Calculadora de esfera
Resultado
Volume
- Área total da superfície
- 314,1593 cm²
- Raio
- 5,0000 cm
- Diâmetro
- 10,0000 cm
- Circunferência
- 31,4159 cm
A calculadora de esfera toma qualquer uma de três medidas de uma bola — o raio, o diâmetro ou a circunferência — e devolve cinco: o volume, a área total da superfície e os três comprimentos. Vale reparar na forma do formulário. Só um campo deve ser preenchido, e a página trabalha a partir do que você der, porque os três comprimentos são a mesma medida da mesma bola vestindo roupas diferentes: medir em volta do equador descreve a bola tão bem quanto medir do centro até a casca. O que não é simétrico é o outro sentido. As quatro medidas de um círculo são pares entre si, e a página do círculo ao lado começa a partir de qualquer uma delas. As de uma esfera não são: o volume e a área são coisas que se calculam, nunca coisas que se informam, porque voltar de um volume exige uma raiz cúbica e voltar de uma área exige uma raiz quadrada, e as duas perguntas já têm páginas próprias. Então esta página tem três campos e cinco leituras, e as duas leituras extras são o motivo de ela existir. O volume é quanto a bola comporta ou desloca — quanto ar cabe numa bola de futebol, quanta água um tanque esférico recebe, de quanto material é feita uma esfera de rolamento. A área total da superfície é quanta casca ela tem — quanta tinta, quanto couro, quanto revestimento. Essas duas são o que faz da esfera um objeto tridimensional, e são o que as formas planas das páginas de cada lado desta não têm com que comparar.
Bolas comuns, informadas por cada uma das três medidas
| Informado como | Raio (cm) | Diâmetro (cm) | Circunferência (cm) | Área total da superfície (cm²) | Volume (cm³) |
|---|---|---|---|---|---|
| r | 5 | 10 | 31.4159 | 314.1593 | 523.5988 |
| d | 6 | 12 | 37.6991 | 452.3893 | 904.7787 |
| C | 3.1831 | 6.3662 | 20 | 127.324 | 135.0949 |
| r | 10 | 20 | 62.8319 | 1256.6371 | 4188.7902 |
| r | 1 | 2 | 6.2832 | 12.5664 | 4.1888 |
| r | 0.5 | 1 | 3.1416 | 3.1416 | 0.5236 |
| r | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| d | 50 | 100 | 314.1593 | 31415.9265 | 523598.7756 |
Oito bolas, e a primeira coluna diz qual dos três campos foi preenchido — sem ela a tabela não se leria, já que os cinco números são impressos em toda linha e não há mais nada que diga qual foi a entrada. As três primeiras linhas são informadas de três maneiras diferentes de propósito: um raio de 5 cm, um diâmetro de 12 cm e uma circunferência de 20 cm, para que os três pontos de entrada fiquem visíveis lado a lado. A primeira linha é a bola com que a página carrega, e a circunferência dela, 31,4159, é exatamente o que a página do círculo imprime para um raio de 5 — uma circunferência não se importa se foi traçada plana ou em volta de uma bola. A terceira linha é a que se deve ler se você pretende fazer esta aritmética à mão: informada como uma circunferência de 20, o volume é 135,0949, enquanto elevar ao cubo o raio arredondado de 3,1831 impresso ao lado dá 135,0950 — uma diferença no último dígito, e a página está certa, porque a resposta verdadeira pertence ao 20 que você digitou e não ao raio arredondado em exibição. A quinta linha é a bola unitária, em que a área total da superfície é 4π e o volume é 4π/3. A sexta linha é a coincidência em que vale parar: com raio de um meio a área total da superfície e a circunferência são ambas 3,1416, porque 4πr² e 2πr se cruzam exatamente ali. A sétima linha é um raio de zero, em que toda coluna é zero e a resposta é real e não faltante. A última linha é um diâmetro de 100, dez vezes o raio da primeira linha, e o escalonamento é visível nela: dez vezes o raio dá dez vezes a circunferência, cem vezes a área total da superfície e mil vezes o volume. Cada número aqui é recalculado a partir da sua entrada quando a página é construída, em centímetros, e as quatro casas decimais são as mesmas quatro casas decimais que o painel de resultados usa. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.
Fórmula
V = 4⁄3 × πr³ A = 4πr² d = 2r C = 2πr
- Raio
- A distância do centro até a superfície, em centímetros. O número em que uma esfera realmente se apoia — tudo o mais nesta página, inclusive as outras duas entradas, é uma maneira de expressá-lo
- Diâmetro
- A distância em linha reta passando pelo meio, em centímetros, que é o dobro do raio. A medida a usar quando você tem a bola nas mãos e uma régua sobre ela, que é como a maioria das bolas é de fato descrita
- Circunferência
- A distância em volta da parte mais larga, em centímetros, que é 2πr. A medida a usar quando você tem uma trena e só consegue contornar por fora — um tronco de árvore, um tubo, ou uma bola grande demais para abraçar
- Volume
- Quanto espaço a bola ocupa, em centímetros cúbicos. É a única leitura daqui que acompanha o cubo do raio, e é por isso que ela dispara tão rápido em relação às outras conforme as bolas crescem
- Área total da superfície
- Quanta casca a bola tem, em centímetros quadrados, que é quatro vezes a área de um círculo de mesmo raio. É exatamente igual à área da superfície curva do cilindro que apenas contivesse a bola
- 4⁄3 πr³
- A fórmula do volume, e os quatro terços são a parte que vale memorizar. Uma esfera ocupa dois terços do cilindro que a envolve justo — o resultado que Arquimedes pediu que fosse gravado no seu túmulo
- 4πr²
- A área total da superfície, e o 4 simples vale ser notado ao lado dos quatro terços do volume. É a área de quatro círculos planos do mesmo raio, o que é uma coincidência do cálculo e não algo que se veja desdobrando a superfície
- Quatro casas decimais
- A largura com que cada leitura é escrita. Só o raio e o diâmetro podem ser exatos; a circunferência, a área total da superfície e o volume carregam um π, e o volume carrega também um cubo, então os últimos dígitos deles são uma largura de exibição e não uma afirmação
Esta página é para tudo que é redondo em três dimensões, e as duas leituras que ela acrescenta em relação à página do círculo são as que importam para objetos reais. O volume é para capacidade e deslocamento: quanto ar cabe numa bola de futebol, quanto recebe um tanque esférico ou um gasômetro, quanto pesa uma esfera de rolamento depois que você sabe de que material ela é, quanto empuxo dá um flutuador. A área total da superfície é para tudo que reveste a bola: tinta, gomos de couro de uma bola de futebol, revestimento de um rolamento, a superfície de resfriamento de uma gota, ou a dose de um medicamento carregada na superfície de uma partícula. Há também um uso que corre no sentido contrário, e é o mais comum de todos: você tem uma bola e uma trena, e o que você quer é um número que não consegue alcançar. Passe a trena em volta do equador, informe a circunferência, e a página dá o diâmetro e o volume sem que você precise cortar a bola — que é exatamente como se chega ao tamanho de uma árvore, de um tubo ou de um planeta.
Exemplos resolvidos
Uma bola de raio 5
- Diâmetro: 2 × 5 = 10
- Circunferência: 2 × π × 5 = 10π = 31,4159…
- Área total da superfície: 4 × π × 5² = 100π = 314,1593…
- Volume: (4 ÷ 3) × π × 5³ = 500π ÷ 3 = 523,5987…, que arredonda para 523,5988
A entrada com que a página carrega. As duas leituras com π valem ser lidas como números inteiros de π: a área total da superfície é 100π e o volume é 500π/3. É também a linha em que os números da esfera podem ser conferidos contra os da página do círculo — a circunferência desta bola, 31,4159, é exatamente o que a página do círculo imprime para um raio de 5, porque uma circunferência não se importa se foi traçada numa folha plana ou em volta de uma bola. O volume é onde a terceira dimensão aparece.
Uma bola de diâmetro 12
- Raio: 12 ÷ 2 = 6
- Circunferência: 2 × π × 6 = 12π = 37,6991…
- Área total da superfície: 4 × π × 6² = 144π = 452,3893…
- Volume: (4 ÷ 3) × π × 6³ = 288π = 904,7787…
A entrada a usar quando a bola está na sua frente: o diâmetro é o que uma régua atravessada no meio dá, e é como bolas de futebol, rolamentos e planetas são de fato especificados. Aqui tudo é múltiplo inteiro de π — 12π, 144π, 288π —, o que acontece sempre que o raio dá um número inteiro, e é um bom sinal de que a aritmética está certa.
Uma bola medida em volta do equador
- Raio: 20 ÷ (2π) = 3,1830988…, que arredonda para 3,1831
- Diâmetro: 2 × 3,1830988… = 6,3661977…, que arredonda para 6,3662
- Área total da superfície: 4 × π × 3,1830988…² = 400 ÷ π = 127,3239…, que arredonda para 127,324
- Volume: (4 ÷ 3) × π × 3,1830988…³ = 4.000 ÷ 3π² = 135,0948…, que arredonda para 135,0949
A linha a ler se você pretende fazer esta aritmética à mão, porque é aquela em que arredondar cedo machuca. O raio impresso acima é 3,1831, que já está arredondado — eleve isso ao cubo e você obtém um volume de 135,0950 em vez dos 135,0949 que a página informa. Os dois números são defensáveis e só um está certo: a resposta verdadeira pertence ao 20 que você digitou, e o 3,1831 é uma exibição dele e não a coisa em si. É também a entrada a usar para tudo em que você só consegue passar uma trena em volta, como um tronco de árvore ou um tubo.
Uma bola de raio um meio
- Diâmetro: 2 × 0,5 = 1
- Circunferência: 2 × π × 0,5 = π = 3,1416…
- Área total da superfície: 4 × π × 0,5² = π = 3,1416…
- Volume: (4 ÷ 3) × π × 0,5³ = π ÷ 6 = 0,5236…
A linha em que vale parar: a circunferência e a área total da superfície dão o mesmo número, 3,1416, e não é deslize. As duas fórmulas são 2πr e 4πr², e com raio de um meio elas se cruzam — 2π × ½ e 4π × ¼ são ambos π. Abaixo desse raio a área total da superfície é a menor das duas; acima, a maior. É o tipo de coincidência que só aparece quando um comprimento e uma área por acaso são medidos nas mesmas unidades, e nesta página eles são.
Uma bola de raio zero
- Diâmetro: 2 × 0 = 0
- Circunferência: 2 × π × 0 = 0
- Área total da superfície: 4 × π × 0² = 0
- Volume: 4⁄3 × π × 0³ = 0
Uma bola sem tamanho é um único ponto, e as cinco leituras são zero. Zero é uma entrada legítima e não um campo vazio, então uma linha de zeros é uma resposta de verdade — a página a distingue de deixar os três campos em branco, o que não mostra nada porque não há de onde partir.
Limitações
A página é para esferas apenas: todo ponto da superfície à mesma distância do centro. Um ovo, uma bola de rúgbi ou a própria Terra não são esferas, e um hemisfério também não, já que é uma esfera cortada ao meio com uma face plana extra cuja área não está incluída aqui. O volume e a área total da superfície não podem ser informados — são respostas, não entradas —, então uma bola especificada por quanto ela comporta precisa ser convertida em raio em outro lugar antes. As cinco leituras são em centímetros, centímetros quadrados e centímetros cúbicos qualquer que seja a unidade escolhida na lista, então um diâmetro informado em polegadas volta como uma resposta em centímetros que você precisa converter. Quatro casas decimais é uma largura de exibição e não uma afirmação sobre precisão: só o raio e o diâmetro podem ser exatos, e os outros três carregam um π, sendo que o volume carrega também um cubo. As leituras são arredondadas de forma independente a partir do raio exato, então um valor impresso nesta página nem sempre reproduz outro impresso ao lado dele — a resposta verdadeira pertence ao número que você informou. Exatamente um campo pode ser preenchido; dois ao mesmo tempo são recusados em vez de resolvidos silenciosamente, porque um raio de 5 e um diâmetro de 10 são a mesma bola, mas um raio de 5 e um diâmetro de 12 não são, e a página prefere dizê-lo a escolher. Nada aqui trata da espessura de uma casca oca, do material de que a bola é feita, nem do seu peso.
Perguntas frequentes
- Por que só posso preencher um campo?
- Porque os três campos descrevem a mesma bola. O raio, o diâmetro e a circunferência são uma medida vestindo três roupas diferentes — preencha qualquer um e a página conhece a bola. Preencher dois é recusado em vez de resolvido, porque um raio de 5 e um diâmetro de 10 concordam, enquanto um raio de 5 e um diâmetro de 12 não, e não há maneira honesta de a página adivinhar qual dos dois você quis dizer.
- Por que não posso informar o volume e obter o raio?
- Porque essa é outra pergunta, e ela precisa de uma raiz cúbica em vez de uma multiplicação. O mesmo vale para informar uma área, que precisa de uma raiz quadrada. As duas são coisas perfeitamente razoáveis de querer, mas são problemas separados, e esta página toma os três comprimentos como entradas para poder dar o volume e a área como respostas. Fazer o caminho inverso é uma página à parte.
- A área e a circunferência deram o mesmo número. Isso está errado?
- Não — com raio de um meio elas são genuinamente iguais. A circunferência é 2πr e a área total da superfície é 4πr², e com r = ½ isso dá π e π. Abaixo desse raio a área é menor que a circunferência e acima dele a área é maior. São grandezas de tipos diferentes, então a igualdade é uma coincidência numérica e não a afirmação de que um comprimento é igual a uma área.
- De onde vêm os quatro terços da fórmula do volume?
- Eles fazem a esfera ser exatamente dois terços do cilindro que a envolve justo. Arquimedes descobriu isso e deu tanta importância ao resultado que pediu que a esfera e o cilindro fossem gravados no seu túmulo. É também por isso que a fórmula do volume parece tão mais pesada que as de caixas e prismas: uma superfície curva não se preenche empilhando fatias planas sem o cálculo.
- Que medida devo usar numa bola que só consigo contornar?
- A circunferência. Passe uma trena em volta da parte mais larga, ponha esse número no campo da circunferência, e a página dá o diâmetro e o raio junto com o volume e a área total da superfície. É a maneira padrão de medir um tronco de árvore, um tubo, ou qualquer coisa grande ou incômoda demais para medir de um lado ao outro, e é a razão de a circunferência ser aqui uma entrada em vez de apenas mais uma leitura.
- A resposta deve ser em centímetros cúbicos ou em litros?
- A página imprime centímetros cúbicos, e a conversão é a de sempre: mil centímetros cúbicos são um litro, então um volume de 523,5988 cm³ é cerca de 0,5236 litro. Para volumes menores, um mililitro é o mesmo que um centímetro cúbico. A lista de unidades muda o que você digita, não o que sai, então se você informar um diâmetro em polegadas a resposta continuará em centímetros.
Referências
- Sphere — the three-dimensional ball, with the volume and the surface area this page computes and the two-thirds relation to the enclosing cylinder — Wolfram MathWorld (United States)
- Circle — the same measurements in two dimensions, and the page next door where a circumference is an input rather than an echo — Wolfram MathWorld (United States)
- Volume — the general treatment of what the volume output measures, including the sphere among the solids whose volume has a closed form — Wolfram MathWorld (United States)