Calculadora de área do segmento

A = (θ ÷ 360) × πr² − ½r²sen θ c = 2r sen(θ ÷ 2) h = r(1 − cos(θ ÷ 2))

Raio

A distância do centro até o arco, em centímetros. Metade da base do triângulo que está sendo cortado, e o número que diz de que tamanho era o círculo

Ângulo central

O ângulo que a corda subtende no centro, em graus. Ele determina o segmento junto com o raio: define tanto quanto do círculo o setor ocupa quanto a altura do triângulo que está sendo removido

Área

A superfície do segmento, em centímetros quadrados — a área do setor menos a do triângulo. Abaixo de 180 graus ela é a menor das duas regiões que uma corda cria; acima disso a subtração vira uma soma e você obtém a maior

Corda

A linha reta que fecha o segmento, em centímetros, e a base do triângulo que foi removido. Ela cresce até virar um diâmetro em 180 graus e depois volta a encolher, chegando a zero numa volta completa

Comprimento do arco

A distância ao longo da borda curva, em centímetros — o mesmo arco do setor, já que cortar o triângulo fora não muda a curva. É a fronteira externa do segmento e simplesmente continua crescendo com o ângulo

Altura do segmento

Quanto o arco se ergue acima da corda no meio dela, em centímetros. É a profundidade do segmento, e a grandeza que você mediria com uma régua apoiada sobre o lado plano — ela vai de 0 sem ângulo nenhum até o diâmetro inteiro numa volta completa

½r² sen θ

A área do triângulo formado pelos dois raios e pela corda. Ela atinge o máximo em 90 graus e cai a nada em 180, e é por isso que um semicírculo não tem triângulo nenhum a subtrair

Quatro casas decimais

A largura com que cada leitura é escrita. Todas as quatro carregam um π ou um seno e por isso quase nunca terminam, e a área é a diferença de dois números assim, o que faz dos seus últimos dígitos os menos confiáveis da página

Esta página é para a região que uma linha reta recorta de um círculo, que acaba sendo uma forma mais comum do que a cunha de onde ela deriva. Uma janela em arco ou um vão de porta com o topo curvo é um segmento apoiado num retângulo; também é a seção transversal de um túnel cujo teto é um arco e cujas laterais são retas. Tubos e tanques parcialmente cheios são o caso clássico: a área molhada de um cilindro horizontal é um segmento, e é por isso que o volume de líquido num barril é um problema de segmento e não de círculo. Num mapa, a área entre uma linha divisória reta e uma estrada ou um rio sinuoso é um segmento, e também o é a lasca de um terreno circular que fica fora de uma cerca reta. Na indústria, um corte reto atravessando uma barra redonda ou um disco de chapa deixa um segmento como sobra, e a fórmula da altura é a que se procura quando o que se consegue medir é a profundidade do corte e não o ângulo — uma régua apoiada sobre o plano e levada até o ponto mais fundo da curva dá a altura diretamente, e o ângulo pode ser obtido a partir dela. E é a forma de uma mordida: uma mordida tirada de um biscoito redondo é um segmento, com a corda atravessando as marcas dos dentes e a altura sendo a profundidade da mordida.

1. Um segmento de um quarto de círculo

   1. Área do setor: (90 ÷ 360) × π × 5² = 19,6349…
   2. Área do triângulo: ½ × 5² × sen(90°) = 12,5
   3. Área do segmento: 19,6349 − 12,5 = 7,1349…, que arredonda para 7,135
   4. Corda: 2 × 5 × sen(45°) = 7,0711
   5. Comprimento do arco: (90 ÷ 360) × 2π × 5 = 7,854
   6. Altura: 5 × (1 − cos(45°)) = 5 × 0,2928932 = 1,4645

   A entrada com que a página carrega, e o caso mais claro do que a subtração faz. O setor é 19,6349 e o triângulo tira 12,5 dele, deixando 7,135 — um terço do que a cunha cobria. A altura torna a forma concreta: o arco se ergue apenas 1,4645 centímetro acima da corda, então isto é uma lasca bem achatada e não um pedaço gordo do círculo.

2. Um segmento raso de 60 graus

   1. Área do setor: (60 ÷ 360) × π × 5² = 13,0899…
   2. Área do triângulo: ½ × 5² × sen(60°) = 12,5 × 0,8660254 = 10,8253
   3. Área do segmento: 13,0899 − 10,8253 = 2,2646…, que arredonda para 2,2647
   4. Corda: 2 × 5 × sen(30°) = 5
   5. Comprimento do arco: (60 ÷ 360) × 2π × 5 = 5,236
   6. Altura: 5 × (1 − cos(30°)) = 5 × 0,1339746 = 0,6699

   O mesmo círculo da linha acima, mas com um ângulo menor, e o segmento é muito menor do que a mudança de ângulo sugere — 2,2647 contra 7,135 para dois terços do ângulo. A razão é que o triângulo está comendo quase toda a cunha: o setor é 13,0899 e o triângulo fica com 10,8253 dele. Em ângulos pequenos um segmento é uma lasca fina, e a área cai muito mais rápido do que o ângulo.

3. Um semicírculo

   1. Área do setor: (180 ÷ 360) × π × 5² = 39,2699…
   2. Área do triângulo: ½ × 5² × sen(180°) = 0
   3. Área do segmento: 39,2699 − 0 = 39,2699
   4. Corda: 2 × 5 × sen(90°) = 10
   5. Comprimento do arco: (180 ÷ 360) × 2π × 5 = 15,708
   6. Altura: 5 × (1 − cos(90°)) = 5 × 1 = 5

   O ângulo em que o triângulo desaparece. Em 180 graus a corda é um diâmetro e os dois raios se deitam sobre ela, então o triângulo não tem área a subtrair e o segmento é o semicírculo inteiro — 39,2699, que é exatamente o que a página do setor imprime para o semicírculo dela. A altura é 5, o raio, que é o máximo que um segmento deste círculo consegue se erguer.

4. Um terço de um círculo

   1. Área do setor: (120 ÷ 360) × π × 6² = 37,6991
   2. Área do triângulo: ½ × 6² × sen(120°) = 18 × 0,8660254 = 15,5885
   3. Área do segmento: 37,6991 − 15,5885 = 22,1106…, que arredonda para 22,1107
   4. Corda: 2 × 6 × sen(60°) = 10,3923
   5. Comprimento do arco: (120 ÷ 360) × 2π × 6 = 12,5664
   6. Altura: 6 × (1 − cos(60°)) = 6 × 0,5 = 3

   A linha que se alinha com as páginas de cada lado desta. A corda é 6√3 e o arco é 4π, os mesmos números que a página do setor imprime para uma fatia de 120 graus do mesmo círculo — a corda e o arco não mudam quando o triângulo é removido, porque nenhum dos dois faz parte dele. A altura é exatamente 3, metade do raio, porque o cosseno de 60 graus é um meio.

5. O segmento maior a 270 graus

   1. Área do setor: (270 ÷ 360) × π × 5² = 58,9049
   2. Área do triângulo: ½ × 5² × sen(270°) = 12,5 × (−1) = −12,5
   3. Área do segmento: 58,9049 − (−12,5) = 71,4049
   4. Corda: 2 × 5 × sen(135°) = 7,0711
   5. Comprimento do arco: (270 ÷ 360) × 2π × 5 = 23,5619
   6. Altura: 5 × (1 − cos(135°)) = 5 × 1,7071068 = 8,5355

   A linha que deve ser lida com atenção, e a que explica por que esta página não dá veredito nenhum sobre se uma resposta faz sentido. Em 270 graus o seno é negativo, então subtrair o triângulo soma 12,5 em vez de tirar, e a página devolve 71,4049 — a maior das duas regiões que a corda recorta, não a menor. Essa é a resposta correta para a aritmética e muito frequentemente não é a região que o leitor tinha em mente, e é por isso que nada aqui é rotulado como segmento menor ou maior. A corda é 7,0711, a mesma da linha de 90 graus acima, porque sen(135°) é igual a sen(45°): dois ângulos diferentes, uma corda só.

A página é para segmentos circulares apenas: uma corda reta e o arco acima dela sobre um círculo plano. Acima de 180 graus a aritmética cruza para o outro lado e devolve a maior das duas regiões que a corda recorta, em vez da menor — isso é deliberado e inevitável, já que a fórmula não tem como saber qual delas você quis dizer, e é por isso que nenhuma resposta aqui é rotulada como segmento maior ou menor. A área é a diferença de dois números que carregam um π ou um seno cada um, então os seus últimos dígitos são os menos confiáveis da página. A corda e o arco não mudam quando o triângulo é removido, então quem queria a cunha e não a lua deve usar a página do setor ao lado. As leituras são em centímetros e centímetros quadrados qualquer que seja a unidade escolhida na lista, então um raio informado em polegadas volta como uma resposta em centímetros que você precisa converter. A altura é medida da corda até o ponto mais fundo do arco e é a grandeza a que se recorrer quando o ângulo é desconhecido, mas a página não trabalha ao contrário, de uma altura para um ângulo. Ângulos acima de 360 graus são recusados em vez de darem a volta. Nada aqui trata de um segmento de elipse, de uma corda que não vai de ponta a ponta do arco, nem da espessura e das tampas de uma peça física como uma aduela de barril ou um tijolo de arco.

Qual é a diferença entre segmento e setor?

Um setor é a cunha limitada por dois raios e um arco — uma fatia de pizza. Um segmento é o que sobra quando você corta o triângulo fora dessa cunha: apenas a região entre a corda e o arco. A página do setor ao lado calcula a cunha, e esta calcula o que resta depois de tirar dela ½r²sen θ.

Por que a página dá a região maior em 270 graus?

Porque a área do triângulo é ½r²sen θ e, passando de 180 graus, o seno é negativo, de modo que subtraí-lo soma em vez de tirar. A aritmética está certa e a resposta é a maior das duas regiões que a corda recorta. A página deliberadamente não rotula as respostas como maior ou menor: só com um raio e um ângulo não há como saber qual das duas regiões você quis dizer, então ela calcula uma e deixa a leitura para você.

Para que serve a altura do segmento?

É quanto o arco se ergue acima do meio da corda — a profundidade do segmento. Ela está na página porque é a medida que você consegue tirar de fato: apoie uma régua sobre o lado plano e meça até o ponto mais fundo da curva, e você a tem, sem precisar de ângulo nenhum. Ela vai de 0 sem ângulo nenhum até o diâmetro inteiro numa volta completa, e é a maneira habitual de descrever um tubo parcialmente cheio.

Por que a corda e o arco são iguais aos da página do setor?

Porque nenhum dos dois faz parte do triângulo que é cortado. A subtração remove a região fechada pelos dois raios e pela corda; a corda em si é a fronteira desse triângulo, e não parte do interior dele, e o arco não é tocado de forma alguma. Então um segmento de 120 graus e um setor de 120 graus do mesmo círculo têm cordas idênticas, arcos idênticos e áreas diferentes.

Para que serve esta forma?

Para tudo em que uma linha reta atravessa um círculo. Um tubo ou tanque horizontal parcialmente cheio tem um segmento como seção transversal do líquido, e é por isso que o volume de líquido num barril é um problema de segmento. Uma janela em arco, o teto de um túnel sobre paredes retas, a área entre uma divisa reta e uma estrada sinuosa, a sobra quando se serra uma barra redonda e uma mordida tirada de um biscoito redondo são todos segmentos.

Posso descobrir o ângulo a partir da altura?

Não nesta página — a altura é uma saída, não uma entrada. O ângulo pode ser recuperado dela, já que a altura é r(1 − cos(θ/2)), mas isso significa resolver para o cosseno e tomar um arco cosseno, e a página não faz isso. Se o que você tem é uma medida de profundidade, o caminho prático é testar ângulos até a coluna da altura bater com o que você mediu, ou calcular a inversa em separado.

• Circular segment — the region between a chord and its arc, with the area as the sector minus the triangle that this page computes — Wolfram MathWorld (United States)
• Circular sector — the wedge this page subtracts the triangle from, and the page next door where the wedge itself is the answer — Wolfram MathWorld (United States)
• Circle — the shape the segment is cut from, and the page where the whole circle and its chord properties are set out — Wolfram MathWorld (United States)