Calculadora de volume da esfera
Resultado
Volume
A calculadora de volume da esfera recebe uma medida de uma bola — o raio, o diâmetro ou a circunferência — e devolve quanto espaço ela ocupa, em centímetros cúbicos. É a página da esfera ao lado com todo o resto retirado. Aquela recebe as mesmas três entradas e responde cinco perguntas de uma vez; esta responde a que as pessoas de fato trazem, que é quanto uma bola comporta, desloca ou consome de material. A fórmula é quatro terços vezes π vezes o raio ao cubo, e vale parar um momento na forma dela. Quase toda fórmula de volume deste grupo é uma base multiplicada por uma altura, porque quase todo sólido deste grupo pode ser fatiado em camadas planas que se empilham. Uma esfera não pode. As camadas dela mudam de tamanho a cada altura, as fatias perto do meio são largas e as perto dos polos são mínimas, e somá-las é para isso que o cálculo foi inventado. Os quatro terços são o resultado dessa soma, e a maneira satisfatória de guardá-lo é que ele faz a bola ser exatamente dois terços do menor cilindro que caberia em volta dela. Arquimedes chegou a esse resultado e pediu que a esfera e o cilindro fossem gravados no seu túmulo. A outra coisa que vale saber é a velocidade com que esse número cresce. O volume acompanha o cubo do raio, então dobrar o tamanho de uma bola multiplica o volume por oito e triplicá-lo multiplica por vinte e sete. É por isso que uma pequena mudança no diâmetro provoca uma grande mudança no que um tanque comporta, e por isso a resposta aqui pode ficar muito grande muito rápido.
O espaço que uma bola ocupa, informada por cada uma das três medidas
| Informado como | Raio (cm) | Diâmetro (cm) | Volume (cm³) |
|---|---|---|---|
| r | 5 | 10 | 523.5988 |
| d | 6 | 12 | 904.7787 |
| C | 3.1831 | 6.3662 | 135.0949 |
| r | 10 | 20 | 4188.7902 |
| r | 1 | 2 | 4.1888 |
| r | 0.5 | 1 | 0.5236 |
| r | 0 | 0 | 0 |
| d | 50 | 100 | 523598.7756 |
Oito bolas e quatro colunas — duas colunas menos que a página da esfera ao lado, que recebe as mesmas três entradas e ainda dá a área total da superfície e a circunferência. A primeira coluna diz qual caixa foi preenchida, e sem ela a tabela não se leria, já que o raio e o diâmetro aparecem em toda linha. A primeira linha é a bola com que a página carrega, e a quarta é uma das que vale comparar com ela: um raio de 5 contra um raio de 10, em que o raio dobrou e o volume foi de 523,5988 para 4188,7902 — oito vezes, que é a lei do cubo em um passo. A terceira linha é a que se deve ler se você pretende fazer isto à mão: informada como uma circunferência de 20, o volume é 135,0949, enquanto elevar ao cubo o raio arredondado de 3,1831 impresso ao lado dá 135,0950. A quinta linha é a bola unitária, em que o volume é 4π/3 e a área total da superfície da página da esfera para a mesma bola é 4π — um terço dela, numericamente. A sétima linha é um raio de zero, em que a bola não comporta nada e a resposta é real e não faltante. A última linha é um diâmetro de 100, em que o volume passa de meio milhão de centímetros cúbicos — meio metro cúbico de bola, e um lembrete da velocidade com que esta grandeza sai da faixa das unidades do dia a dia. Cada número aqui é recalculado a partir da sua entrada quando a página é construída, em centímetros, e as quatro casas decimais são as mesmas quatro casas decimais que o painel de resultados usa. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.
Fórmula
V = 4⁄3 × πr³ r = d ÷ 2 r = C ÷ 2π
- Raio
- A distância do centro até a superfície, em centímetros. O único número de que o volume é de fato feito — as outras duas caixas são apenas outras maneiras de chegar até ele
- Diâmetro
- A distância em linha reta passando pelo meio, em centímetros, que a página divide por dois para obter o raio. A caixa a usar quando a bola está na sua frente e uma régua atravessada é a medida mais fácil de tirar
- Circunferência
- A distância em volta da parte mais larga, em centímetros, que a página divide por 2π para obter o raio. A caixa a usar quando uma trena por fora é tudo o que você consegue fazer
- Volume
- Quanto espaço a bola ocupa, em centímetros cúbicos. A única saída da página, e a única grandeza aqui que cresce com o cubo do tamanho em vez de crescer com o próprio tamanho
- 4⁄3 πr³
- A fórmula, e os quatro terços são a parte que significa algo. Eles fazem a bola ser dois terços do cilindro que a contém justo, o que é um fato sobre esferas e não um capricho da aritmética
- r³
- O raio ao cubo, e a razão de esta página conseguir números grandes a partir de entradas modestas. Dobrar o raio multiplica o volume por oito, e isso vale igualmente para uma bolinha de gude ou para um planeta
- Quatro casas decimais
- A largura com que a leitura é escrita. O volume carrega sempre um π e um cubo, então nunca é exato a menos que o raio seja zero — as quatro casas são uma largura de exibição e não uma afirmação sobre precisão
Esta página é para capacidade, deslocamento e material, que juntos cobrem quase tudo o que alguém quer de uma bola. Capacidade: quanto comporta um tanque esférico, um gasômetro ou uma caixa d'água, quanto ar há numa bola de futebol, quanto sorvete sai de uma colher. Deslocamento: quanta água um flutuador ou um casco empurra para o lado, o que é o mesmo que o volume dele e é o que decide se ele flutua e quanto consegue carregar. Material: quanto aço há numa esfera de rolamento, quanto concreto num enchimento em forma de cúpula, quanto pesa uma bola de massa ou de argila depois que você sabe a densidade. É também a forma de muitas coisas que são apenas aproximadamente esféricas, e a aproximação costuma bastar: um ovo, uma gota, uma pedra de granizo, um planeta levemente achatado no equador. E há o uso inverso: dado um volume que um recipiente precisa comportar, esta é a página que diz qual teria de ser o tamanho da esfera, já que entre os dois só existe uma raiz cúbica.
Exemplos resolvidos
Uma bola de raio 5
- Eleve o raio ao cubo: 5³ = 125
- Multiplique por π e por quatro terços: (4 ÷ 3) × π × 125 = 500π ÷ 3
- 500π ÷ 3 = 523,5987…, que arredonda para 523,5988
A entrada com que a página carrega, e a linha para conferir a fórmula: o volume é 500π/3, então tudo aqui é um múltiplo exato de π. Cinco centímetros é um pouco menor que uma bola de tênis, e a resposta — um pouco mais de meio litro — é útil de ter na memória, porque é o tipo de quantidade com que uma receita ou um recipiente pequeno lida.
Uma bola de diâmetro 12
- Raio: 12 ÷ 2 = 6
- Eleve o raio ao cubo: 6³ = 216
- Multiplique por π e por quatro terços: (4 ÷ 3) × π × 216 = 288π
- 288π = 904,7786…, que arredonda para 904,7787
A entrada a usar quando a bola está nas suas mãos, já que o diâmetro é o que uma régua atravessada no meio dá e é como a maioria das bolas é especificada. A resposta é 288π, de novo um múltiplo exato de π, o que acontece sempre que o raio dá um número inteiro. Compare com a linha acima: o raio cresceu um quinto, de 5 para 6, e o volume cresceu mais de dois terços, de 523,5988 para 904,7787.
Uma bola medida em volta do equador
- Raio: 20 ÷ (2π) = 3,1830988…
- Eleve o raio ao cubo: 3,1830988…³ = 32,2519…
- Multiplique por π e por quatro terços: (4 ÷ 3) × π × 32,2519… = 4.000 ÷ 3π²
- 4.000 ÷ 3π² = 135,0948…, que arredonda para 135,0949
A linha a ler se você pretende fazer esta aritmética sozinho, porque é onde arredondar cedo dá errado. A página da esfera imprime o raio desta bola como 3,1831, que parece preciso e não é: eleve isso ao cubo e multiplique, e você obtém 135,0950. A página informa 135,0949 e a página está certa, porque a resposta verdadeira pertence ao 20 que você digitou e não ao raio arredondado em exibição. Os dois diferem no último dígito e em nada mais, que é exatamente o tipo de erro que sobrevive a uma conferência de sanidade.
Uma bola de raio um
- Eleve o raio ao cubo: 1³ = 1
- Multiplique por π e por quatro terços: (4 ÷ 3) × π × 1 = 4π ÷ 3
- 4π ÷ 3 = 4,18879…, que arredonda para 4,1888
A bola unitária, e a linha que mostra o que os quatro terços de fato são: o volume é 4π/3, e a área total da superfície que a página da esfera imprime para a mesma bola é 4π. O volume é um terço da área em termos numéricos, o que é uma coincidência de o raio ser um e não uma regra geral — mas é um par de números conveniente de guardar, e faz as duas fórmulas ficarem fáceis de distinguir.
Uma bola de raio zero
- Eleve o raio ao cubo: 0³ = 0
- Multiplique por π e por quatro terços: (4 ÷ 3) × π × 0 = 0
Uma bola sem tamanho é um ponto e não comporta nada. Zero é uma entrada legítima e não um campo vazio, então esta é uma resposta de verdade — a página a distingue de deixar as três caixas em branco, o que não mostra resultado algum porque não há de onde partir.
Limitações
A página é para esferas apenas: todo ponto da superfície à mesma distância do centro. Um ovo, uma bola de rúgbi ou um planeta levemente achatado não são esferas, e um hemisfério também não — ele é uma esfera cortada ao meio e comporta exatamente metade do que se calcula aqui, embora a área da superfície dele não seja metade. O volume não pode ser informado, então uma bola especificada por quanto comporta precisa ser convertida em raio em outro lugar antes. A leitura é em centímetros cúbicos qualquer que seja a unidade escolhida na lista, então um diâmetro informado em polegadas volta como uma resposta em centímetros que você precisa converter — e, como isto é um volume, a conversão é um cubo: polegadas cúbicas para centímetros cúbicos é um fator de cerca de 16,4, não 2,54. Quatro casas decimais é uma largura de exibição e não uma afirmação sobre precisão, já que o volume carrega sempre um π e um cubo. Exatamente uma caixa pode ser preenchida; duas ao mesmo tempo são recusadas em vez de resolvidas silenciosamente. Nada aqui trata da espessura da parede de uma casca oca, do material de que a bola é feita, nem do peso dela, e a página não dá área de superfície alguma — a página da esfera ao lado imprime essa informação junto com o volume para as mesmas três entradas.
Perguntas frequentes
- Qual é a diferença em relação à calculadora de esfera?
- As entradas são idênticas — as mesmas três caixas, a mesma regra de preencher exatamente uma. A diferença está no que volta. A página da esfera imprime cinco leituras: o volume, a área total da superfície e os três comprimentos. Esta imprime o volume e nada mais, porque é o que as pessoas costumam vir buscar, e retirar o resto faz dele a única coisa na tela.
- Por que o volume cresce tanto mais rápido que o diâmetro?
- Porque ele acompanha o cubo do raio, enquanto o diâmetro acompanha o próprio raio. Dobre o diâmetro de uma bola e o volume dela sobe oito vezes; triplique e o volume sobe vinte e sete vezes. É por isso que uma pequena mudança no tamanho de um tanque provoca uma grande mudança no que ele comporta, e por isso a resposta aqui pode ficar muito grande a partir de uma entrada de aparência modesta.
- De onde vêm os quatro terços?
- Eles fazem a bola ser exatamente dois terços do menor cilindro que caberia em volta dela — mesmo raio, e altura de duas vezes o raio. Arquimedes provou isso e pediu que a esfera e o cilindro fossem gravados no seu túmulo. É também a razão de a fórmula carregar uma fração: uma esfera não é uma pilha de camadas planas, e o cálculo que soma as camadas curvas dela é o que produz os quatro terços.
- Minha conta dá 135,0950, mas a página diz 135,0949. Qual está certa?
- A página. O raio daquela bola é 10/π, que é 3,1830988…, e o raio impresso na tela está arredondado para 3,1831. Elevar a figura arredondada ao cubo é o que produz o 135,0950 — a diferença está no último dígito e vem inteiramente de arredondar cedo. A resposta verdadeira pertence ao número que você digitou, e a página mantém o raio exato internamente até o final.
- Consigo obter o raio a partir de um volume?
- Não nesta página — o volume é uma saída, não uma entrada. É perfeitamente possível, já que o raio é a raiz cúbica de três vezes o volume dividido por quatro π, mas é outra operação e a página não a faz. Se você sabe quanto um recipiente precisa comportar e quer saber o tamanho da bola correspondente, essa é a conta a fazer separadamente.
- A resposta deveria ser em litros?
- A página imprime centímetros cúbicos, e mil deles formam um litro — então 523,5988 cm³ são cerca de 0,524 litro, e um mililitro é o mesmo que um centímetro cúbico. Para esferas maiores os números crescem rápido: uma bola de um metro de diâmetro comporta mais de meio metro cúbico, o que é mais de quinhentos litros. A lista de unidades muda o que você digita, não o que sai.
Referências
- Sphere — the ball itself, with the volume formula this page computes and the two-thirds relation to the cylinder that just contains it — Wolfram MathWorld (United States)
- Volume — what a volume is in general and how it is defined for a curved solid, which is the part of the sphere that cannot be reached by stacking flat slices — Wolfram MathWorld (United States)
- Cylinder — the solid a sphere fits inside, whose volume the sphere takes exactly two thirds of, and the shape most nearly comparable to it — Wolfram MathWorld (United States)