão em lados opostos, então a linha reta entre elas passa pelo centro e vale 2r. O seno de 90 graus é exatamente 1, e é por isso que a resposta é redonda. Tudo nesta linha é metade do círculo completo da linha de baixo, exceto a corda, que aqui está no seu máximo — depois de 180 graus a corda volta a encolher mesmo enquanto a área continua crescendo.

4. Um terço de um círculo de 6 cm

   1. Fração do círculo: 120 ÷ 360 = 1/3
   2. Área: 36π ÷ 3 = 12π = 37,6991…, que arredonda para 37,6991
   3. Comprimento do arco: 12π ÷ 3 = 4π = 12,5664…, que arredonda para 12,5664
   4. Corda: 2 × 6 × sen(60°) = 12 × 0,8660254 = 10,3923048…, que arredonda para 10,3923

   Um terço de um círculo de raio 6, e a linha que liga esta página à seguinte. A corda é 6√3, que é exatamente a diagonal menor de um hexágono regular de lado 6 — e isso não é coincidência: três dessas fatias formam meio hexágono, e seis formam o hexágono inteiro. A área ser 12π e o arco ser 4π são a outra coisa a notar: quando a fração dá certa, as respostas conservam o π e largam todo o resto.

5. O círculo inteiro

   1. Fração do círculo: 360 ÷ 360 = 1
   2. Área: 1 × π × 5² = 25π = 78,5398…, que arredonda para 78,5398
   3. Comprimento do arco: 1 × 2π × 5 = 10π = 31,4159…, que arredonda para 31,4159
   4. Corda: 2 × 5 × sen(180°) = 10 × 0 = 0

   Um setor de 360 graus é o círculo inteiro, e a área e o comprimento do arco são exatamente o que a página do círculo imprime para um raio de 5 — os mesmos 78,5398 e os mesmos 31,4159. Tinham de ser: um setor que toma o círculo todo é o círculo. A corda é a interessante. Ela vale 0, e essa é a resposta correta, não uma falha: as duas pontas do arco deram a volta e se encontraram, então a linha reta entre elas não tem comprimento nenhum. Uma corda pode ser zero enquanto a área está no seu máximo — as duas medidas não têm nada a ver uma com a outra.

A página é para setores apenas: dois raios retos e o arco entre eles, sobre um círculo plano. Um segmento — a região entre uma corda e o seu arco, que é o que sobra se você cortar o triângulo desta fatia — é outra forma, com página própria ao lado. As leituras são em centímetros e centímetros quadrados qualquer que seja a unidade escolhida na lista, então um raio informado em polegadas volta como uma resposta em centímetros que você mesmo precisa converter; o ângulo é em graus, e a lista aceita radianos ou grados, mas o resultado é sempre calculado a partir de graus. Ângulos acima de 360 graus são recusados em vez de darem a volta: passando de uma volta completa há mais de uma maneira de ler qual fatia você quis dizer, e a página prefere dizê-lo a adivinhar. Quatro casas decimais é uma largura de exibição, não uma afirmação sobre precisão — a área e o comprimento do arco carregam um π e quase nunca terminam, e a corda só é exata nos ângulos em que o seno é. A corda mede a linha reta que atravessa a fatia, então para ângulos acima de 180 graus ela está medindo o caminho curto através de uma fatia que é mais da metade do círculo, o que é correto mas raramente é o que alguém desenhando um gráfico de pizza tem em mente. Nada aqui trata de uma fatia de elipse ou de qualquer outra curva não circular, de uma fatia com a ponta arredondada, nem da espessura de uma fatia física como um bolo ou uma cunha de queijo.

Por que esta página precisa de duas entradas se a do círculo precisa de uma?

Porque um setor não fica determinado por um único número. Um círculo fica: dê o raio e você sabe tudo sobre ele. Um setor é um círculo com uma mordida tirada, e o tamanho da mordida precisa ser dito à parte — uma fatia de 30 graus de um círculo grande e uma de 180 graus de um círculo pequeno são formas completamente diferentes. O raio fixa o círculo e o ângulo fixa quanto dele você tomou, então os dois são necessários e nenhum pode ser obtido a partir do outro.

Por que a corda é exatamente igual ao raio em 60 graus?

Porque a corda é 2r·sen(θ/2), e em 60 graus o meio ângulo é 30 graus, cujo seno é exatamente um meio. O 2 e o meio se cancelam e sobra o r. É um dos poucos ângulos em que a corda dá um número inteiro, e é o que faz o hexágono funcionar: seis fatias de 60 graus encostadas ponta com ponta dão uma forma em que todos os lados — os seis raios e as seis cordas — têm o mesmo comprimento.

Qual é a diferença entre setor e segmento?

Um setor é a fatia limitada por dois raios e um arco, como uma fatia de pizza. Um segmento é a região entre uma corda e o seu arco — que é o que sobra da fatia depois de cortar o triângulo formado pelos dois raios e pela corda. A página do segmento ao lado calcula essa outra região, e a área dela é a área desta página menos a do triângulo.

Qual das três leituras eu quero?

A área, se a fatia for uma superfície — uma fatia de pizza, um terreno em cunha, um vidro. O comprimento do arco, se algo acompanhar a curva — moldura em volta de um balcão curvo, cerca numa divisa que faz barriga, o trecho de correia numa polia. A corda, se você precisar da linha reta através da fatia — a largura de uma pá de ventilador na ponta, o vão de um arco, ou a que distância ficam dois pontos da borda.

A corda é 0 para o círculo inteiro. Isso é um bug?

Não, é a resposta certa. Em 360 graus as duas pontas do arco deram a volta inteira e se encontraram, então a linha reta entre elas não tem comprimento. Vale notar que a área está no seu máximo — o círculo inteiro — no mesmo instante em que a corda está no seu mínimo, porque essas duas medidas não têm nada a ver uma com a outra. Só as cordas têm esse comportamento; o comprimento do arco simplesmente passa a ser a circunferência.

Posso informar o ângulo em radianos?

Sim, a lista ao lado do ângulo aceita graus, radianos ou grados, e converte o que você digitar para graus antes de calcular qualquer coisa. As entradas da tabela de referência estão todas em graus, então um valor de cerca de 1,047 radiano é a mesma fatia da linha de 60 graus. Nada na saída muda com a unidade — a área é em centímetros quadrados e o arco e a corda são em centímetros nos dois casos.

• Circular sector — the region bounded by two radii and an arc, with the area and the arc length this page computes and the fraction-of-the-circle form of both — Wolfram MathWorld (United States)
• Circle — the shape the sector is cut from, and the page next door where any one of four measurements gives the other three — Wolfram MathWorld (United States)
• Circular segment — the region between a chord and its arc, which is this wedge with the triangle removed, and the shape the page next door computes — Wolfram MathWorld (United States)