Calculadora de volume do cone

V = πr²h ÷ 3 l = √(r² + h²) Área lateral = πrl Área total da superfície = πr(l + r)

r

O raio da base circular, em centímetros. Obrigatório, e o zero é permitido: um cone de raio zero é um segmento vertical em pé sobre um ponto

h

A altura perpendicular, do centro da base direto para cima até o vértice, em centímetros. Obrigatória, e não é a geratriz — os dois são números diferentes em todo cone, exceto no caso degenerado em que a altura é zero

l

A geratriz, a distância do vértice pela lateral até a borda. É a hipotenusa do triângulo formado pelo raio, pela altura e pela lateral, então é sempre maior que qualquer um dos dois. É a única das quatro saídas que costuma ser exata, já que um raio e uma altura inteiros podem dar uma geratriz inteira

V

O volume em centímetros cúbicos, um terço da área da base multiplicado pela altura. Esse terço é toda a diferença entre esta página e a do cilindro, onde a mesma expressão não tem divisor

Área lateral

A área só da superfície curva, π vezes o raio vezes a geratriz. Não inclui a base. Repare que ela usa a geratriz e não a altura, que é o erro de substituição mais comum nesta forma

Área total da superfície

A superfície curva mais a base circular, o que simplifica para π vezes o raio vezes a soma da geratriz com o raio. É calculada a partir do raio e da geratriz em um passo só, em vez de somar as duas áreas, então não é sempre a área lateral na tela mais πr²

Duas casas decimais

A largura com que toda saída é escrita. O volume e as duas áreas são irracionais para quase toda entrada; a geratriz é exata sempre que o raio e a altura formam um triângulo pitagórico, que é a razão de os valores padrão da página darem zeros no fim

Os trabalhos óbvios são aqueles em que você tem um cone na frente e precisa de um número sobre ele. Uma pilha cônica de brita ou de grãos, em que dá para medir a largura da base e a altura, mas a geratriz está enterrada dentro do material. Um telhado cônico ou uma torre, em que a superfície inclinada é o que precisa ser coberto e a geratriz é o número pelo qual o serviço é cobrado. Um funil, um silo, um copo de papel, um chapéu de festa — o volume diz o que cabe ali e a área lateral diz quanto material é preciso para fabricar, e essas são duas perguntas diferentes com duas respostas diferentes na mesma página. A terceira pergunta que a página responde é a comparativa. Escolher entre um cone e um cilindro é uma decisão de verdade em recipientes e em armazenagem, e a comparação é sempre o mesmo fator três: o cilindro de mesma base e mesma altura comporta exatamente o triplo, então um silo cônico de uma dada pegada comporta um terço do que comporta um cilíndrico. Dois hábitos valem a pena. A geratriz é sempre o maior dos três comprimentos do triângulo da lateral, então uma geratriz que sai menor que a altura significa que as duas caixas foram preenchidas trocadas — a geratriz é a que se mede por fora, e não pode ser a menor. E a área lateral é sempre menor que a área total da superfície, já que a total é a lateral mais a base, então uma total menor que a lateral é sinal de que algo foi subtraído em vez de somado.

1. Um raio de três e uma altura de quatro

   1. Geratriz: √(3² + 4²) = √25 = 5
   2. Volume: π × 3² × 4 ÷ 3 = π × 36 ÷ 3 = 12π = 37,6991…, que arredonda para 37,70
   3. Área lateral: π × 3 × 5 = 15π = 47,1239…, que arredonda para 47,12
   4. Área total da superfície: π × 3 × (5 + 3) = 24π = 75,3982…, que arredonda para 75,40

   A entrada com que a página carrega, e a única deste conjunto em que cada passo pode ser feito de cabeça: três e quatro dão uma hipotenusa de exatamente cinco, então a geratriz é um número inteiro e as duas áreas são múltiplos inteiros de π. Repare na aritmética do volume — a área da base é nove π e um terço disso vezes quatro dá doze π, que é a razão de a resposta ficar um pouco abaixo de trinta e oito em vez de um pouco acima de cem. Um cone deste tamanho comporta cerca de trinta e oito mililitros, o que é útil saber quando um resultado parece errado por um fator de três.

2. Um raio de cinco e uma altura de doze

   1. Geratriz: √(25 + 144) = √169 = 13
   2. Volume: π × 25 × 12 ÷ 3 = 100π = 314,1592…, que arredonda para 314,16
   3. Área lateral: π × 5 × 13 = 65π = 204,2035…, que arredonda para 204,20
   4. Área total da superfície: π × 5 × (13 + 5) = 90π = 282,7433…, que arredonda para 282,74

   O outro triângulo pitagórico conhecido, e um cone mais alto e mais estreito que o padrão. Repare em como o volume chega perto de um número redondo: cem π são 314,16 centímetros cúbicos, ou seja 0,314 L — um pouco menos de um terço de litro, que é a conversão a conferir aqui, e não um litro inteiro. O cone desta página que chega perto de um litro é o quarto da tabela abaixo, de raio dez e altura dez, com 1.047,20 centímetros cúbicos, ou 1,047 L. A coincidência com π continua valendo como conferência: cem π centímetros cúbicos são cem vezes o volume de um cubo de um centímetro multiplicado por π, e o número na tela deve ficar um pouco acima de trezentos.

3. Um raio de seis e uma altura de oito, em que duas respostas coincidem

   1. Geratriz: √(36 + 64) = √100 = 10
   2. Volume: π × 36 × 8 ÷ 3 = 96π = 301,5928…, que arredonda para 301,59
   3. Área lateral: π × 6 × 10 = 60π = 188,4955…, que arredonda para 188,50
   4. Área total da superfície: π × 6 × (10 + 6) = 96π = 301,5928…, que arredonda para 301,59

   A linha da tabela abaixo que costuma ser reportada como erro. O volume e a área total da superfície são o mesmo número, 301,59, e isso é aritmética e não uma coluna duplicada: o volume dá 96π e a área total da superfície também dá 96π, porque com geratriz dez a expressão πr(l + r) vira π × 6 × 16, que é o mesmo noventa e seis π da fração do volume. Os dois não são a mesma espécie de grandeza — um é centímetro cúbico e o outro é centímetro quadrado —, então a coincidência está nos dígitos e em nenhum outro lugar. Ela acontece porque este cone em particular tem geratriz igual a oito somada ao raio e um raio e uma altura que formam um triângulo pitagórico; não é uma regra, e as linhas vizinhas não a compartilham.

4. Um raio igual à altura

   1. Geratriz: √(100 + 100) = √200 = 14,1421…, que arredonda para 14,14
   2. Volume: π × 100 × 10 ÷ 3 = 1.000π ÷ 3 = 1.047,1975…, que arredonda para 1.047,20
   3. Área lateral: π × 10 × 14,14214 = 444,2883…, que arredonda para 444,29
   4. Área total da superfície: π × 10 × (14,14214 + 10) = 758,4479…, que arredonda para 758,45

   Um cone tão alto quanto é largo no raio da base, o que torna o triângulo isósceles e faz a geratriz ser exatamente o raio multiplicado pela raiz quadrada de dois. Essa raiz é irracional, então este é o caso comum: uma geratriz que não termina e duas áreas que a acompanham. É também o caso em que a fórmula do volume é mais fácil de ler — mil π sobre três — e em que quem esqueceu o terço cai em 3.141,59, que é exatamente o triplo do certo. O fator três é o erro mais comum desta página.

5. Uma altura de zero

   1. Geratriz: √(16 + 0) = 4, que é o raio, porque o vértice não foi levantado nada
   2. Volume: π × 16 × 0 ÷ 3 = 0, já que não há altura para dar volume algum
   3. Área lateral: π × 4 × 4 = 16π = 50,2655…, que arredonda para 50,27
   4. Área total da superfície: π × 4 × (4 + 4) = 32π = 100,5310…, que arredonda para 100,53

   Uma entrada legal que produz uma linha surpreendente: o volume é zero e as outras três respostas não são. Um cone de altura zero é um disco chato — não há nada acima da base, então ele não comporta nada, mas a superfície curva não desapareceu, ela se achatou num segundo disco do mesmo tamanho da base, e a área total das duas faces é o dobro de um disco só. Vale ver isso uma vez, porque um volume zero com três respostas não nulas ao lado parece um cálculo que falhou pela metade e não é. É também a entrada que pega o atalho aritmético descrito acima: a área total da superfície aqui é πr² + πr², que é exatamente a área lateral dobrada, e uma página que somasse as duas acertaria nesta linha e erraria na primeira.

Toda saída está em centímetros, centímetros quadrados e centímetros cúbicos, qualquer que seja a unidade escolhida nas listas. Escolher polegadas muda como os seus números são lidos na entrada e nada sobre os resultados, então um cone informado como quatro por seis polegadas volta com um volume em centímetros cúbicos. Isso é deliberado e a tabela de referência segue a mesma convenção, mas significa que a resposta precisa ser convertida se você a queria na unidade que digitou. O volume é informado em centímetros cúbicos e não em litros ou mililitros, que são outra unidade da mesma grandeza; se você precisa de litros, divida por mil, e se precisa de mililitros, o número de centímetros cúbicos é o número de mililitros. Três das quatro respostas contêm π e são portanto irracionais para quase toda entrada, então duas casas decimais são um corte e não uma resposta completa. As quatro respostas são calculadas a partir do seu raio e da sua altura diretamente e nunca uma a partir da outra, então a área total da superfície não é sempre a área lateral da tela mais a área da base da tela — é a mesma expressão avaliada em um passo, e reconstruí-la a partir da área lateral impressa pode diferir no último dígito. Esta página recebe duas medidas e dá quatro; ela não trabalha de trás para a frente, de um volume para um raio, e não tem caixa para a geratriz, então um cone cuja geratriz você consegue medir mas cuja altura está enterrada no material não pode ser informado aqui como está. A altura é a altura perpendicular e não a geratriz, e a página não tem como saber que as duas foram confundidas — alimentar uma geratriz na caixa da altura dá quatro respostas internamente coerentes e todas erradas. Pelo menos uma das duas entradas precisa ser diferente de zero para uma resposta com sentido, embora as duas possam ser zero se o que você quer é a aritmética e não o sólido. Por fim, este é o cone circular reto, com o vértice diretamente acima do centro da base; um cone inclinado para um lado, ou um cuja base seja uma elipse, é um sólido diferente e as fórmulas daqui não se aplicam a ele.

Por que o volume é dividido por três?

Porque um cone comporta exatamente um terço do que comporta um cilindro sobre a mesma base com a mesma altura. Pegue a área da base, multiplique pela altura, e você tem o volume desse cilindro; o cone é um terço dele. A mesma relação vale entre uma pirâmide e o prisma em que ela caberia, e é o fator mais esquecido deste cálculo — um resultado três vezes maior é quase sempre uma divisão por três que faltou, e não um escorregão de aritmética.

A altura é a mesma coisa que a geratriz?

Não, e este é o erro que esta forma mais convida a cometer. A altura é medida em linha reta, do centro da base até o vértice. A geratriz é medida ao longo da superfície, do vértice até a borda, então ela é a hipotenusa do triângulo formado pelo raio, pela altura e pela lateral, e é sempre maior que qualquer um dos outros dois. O volume usa a altura. A área lateral usa a geratriz. Confundir as duas produz uma resposta errada por um fator que depende de quão alto é o cone, e a página não tem como detectar isso.

Como faço para achar a geratriz?

Ela é a raiz quadrada do raio ao quadrado mais a altura ao quadrado, que é o teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo da lateral do cone. Um raio de três e uma altura de quatro dão uma geratriz de exatamente cinco, e é por isso que são esses os números com que a página carrega: cada passo é conferível de cabeça. A maioria dos pares de números não fecha tão arrumado, e a geratriz é então um número irracional arredondado para duas casas decimais.

Por que a área total da superfície não é simplesmente a área lateral mais a base?

Na aritmética exata ela é, e a página usa a forma combinada πr(l + r) em vez de somar duas peças já arredondadas separadamente. A diferença aparece nos dígitos impressos: a área lateral é arredondada para duas casas antes de você vê-la, então somá-la você mesmo à área da base pode cair a um centésimo de distância da resposta que a página dá. O número da página é o calculado a partir do raio e da geratriz em um passo só, e é nele que se deve confiar.

Por que a resposta está em centímetros se eu digitei em polegadas?

Porque esta página informa tudo em centímetros, centímetros quadrados e centímetros cúbicos independentemente das listas de unidade, para que os resultados e a tabela de referência logo abaixo deles sempre concordem. A lista muda como o seu número é entendido na entrada. Para converter, divida o comprimento por 2,54, as áreas por 6,4516 e o volume por 16,3871; ou deixe a conversão para o fim e mude a unidade da resposta, o que costuma dar menos trabalho.

O raio ou a altura podem ser zero?

Podem, e os dois dão respostas reais em vez de vazias. Pôr a altura em zero achata o cone num disco: o volume é zero porque não há nada acima da base, mas a superfície curva simplesmente virou um segundo disco, então a área lateral fica igual à área da base e a área total da superfície é o dobro dela. Pôr o raio em zero colapsa o cone num segmento vertical: o volume e as duas áreas são zero, enquanto a geratriz fica igual à altura. Pôr os dois em zero dá zero em tudo.

• Cone — the solid formed by a circular base and an apex, with the volume one third of the base area times the height and the lateral area πrl, both of which this page evaluates; the entry traces the one-third result to Eudoxus, with later proofs by Archimedes in On the Sphere and Cylinder and by Euclid in Elements XII.10 — Wolfram MathWorld (United States)
• Pythagorean theorem — the relation that gives the slant height from the radius and the perpendicular height, since those two are the legs of the right triangle down the side of the cone — Wolfram MathWorld (United States)
• Pi — the constant in the volume and the two areas, and the reason three of the four answers on this page are irrational for almost every input — Wolfram MathWorld (United States)