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CalcMax

Calculadora de volume do cilindro

Intervalo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Intervalo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Resultado

113,10 cm³

Volume

Área da base
28,27 cm²
Área lateral
75,40 cm²
Área total da superfície
131,95 cm²

Uma calculadora de volume do cilindro recebe o raio da tampa circular e a altura entre as duas tampas e devolve quatro números: o volume dentro dele, a área de uma tampa, a área da superfície curva e a área total de tudo, já com as duas tampas. Uma lata de conserva, uma caixa d'água, um pilar de concreto e um rolo de fita adesiva são cilindros, e as duas medidas de que você precisa são as duas que dá para tirar com uma trena — de um lado ao outro por cima e subindo pela lateral. A aritmética são duas fórmulas. O volume é a área da tampa circular multiplicada pela altura, ou seja π vezes o raio ao quadrado vezes a altura. A área total da superfície são as duas tampas mais a superfície curva: cada tampa é π vezes o raio ao quadrado, e a lateral desenrolada é um retângulo cuja largura é a circunferência da tampa e cuja altura é a altura do cilindro, o que dá dois π vezes o raio vezes a altura. Somando tudo, fica dois π vezes o raio vezes a soma do raio com a altura. A página mostra as duas partes separadamente além do total, e isso importa mais do que parece: uma pergunta sobre quanta tinta uma caixa d'água precisa é uma pergunta só sobre a lateral, e uma pergunta sobre quanto metal as tampas gastam é uma pergunta só sobre a área da base, e uma página que só desse o total obrigaria você a desmontá-lo por conta própria. Duas das quatro saídas merecem uma segunda olhada antes de você confiar nelas. Elas estão em centímetros cúbicos e quadrados qualquer que seja a unidade em que a lista ao lado dos campos esteja — isso é uma escolha deliberada e não um descuido, já que as quatro saídas são um conjunto fixo e a tabela de referência abaixo é calculada na mesma unidade, então trocar a entrada para polegadas muda como o seu número é lido na entrada e nada sobre como a resposta é escrita. Se você mediu em polegadas, converta a resposta de volta por conta própria: divida o volume por 16,387064 e as áreas por 6,4516. E a área total da superfície é calculada a partir do raio sem arredondamento, e não a partir das duas áreas impressas acima dela, então somar a área da base impressa com a área lateral impressa pode dar um centésimo de diferença. O total impresso é o correto; a discrepância é o que acontece quando um número que nunca termina é escrito duas vezes.

Cilindros comuns e o que eles dão

Raio (cm)Altura (cm)Volume (cm³)Área da base (cm²)Área lateral (cm²)Área total da superfície (cm²)
512942.4878.54376.99534.07
34113.128.2775.4131.95
68904.78113.1301.59527.79
10103141.59314.16628.321256.64
2675.412.5775.4100.53
7.5203534.29176.71942.481295.91
113.143.146.2812.57
126.283.1412.5718.85

Oito cilindros, e a segunda linha é aquela com que a página carrega — raio 3 e altura 4, o caso mais fácil de conferir de cabeça. A primeira linha é um cilindro largo e baixo, de raio 5 e altura 12, que comporta 942,48 centímetros cúbicos, ou 0,942 L. Leia a segunda e a terceira linhas em par: o raio vai de 3 para 6 e a altura de 4 para 8, ou seja as duas dimensões dobram, e o volume vai de 113,10 para 904,78, exatamente oito vezes, enquanto as três áreas quadruplicam — é o cubo de um lado e o quadrado do outro, e é a lição mais útil da tabela. A quarta linha é a forma que todo mundo desenha, um cilindro tão alto quanto é largo, e a área lateral dela é exatamente o dobro da área da base. A quinta linha traz a coincidência que vale conhecer antes de escrever reclamando dela: com raio 2 o volume e a área lateral valem os dois 75,40, porque πr²h só é igual a 2πrh quando r é 2, seja qual for a altura. A sexta linha é um cilindro alto e fino, de raio 7,5 e altura 20, que dá 3.534,29 centímetros cúbicos, um pouco mais de três litros e meio. A sétima é o cilindro unitário, raio 1 e altura 1, em que o volume e a área da base concordam — com altura 1 o volume é a área da base vezes um, e multiplicar por um não muda nada. A oitava é o mesmo raio com a altura dobrada, o que dobra o volume de 3,14 para 6,28 e deixa a área da base igual, mostrando qual saída depende de qual entrada. Toda figura aqui é recalculada a partir do seu raio e da sua altura quando a página é construída, em centímetros, e as duas decimais são as mesmas duas decimais que o painel de resultados usa. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.

Fórmula

V = πr²h A_base = πr² A_lateral = 2πrh A_total = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)

Raio
A distância do centro de uma tampa até a borda dela, em centímetros. É metade do diâmetro, então um cilindro cotado na largura total e não do meio precisa ser dividido por dois antes. O zero é permitido e dá um cilindro sem largura, caso em que as quatro saídas são zero
Altura
A distância perpendicular entre as duas tampas circulares, em centímetros. Não é a distância por cima da superfície curva, de uma borda até a borda oposta — essa é maior, porque dá a volta em vez de subir reto, e usá-la inflaria o volume
Volume
O espaço dentro do cilindro, em centímetros cúbicos: a área de uma tampa multiplicada pela altura. Um centímetro cúbico é um mililitro, então um volume nestas unidades se converte direto em litros dividindo por mil
Área da base
A área de uma tampa circular, em centímetros quadrados, π vezes o raio ao quadrado. As duas tampas têm o mesmo tamanho, então esta é a área de qualquer uma delas e não das duas juntas
Área lateral
A área só da superfície curva, em centímetros quadrados. Desenrolada, essa superfície é um retângulo de altura h e largura 2πr, que é de onde vem a fórmula e é o jeito mais fácil de ver por que a altura e a circunferência aparecem ambas nela
Área total da superfície
As duas tampas mais a superfície curva, em centímetros quadrados. Próxima do volume mas não proporcional a ele: dobrar a altura dobra os dois, enquanto dobrar o raio multiplica o volume por quatro e a área total por menos de quatro
π
A razão entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro, cerca de 3,14159. A página usa o valor completo de precisão dupla em vez de encurtá-lo, então uma conta feita à mão com 3,14 vai divergir da resposta impressa no último dígito
Duas casas decimais
A largura com que toda saída é escrita. Duas e não quatro porque estas são medições físicas de objetos reais — um raio tirado de uma régua já é incerto por mais que a terceira decimal, então imprimir mais dígitos sugeriria uma precisão que a entrada nunca teve

A página responde a dois tipos diferentes de pergunta com as mesmas duas entradas. O primeiro é capacidade: quanto comporta um tanque, um tambor, um tubo ou uma lata. Esse é o volume, e vale saber que o volume de um cilindro cresce com o quadrado do raio, então um tanque duas vezes mais largo comporta quatro vezes mais enquanto um duas vezes mais alto comporta apenas duas vezes mais — é por isso que tanques largos ganham dos altos quando falta espaço. O segundo é material: quanto metal em chapa uma lata precisa, quanta tinta um pilar leva, quanto invólucro um rolo quer. Essas são as áreas, e a página separa as tampas da lateral porque normalmente elas vêm de fornecedores diferentes — a chapa é cortada de um estoque só, os rótulos ou a tinta vão na lateral. A área lateral é também a que surpreende as pessoas, porque desenrolar a lateral num retângulo não é óbvio antes de você fazer isso uma vez: um cilindro de raio 5 e altura 12 tem uma lateral que se desenrola num retângulo de 31,4 centímetros de largura por 12 de altura. Uma conversão vale carregar no bolso: um volume em centímetros cúbicos é um volume em mililitros, então um cilindro de 942,48 centímetros cúbicos comporta 0,942 litros, e o passo é uma divisão por mil e não nada mais interessante.

Exemplos resolvidos

  1. Um raio de 3 e uma altura de 4

    1. Área da base: π × 3 × 3 = 28,274333…, que arredonda para 28,27
    2. Volume: 28,274333… × 4 = 113,097335…, que arredonda para 113,10
    3. Área lateral: 2 × π × 3 × 4 = 75,398223…, que arredonda para 75,40
    4. Área total da superfície: 2 × 28,274333… + 75,398223… = 131,946891…, que arredonda para 131,95

    A entrada com que a página carrega. Vale ler as duas páginas de lado uma vez, porque a relação entre elas é fácil de confundir: o volume de 113,10 centímetros cúbicos é exatamente o triplo do volume que a página do cone devolve para esses mesmos dois números, 37,70 — um cone é um terço do cilindro em que se encaixa. Os 113,10 não aparecem em lugar nenhum da página do cone. O que coincide entre as duas páginas é outra coisa: a área lateral daqui, 75,40, é o mesmo número que a área total da superfície da página do cone para o mesmo par de medidas, e essa igualdade é uma coincidência daquelas dimensões, não uma relação. A conferência que dispensa calculadora: um raio de 3 dá uma tampa de cerca de 28 centímetros quadrados, e quatro dessas empilhadas dão cerca de 113.

  2. Um raio de 5 e uma altura de 12

    1. Área da base: π × 5 × 5 = 78,539816…, que arredonda para 78,54
    2. Volume: 78,539816… × 12 = 942,477796…, que arredonda para 942,48
    3. Área lateral: 2 × π × 5 × 12 = 376,991118…, que arredonda para 376,99
    4. Área total da superfície: 2 × 78,539816… + 376,991118… = 534,070751…, que arredonda para 534,07

    A linha para guardar se você só guardar uma, porque a lateral se desenrola num retângulo que dá para visualizar: 2π × 5 são 31,4159 centímetros de volta, e um retângulo de 31,4159 de largura por 12 de altura tem 376,99 centímetros quadrados, que é a área lateral. O volume em mililitros é 942,48, então este cilindro comporta um pouco menos de um litro. Dobrar a altura para 24 dobraria o volume e a área lateral, mas deixaria a área da base em 78,54, que é o jeito mais limpo de ver quais saídas escalam com qual entrada.

  3. Um raio de 10 e uma altura de 10

    1. Área da base: π × 10 × 10 = 314,159265…, que arredonda para 314,16
    2. Volume: 314,159265… × 10 = 3.141,592654…, que arredonda para 3.141,59
    3. Área lateral: 2 × π × 10 × 10 = 628,318531…, que arredonda para 628,32
    4. Área total da superfície: 2 × 314,159265… + 628,318531… = 1.256,637061…, que arredonda para 1.256,64

    Um cilindro tão alto quanto é largo, que é a forma que a maioria das pessoas desenha quando pedem para desenhar uma. O volume é mil vezes π e, como um centímetro cúbico é um mililitro, isso dá 3,14 litros. Repare que a área lateral é exatamente o dobro da área da base aqui, e que isso é consequência de h ser igual a r e não de os números serem dez: a mesma duplicação acontece em qualquer raio e altura que coincidam.

  4. Um raio de 2 e uma altura de 6

    1. Área da base: π × 2 × 2 = 12,566370…, que arredonda para 12,57
    2. Volume: 12,566370… × 6 = 75,398223…, que arredonda para 75,40
    3. Área lateral: 2 × π × 2 × 6 = 75,398223…, que arredonda para 75,40
    4. Área total da superfície: 2 × 12,566370… + 75,398223… = 100,530964…, que arredonda para 100,53

    A linha em que duas saídas são iguais: o volume e a área lateral valem os dois 75,40. Não é erro de digitação nem caso especial — igualar πr²h a 2πrh deixa r = 2 para qualquer altura, então neste raio o volume e a área lateral são o mesmo número seja qual for a altura que você escolher. As unidades não são as mesmas, cúbico contra quadrado, e a coincidência é puramente numérica. É o tipo de coisa que um leitor nota no painel de resultados e reporta, então é melhor encontrar aqui primeiro.

  5. Um raio de 1 e uma altura de 1

    1. Área da base: π × 1 × 1 = 3,141592, que arredonda para 3,14
    2. Volume: 3,141592 × 1 = 3,141592, que arredonda para 3,14
    3. Área lateral: 2 × π × 1 × 1 = 6,283185…, que arredonda para 6,28
    4. Área total da superfície: 2 × 3,141592 + 6,283185… = 12,566370…, que arredonda para 12,57

    A mesma coincidência, agora entre outro par de colunas: com altura um o volume fica igual à área da base, porque multiplicar por um não muda nada. De novo vale para qualquer raio, e de novo só os números concordam, não as unidades. Junto com a linha anterior, ela deixa uma lição que vale guardar — quando duas colunas de uma tabela batem, a primeira coisa a checar é se alguma entrada caiu por acaso num valor que força isso, e a segunda é se as duas colunas estão sequer medindo a mesma espécie de coisa. Aqui a área lateral, 6,28, é o dobro do volume, 3,14, e nada nisso é coincidência: é a razão 2h ÷ r valendo 2.

Limitações

As saídas estão sempre em centímetros cúbicos e quadrados, qualquer que seja a unidade em que a lista de entrada esteja. Escolher polegadas muda como os seus dois números são interpretados na entrada e nada sobre como a resposta é mostrada, então um cilindro informado como raio 2 e altura 3 com a lista em polegadas volta como 617,78 centímetros cúbicos e você tem de converter de volta por conta própria. Isso é deliberado e a tabela de referência segue a mesma regra, para que a página nunca se contradiga. O raio e a altura são lidos como um raio e uma altura perpendicular, e a página não tem como saber se o que você mediu foi o diâmetro ou a distância por cima da superfície curva, então os dois entram como dados e produzem uma resposta errada de aparência plausível. Duas casas decimais são uma largura de exibição e não uma afirmação sobre precisão: estas são medições de objetos reais, e o último dígito não significa nada exceto para uma entrada exata. A área total da superfície é calculada a partir do raio sem arredondamento, então somar a área da base impressa com a área lateral impressa pode diferir do total impresso em um centésimo — o total impresso é o que vale. A página supõe que o cilindro é fechado nas duas tampas; um tubo ou uma lata aberta tem menos superfície do que o número mostrado, exatamente uma área da base a menos. E ela não leva em conta a espessura da parede, então a capacidade de um tanque é o volume interno e o material necessário é a superfície externa, duas medidas que a lista de unidades não consegue expressar ao mesmo tempo.

Perguntas frequentes

De quais duas medidas eu preciso?
Do raio de uma das tampas circulares e da altura perpendicular entre as tampas. O raio é metade da largura total, então um cilindro medido por cima chega a 5 a partir de uma lata de 10 centímetros. A altura é medida subindo reto pela lateral e não por cima da superfície curva, e a diferença importa: num raio de 5 e uma altura de 12 a distância reta é 12, mas o caminho mais curto pela parte de fora é maior, e usar o maior infla o volume.
Por que a resposta está em centímetros se eu digitei em polegadas?
Porque as quatro saídas são um conjunto fixo em centímetros, escolhido para que o painel de resultados e a tabela de referência abaixo dele sempre concordem. A lista de unidades muda como os seus números são entendidos na entrada, não como a resposta é escrita. Se você precisa da resposta na sua unidade, divida o volume por 16,387064 para obter polegadas cúbicas e as três áreas por 6,4516 para obter polegadas quadradas.
Qual é a diferença entre a área lateral e a área total da superfície?
A área lateral é a superfície curva sozinha. A área total da superfície é a superfície curva mais as duas tampas circulares. Para um cilindro fechado a total é a que você quer; para um tubo, um tambor aberto ou qualquer coisa sem tampas, a lateral é a que você quer. A página imprime as duas, além da área da base, para que uma pergunta sobre as tampas possa ser respondida sem subtrair nada.
Como faço para transformar o volume em litros?
Divida por mil. Um centímetro cúbico é um mililitro e mil mililitros fazem um litro, então um volume de 942,48 centímetros cúbicos são 0,942 litros. A conversão é exata nos dois sentidos e é a razão de esta página não precisar de um modo de capacidade separado — o mililitro foi definido como um centímetro cúbico, para começar.
Por que o volume e a área lateral dão o mesmo número?
Só quando o raio é 2. Igualar o volume πr²h à área lateral 2πrh e cancelar deixa r = 2, qualquer que seja a altura, então nesse raio as duas colunas batem em toda linha. A mesma coisa acontece entre o volume e a área da base quando a altura é 1. As duas figuras são iguais apenas em valor: uma é um volume e a outra é uma área, e são medidas em unidades diferentes.
A página serve para um tubo ou uma lata aberta?
Para o volume e para a área lateral, sim, e são essas as duas figuras de que um tubo ou uma lata aberta realmente precisam. A área total da superfície supõe que as duas tampas estão fechadas, então para um recipiente aberto subtraia dela uma área da base. Nada na página sabe de espessura de parede, então a capacidade de um tanque é uma medida interna e o material dele é uma medida externa, e as duas precisariam de raios diferentes.

Referências

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