Calculadora de ângulo central
Resultado
Ângulo central
- Ângulo central em radianos
- 1,0000 rad
Uma calculadora de ângulo central recebe o raio de um círculo e o comprimento de um arco sobre ele e devolve qual é o tamanho do ângulo no centro — o ângulo subentendido por esse arco — em graus e em radianos. Os dois são o mesmo ângulo escrito de duas formas, e o interessante nesta página é qual das duas vem primeiro. Um ângulo no centro medido em radianos é definido como o comprimento do arco dividido pelo raio — isso não é uma fórmula que alguém deduziu, é o que um radiano é —, então a leitura em radianos é uma divisão sem nenhum π dentro, e a leitura em graus é esse número multiplicado por 180/π. O par com que esta página carrega mostra isso: um raio de 5 com um arco de 5 dá exatamente um radiano, porque o arco tem exatamente o comprimento do raio, e um radiano são 57,2958 graus. Toda outra conta aqui é a mesma divisão com outros números dentro. É também por isso que esta página e a do comprimento de arco são duas páginas e não uma. Elas são a mesma equação lida em direções opostas: uma recebe o ângulo e dá o arco, a outra recebe o arco e dá o ângulo. As duas valem a pena, porque as perguntas chegam invertidas — quem mede uma parede curva tem um comprimento e quer saber que ângulo ele vira, enquanto quem desenha um setor tem um ângulo e quer saber quanto vai medir a borda. O único aviso que vale trazer de lá é sobre a fórmula compacta, L = rθ. Nessa forma θ está em radianos, sempre, porque a forma só funciona assim. Jogue graus nela e a resposta sai cerca de 57 vezes maior, e não vai parecer errada — vai parecer simplesmente longa. Esta página dá as duas leituras, então a conversão já está feita; o aviso importa quando você encontra a forma compacta em outro lugar.
O ângulo no centro a partir de um comprimento de arco e do raio do seu círculo
| Raio (cm) | Comprimento do arco (cm) | Ângulo central (graus) | Ângulo central (radianos) |
|---|---|---|---|
| 5 | 5 | 57.2958 | 1 |
| 10 | 5 | 28.6479 | 0.5 |
| 5 | 10 | 114.5916 | 2 |
| 4 | 1 | 14.3239 | 0.25 |
| 3 | 3 | 57.2958 | 1 |
| 6 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 31.4159 | 359.9997 | 6.2832 |
| 2 | 12.5664 | 360.0008 | 6.2832 |
Oito arcos e quatro colunas — duas medidas entram, o mesmo ângulo sai duas vezes. A primeira linha é o par com que a página carrega e a definição de radiano em uma linha: um arco do comprimento do raio dá exatamente 1, que são 57,2958 graus. A segunda e a terceira linhas levam essa mesma divisão para cima e para baixo — um arco de metade do raio dá meio radiano e um arco do dobro do raio dá dois —, então lê-las juntas mostra a coluna de radianos se comportando como a divisão simples que ela é. A quarta linha é um quarto de radiano: um arco de 1 deitado num raio de 4 dá 0,25, que são 14,3239 graus, então a coluna de graus segue sendo a leitura em radianos multiplicada por 57,2958. As duas últimas linhas são a mesma coisa em direções opostas e são o ponto da tabela: um raio de 5 alimentado com a sua própria circunferência impressa dá 359,9997 graus e um raio de 2 alimentado com a sua dá 360,0008, porque um arredondamento foi para baixo e o outro para cima. Uma leitura pouco acima de 360 é, portanto, correta, e as duas linhas estão aqui para dizer isso. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.
Fórmula
θ(radianos) = L ÷ r, θ(graus) = θ(radianos) × 180 ÷ π
- Comprimento do arco
- A distância ao longo da curva, em centímetros — o comprimento do pedaço de círculo, não a distância em linha reta entre as suas duas extremidades
- Raio
- A distância do centro até o arco, em centímetros. Tem de ser maior que zero, porque é por ele que o comprimento do arco é dividido
- θ (teta)
- O ângulo central, em radianos — o comprimento do arco dividido pelo raio, que é o que um radiano é. Uma volta completa são 2π deles, cerca de 6,2832
- 180 ÷ π
- O número de graus em um radiano, cerca de 57,2958. Multiplicar a leitura em radianos por ele dá a leitura em graus, e é o único lugar em que π entra na conta
- Graus
- O mesmo ângulo escrito do jeito que a maioria das pessoas lê ângulos, numa escala de 360 para uma volta. É a leitura mostrada primeiro, porque é a que um transferidor mostraria
- L = rθ
- A forma compacta da relação, com θ em radianos. Rearranjada, é a divisão que esta página executa; usada como está, com graus no lugar de radianos, dá uma resposta cerca de 57 vezes maior
- Quatro casas decimais
- A largura com que as duas leituras são escritas. Uma volta completa são 6,2832 radianos ou 360 graus, e perto desse ponto as quatro casas decimais da entrada começam a aparecer na resposta
Tudo o que foi medido ao longo de uma curva e agora precisa virar ângulo. Uma oficina de usinagem é o caso mais claro: uma ranhura curva, um tubo dobrado, um trecho de anel laminado chegam com um comprimento, e o desenho pede um ângulo — é esta divisão que leva de um ao outro. Fabricação e construção têm o mesmo formato de problema: um corrimão curvo medido ao longo do comprimento, uma guia dobrada, uma abertura em arco, um trecho de alvenaria em arco, todos precisando do ângulo central antes de qualquer marcação. Navegação e astronomia usam no sentido contrário, pegando um arco medido no terreno ou no céu e convertendo em graus de latitude, de longitude ou de rumo. Há também um uso de sala de aula que é sinceramente o jeito mais claro de entender a unidade. Desenhe um círculo, corte um pedaço de barbante do comprimento do raio e deite-o sobre a circunferência: o ângulo que ele cobre no centro é um radiano, e um pouco mais de seis deles dão a volta inteira. Faça isso uma vez e os radianos deixam de ser uma unidade arbitrária que precisa ser decorada. E há um uso prático que aparece o tempo todo em software e em engenharia: dados um raio e um comprimento, descobrir que fração do círculo foi usada. Essa fração é a leitura em radianos dividida por 2π, e é para isso que servem as duas leituras desta página.
Exemplos resolvidos
Um raio de 5 e um arco de 5
- Divida o arco pelo raio: 5 ÷ 5 = 1 radiano
- Converta para graus: 1 × 180 ÷ π = 57,2958
O par com que a página carrega, e a definição de radiano em uma linha: um arco do comprimento do raio subentende um ângulo de um radiano. O valor em graus, 57,2958, é o número a guardar se você guardar só uma coisa sobre radianos. Repare que a leitura em radianos saiu exata — não foi preciso arredondar —, porque este par foi escolhido para tornar a divisão exata.
Um raio de 10 e um arco de 5
- Divida o arco pelo raio: 5 ÷ 10 = 0,5 radiano
- Converta para graus: 0,5 × 180 ÷ π = 28,6479
O mesmo arco num círculo maior, então o ângulo é menor — um arco de 5 é metade do raio aqui, e não o raio inteiro. Meio radiano, 28,6479 graus. É a linha que mostra que o ângulo depende da razão e não do arco sozinho, que é o mesmo fato que a página do comprimento de arco enuncia pela outra ponta.
Um raio de 4 e um quarto da circunferência
- A circunferência inteira: 2 × π × 4 = 25,1327
- Um quarto dela: 25,1327 ÷ 4 = 6,2832 = π
- Divida o arco pelo raio: 12,5664 ÷ 4 = 3,1416 radiano
- Converta para graus: 3,1416 × 180 ÷ π = 180,0004
Meia volta, e a linha que mostra onde vão parar as quatro casas decimais da entrada. O ângulo é mesmo 180 graus, mas o arco foi digitado como o quarto de circunferência arredondado, 12,5664, e dividir um número arredondado por 4 carrega esse arredondamento para a resposta na forma de 0,0004 de grau. A leitura em radianos é π com quatro casas, que é o outro jeito de ver que isto é meia volta.
Um raio de 2 e a circunferência impressa
- A circunferência inteira: 2 × π × 2 = 12,5664, impressa com quatro casas decimais
- Divida o arco pelo raio: 12,5664 ÷ 2 = 6,2832 radiano
- Converta para graus: 6,2832 × 180 ÷ π = 360,0008
Uma volta completa, e uma leitura um pouco acima de 360 graus — o que está certo, e não é erro. A circunferência de um círculo de raio 2 é 12,5663706, que a página imprime como 12,5664, arredondado para cima. Digite esse valor arredondado de volta e o ângulo sai uma fração de grau acima de uma volta. O que aparece é o arredondamento da sua entrada, não um defeito da conta.
Um raio de 6 e um arco de 0
- Divida o arco pelo raio: 0 ÷ 6 = 0 radiano
- Converta para graus: 0 × 180 ÷ π = 0
Nenhum arco, então nenhum ângulo: os dois raios se fecharam um sobre o outro e o arco encolheu a um ponto. Zero é uma entrada legítima aqui e a resposta é um zero de verdade. O raio é o campo que não pode ser zero — é por ele que o comprimento do arco é dividido, então um raio zero não tem resposta nenhuma.
Limitações
Esta página devolve o ângulo e nada mais: nem o arco, nem o raio, nem a área do setor. Dados um ângulo e um raio, o comprimento do arco é a outra página. O raio tem de ser maior que zero — é por ele que o comprimento do arco é dividido, então um raio zero não tem resposta, e a página diz isso em vez de imprimir um vazio. O comprimento do arco pode ser zero, o que dá um ângulo de zero. O arco não pode ser mais longo que a circunferência inteira daquele círculo: um círculo de raio 5 tem circunferência 31,4159, então um arco de 32 é recusado. O limite é conferido contra a circunferência como a página a imprime, com quatro casas decimais, e não contra o valor de precisão total, e isso tem uma consequência visível: uma leitura um pouco acima de 360 graus é possível e está correta. Se a circunferência do seu círculo termina num dígito que é arredondado para cima ao ser impresso, digitar esse valor impresso de volta dá um ângulo como 360,0008 graus, porque o arredondamento já estava no número que você digitou. Não é a página passando do próprio limite. As duas entradas são tomadas nas mesmas unidades e nada é convertido; as duas saídas estão sempre em graus e em radianos, independentemente dos seletores.
Perguntas frequentes
- Por que há duas leituras?
- Porque o ângulo tem duas unidades padrão e a página faz a conversão por você. A leitura em radianos é o comprimento do arco dividido pelo raio, que é a definição de radiano; a leitura em graus é esse número multiplicado por 180/π. São o mesmo ângulo, e ter as duas significa que você não precisa converter à mão nem procurar qual delas a fórmula pede.
- Minha resposta deu 360,0008 graus. Está errado?
- Não, está certo, e acontece quando o arco que você digitou já era um número arredondado. A circunferência de um círculo de raio 2 é 12,5663706, que a página imprime como 12,5664 — arredondado para cima. Digite esse valor impresso de volta e o ângulo sai uma fração de grau acima de uma volta. O que você está vendo é o arredondamento da sua entrada, não um erro na divisão.
- O raio pode ser zero?
- Não. O ângulo é o comprimento do arco dividido pelo raio, então um raio zero não tem resposta nenhuma — não há círculo em que medir um ângulo. A página diz isso em vez de imprimir um vazio ou um infinito. O comprimento do arco, em contrapartida, pode ser zero, e isso dá um ângulo de zero, que é uma resposta de verdade.
- Qual é o maior arco possível?
- A circunferência daquele círculo. Um arco é um pedaço do círculo, então não pode ser mais longo que o círculo inteiro, e a página recusa qualquer coisa além disso — para um raio de 5 o limite é 31,4159. Além disso não há ângulo central a encontrar, porque o arco teria dado mais de uma volta.
- Como isto se relaciona com a calculadora de comprimento de arco?
- São a mesma equação lida em direções opostas. Esta página recebe o raio e o arco e dá o ângulo; aquela recebe o raio e o ângulo e dá o arco. As duas existem porque as perguntas chegam nos dois sentidos — medir uma curva dá um comprimento, desenhar um setor dá um ângulo —, e a tabela de cada página tem uma linha que a outra também imprime.
- Radiano é só mais uma unidade, como o grau?
- É uma unidade, mas não é arbitrária como o grau. O grau é um trezentos e sessenta avos de uma volta, uma divisão herdada da aritmética babilônica; o radiano é o ângulo que aparece quando o arco tem exatamente o comprimento do raio. É por isso que a divisão desta página não tem π dentro: o π só aparece quando você converte o resultado para graus.
Referências
- Central Angle — the angle at the centre of a circle subtended by an arc, and the relation between it, the arc and the radius — Wolfram MathWorld (United States)
- Radian — the unit the radians reading is in, defined as the angle subtended by an arc equal in length to the radius, which is the division this page performs — Wolfram MathWorld (United States)
- Circle — the circumference that bounds an arc, and the 2π radians a full turn comes to — Wolfram MathWorld (United States)