Calculadora de comprimento de arco

L = (θ ÷ 360) × 2πr

Raio

A distância do centro do círculo até o arco, em centímetros

θ (teta)

O ângulo central, em graus — o ângulo entre os dois raios que encontram as extremidades do arco. Não é o ângulo que o arco parece girar na página, nem o ângulo entre as duas extremidades visto de fora

360

O círculo inteiro em graus, e a razão de a fórmula estar escrita assim. Dividir o ângulo por 360 o transforma na fração do círculo que o arco cobre

2πr

A circunferência — o comprimento do círculo inteiro, do qual se toma uma fração. O π é a mesma constante de todo círculo, e r é o raio outra vez

L

O comprimento do arco, em centímetros. A mesma fração da circunferência que o ângulo é de 360 graus

L = rθ

A mesma fórmula na forma compacta, que é a que os livros e as obras de referência trazem. Nessa forma θ está em radianos, não em graus — usar 60 aqui no lugar de 1,0472 é o erro contra o qual esta página inteira avisa

Quatro casas decimais

A largura com que a leitura é escrita. A resposta em geral não pode ser escrita exatamente, porque π não pode — um quarto de círculo de raio 5 dá 7,8540 e para aí

Tudo o que é parte de um círculo e cujo comprimento importa. O caso mais simples é o de medição: uma parede curva, um balcão curvo, uma janela em sacada, uma curva de caminho, o comprimento de uma cerca que acompanha uma curva em vez de uma reta — o comprimento ao longo da curva é o que se encomenda, e ele é maior que a distância em linha reta entre as duas pontas. Materiais que vêm em tira e são dobrados são o segundo caso: rodapé flexível, acabamento, fita de vedação, eletroduto, a seção curva de um corrimão, uma chapa laminada a um raio. Calcular o comprimento antes de cortar é o ponto inteiro, e um arco cortado curto vira sucata. Veículos e máquinas são o terceiro: a distância que um limpador varre, a trajetória de um braço robótico, uma correia passando por uma guia curva, o comprimento de um trecho de corrente em volta de uma engrenagem. Em cada um desses casos o comprimento de arco é a distância realmente percorrida, e é por ele que o motor é dimensionado. Depois há o uso de sala de aula. A proporção é fácil de ver num círculo desenhado com compasso — um arco de 90 graus é um quarto da circunferência, e dá para conferir contra a fórmula — e é essa engrenagem que permite seguir para setores, segmentos e por fim para os radianos, que não são nada mais complicados do que a mesma proporção dita ao contrário.

1. Um raio de 5 e um ângulo de 90 graus

   1. O ângulo como fração do círculo: 90 ÷ 360 = 1/4
   2. A circunferência inteira: 2 × π × 5 = 31,4159
   3. Um quarto dela: 31,4159 ÷ 4 = 7,854

   Um quarto de circunferência, e o par com que a página carrega. As duas leituras que vale guardar juntas são este 7,854 e o 31,4159 que o mesmo raio dá a 360 graus — um é exatamente quatro vezes o outro, que é o jeito rápido de ver que o ângulo está mesmo sendo usado como fração e não como outra coisa.

2. Um raio de 5 e um ângulo de 60 graus

   1. O ângulo como fração do círculo: 60 ÷ 360 = 1/6
   2. A circunferência inteira: 2 × π × 5 = 31,4159
   3. Um sexto dela: 31,4159 ÷ 6 = 5,236

   Um sexto de circunferência, que é o ângulo que um triângulo equilátero faz no centro e a razão de 60 graus aparecer sempre que algo é dividido em seis. Esta é a linha que a página do setor também imprime, então as duas páginas podem ser postas lado a lado: seja qual for o comprimento de arco que der aqui, a página do setor mostra o mesmo valor para o mesmo raio e o mesmo ângulo.

3. Um raio de 5 e uma volta inteira

   1. O ângulo como fração do círculo: 360 ÷ 360 = 1
   2. A circunferência inteira: 2 × π × 5 = 31,4159
   3. Tudo: 31,4159

   O caso-limite, e uma conferência da página inteira: a 360 graus o arco deu a volta completa e se fechou, então ele é a circunferência, e a circunferência de um círculo de raio 5 é 31,4159. Se esta linha algum dia imprimisse outra coisa, a fórmula estaria errada — é isso que faz valer a pena pôr essa linha na tabela.

4. Um raio de 10 e um ângulo de 90 graus

   1. O ângulo como fração do círculo: 90 ÷ 360 = 1/4
   2. A circunferência inteira: 2 × π × 10 = 62,8319
   3. Um quarto dela: 62,8319 ÷ 4 = 15,708

   O mesmo quarto de círculo do primeiro exemplo e o mesmo comprimento que o arco de 180 graus com raio 5. Dobrar o raio e cortar o ângulo pela metade deixa o arco igual, porque o comprimento do arco depende dos dois em conjunto e não de um deles. É a demonstração mais barata que existe de por que a fórmula multiplica em vez de somar.

5. Um raio de 5 e um ângulo de 0

   1. O ângulo como fração do círculo: 0 ÷ 360 = 0
   2. A circunferência inteira: 2 × π × 5 = 31,4159
   3. Nada disso: 0

   Um ângulo de zero significa que os dois raios se fecharam um sobre o outro e o arco encolheu a um único ponto da circunferência, então o comprimento dele é zero. Isso é uma resposta de verdade e a página a informa, o que é diferente de deixar um campo vazio — um campo vazio não tem com o que trabalhar e não mostra resultado nenhum.

Esta página devolve o comprimento do arco e nada mais. Ela não dá a área do setor, o comprimento da corda reta entre as duas extremidades, o ângulo nem o raio — a página do setor cobre os dois primeiros, e voltar de um comprimento de arco para o ângulo é outra página. O ângulo está em graus e é limitado a 360: um ângulo central maior que uma volta completa é recusado em vez de reduzido, porque um ângulo central por definição não passa de uma revolução. Zero é aceito em qualquer das duas entradas e dá um arco de comprimento zero, o que está certo para um ponto e não é o mesmo que um campo vazio. As duas entradas são tomadas nas mesmas unidades, então um raio em polegadas dá um comprimento de arco em polegadas; nada é convertido. A resposta é o comprimento ao longo de um arco de circunferência e não diz nada sobre qualquer outra curva — um arco elíptico, uma espiral, uma catenária ou uma curva que não seja um círculo de verdade não vão sair certos, e dessas a elipse é o caso que as pessoas esperam ser mais fácil do que é.

O ângulo é em graus ou em radianos?

Em graus. A fórmula que esta página calcula é (θ ÷ 360) × 2πr, escrita de modo que os graus sejam divididos fora antes de qualquer outra coisa acontecer. A forma compacta que você pode ter visto em outro lugar, L = rθ, aceita radianos, e isso vale saber porque digitar 60 nela dá uma resposta cerca de 57 vezes maior — e uma resposta apenas longa não parece errada.

Qual dos ângulos do desenho é o central?

O que está no centro do círculo, entre os dois raios traçados até as duas extremidades do arco. Não é o ângulo entre as duas extremidades medido de algum ponto do arco, nem o ângulo que a curva parece girar na página. Se o seu desenho tem vários ângulos marcados, o central é aquele cujo vértice é o centro.

Em que isto é diferente da calculadora de setor?

A página do setor dá três leituras para as mesmas duas entradas — a área da fatia, o comprimento do arco e a corda reta entre as extremidades —, porque quem mexe com um setor em geral quer mais de uma delas. Esta página dá só o comprimento do arco. As duas concordam exatamente nesse número, então se você só precisa do comprimento, este é o caminho mais curto.

O ângulo pode passar de 360 graus?

Não, e a página recusa em vez de reduzir. Um ângulo central é por definição um ângulo no centro de um círculo, e ele não pode passar de uma volta completa; 400 graus significariam um arco mais longo que a circunferência inteira, o que não é um arco. O limite é deliberado e bate com o da página do setor, então o mesmo par de números é aceito ou recusado do mesmo jeito nas duas.

O comprimento do arco depende do raio?

Depende, e a dependência é uma multiplicação, não uma soma. Dobrar o raio dobra o arco, e dobrar o ângulo também dobra, então um arco de 180 graus com raio 5 e um arco de 90 graus com raio 10 têm o mesmo comprimento. É por isso que a fórmula multiplica os dois em vez de fazer outra coisa com eles.

E se a curva não for um círculo?

Aí esta página não dá a resposta certa, e também não avisa. Todo arco aqui é um pedaço de um círculo de verdade. Um arco elíptico, uma escada em espiral, uma curva catenária e a trajetória de um objeto arremessado têm comprimentos que exigem outra matemática, e desses a elipse é o que as pessoas mais supõem ser uma fração simples de um círculo quando não é.

• Arc — the definition of an arc of a circle and the proportion between its length, the radius and the angle at the centre — Wolfram MathWorld (United States)
• Circular Arc — the same subject in more detail, including the compact form L = rθ and the statement that the angle in it is measured in radians — Wolfram MathWorld (United States)
• Circle — the circumference that an arc is a fraction of, and the 2πr that fraction is taken of — Wolfram MathWorld (United States)