Calculadora de área superficial
Resultado
Área total da superfície
Uma calculadora de área superficial dá a área total do lado de fora de um sólido: quanto material seria preciso para revesti-lo, quanta tinta seria preciso para pintá-lo, quanto papelão seria preciso para encaixotá-lo. Escolha a forma e dê a ela as medidas que ela lê — um raio para uma esfera, um raio e uma altura para um cone ou um cilindro, um comprimento, uma largura e uma altura para uma caixa retangular — e a página devolve um número em centímetros quadrados. As quatro formas daqui são as que cobrem quase toda pergunta de escola e de oficina. Uma esfera é quatro π vezes o raio ao quadrado. Um cone é π vezes o raio vezes o raio mais a geratriz, em que a geratriz é a distância reta do vértice até a borda e vem de Pitágoras sobre o raio e a altura. Um cilindro é duas π vezes o raio vezes o raio mais a altura, que são os dois círculos das pontas mais o lado curvo desenrolado. Um prisma retangular é duas vezes a soma dos três pares de faces: comprimento vezes largura, comprimento vezes altura, largura vezes altura. Quatro formas, quatro fórmulas, e as tabelas de referência abaixo dizem qual é qual. O que é preciso saber antes de começar é que os quatro campos de comprimento ficam todos na tela ao mesmo tempo e continuam preenchidos quando você troca de forma. Isso é uma escolha deliberada e não um descuido — um formulário que escondesse os campos que uma forma não usa teria de mover as caixas debaixo das suas mãos cada vez que você mudasse de ideia, e um formulário que os mantivesse mas os ignorasse descartaria silenciosamente um número que você havia digitado. Então a página mantém cada campo onde está e lê apenas os que a forma escolhida precisa, e a regra de quais são eles é simples: uma esfera lê o raio e nada mais, um cone e um cilindro leem o raio e a altura, e o prisma retangular lê o comprimento, a largura e a altura. O campo do raio não é lido pelo prisma e os campos de comprimento e largura não são lidos pelas outras três, e o valor que estiver num campo não lido não muda nada na resposta. As tabelas de referência tornam isso concreto, porque a coluna da fórmula delas diz qual linha usou qual fórmula. Mais uma coisa que vale saber: a resposta é em centímetros quadrados independentemente da unidade em que as listas estão, que é a regra fixa desta leva e vale para todas as páginas em volta desta.
Sólidos redondos alcançados a partir de um raio e uma altura
| Fórmula | Raio (cm) | Altura (cm) | Área da superfície (cm²) |
|---|---|---|---|
| 4πr² | 3 | — | 113.1 |
| 4πr² | 5 | — | 314.16 |
| πr(r + l) | 3 | 4 | 75.4 |
| πr(r + l) | 5 | 12 | 282.74 |
| 2πr(r + h) | 3 | 4 | 131.95 |
| 2πr(r + h) | 5 | 12 | 534.07 |
| 4πr² | 1 | — | 12.57 |
| 2πr(r + h) | 1 | 2 | 18.85 |
Oito linhas cobrindo a esfera, o cone e o cilindro. A primeira coluna é o ponto inteiro da tabela: uma vez resolvida a forma, não sobra nada na linha que diga qual sólido era, então a fórmula faz o papel do nome da forma. Ela também faz algo que um nome de forma não poderia, que é dizer qual dos dois outros números da linha foi de fato usado — as duas linhas da esfera têm um travessão na coluna da altura porque uma esfera não tem altura e o campo não é lido de forma alguma. As duas primeiras linhas são a esfera com raios 3 e 5, e a razão entre elas vale ser conferida: cinco terços ao quadrado dá cerca de 2,78, e 113,1 vezes 2,78 dá 314,16, que é a segunda linha. A área acompanha o quadrado do raio, nunca o raio. A terceira linha é o cone 3-4-5 cuja geratriz dá exatamente 5, e a quinta linha é a entrada padrão da própria página do cilindro: raio 3, altura 4, área da superfície 131,95, o mesmo número que aquela página imprime como total dela. A sétima linha é uma esfera de raio 1 com 12,57 centímetros quadrados, que é 4π e é o único número da tabela que é uma constante familiar em vez de uma medida. A oitava é um cilindro de raio 1 e altura 2 com 18,85, que é 6π. Cada número aqui é recalculado a partir do seu raio e da sua altura quando a página é construída, em centímetros, e os travessões são impressos como estão. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.
Caixas retangulares alcançadas a partir de um comprimento, uma largura e uma altura
| Comprimento (cm) | Largura (cm) | Altura (cm) | Área da superfície (cm²) |
|---|---|---|---|
| 5 | 4 | 4 | 112 |
| 1 | 2 | 3 | 22 |
| 2 | 2 | 2 | 24 |
| 10 | 10 | 10 | 600 |
| 0.5 | 0.5 | 0.5 | 1.5 |
| 3 | 4 | 0 | 24 |
Seis caixas, e a primeira linha é a com que a página carrega quando o prisma retangular está selecionado. A segunda linha é a menor caixa de números inteiros, um por dois por três, com 22 centímetros quadrados — a aritmética ali é curta o bastante para fazer de cabeça, o que a torna a linha para conferir a fórmula: 2 × (2 + 3 + 6) = 22. A terceira linha é um cubo de dois centímetros de lado com 24, e a sexta é uma folha chata de três por quatro com altura zero, também com 24. O par é a coisa mais útil desta tabela, porque os dois sólidos não se parecem em nada e compartilham um número: o cubo tem seis faces de quatro, e a folha tem duas faces de doze e quatro que colapsaram. Uma área de superfície sozinha não determina uma forma, e esta é a demonstração mais barata disso. A quarta linha é um cubo de dez centímetros de lado com 600 centímetros quadrados, que é o tamanho da caixa em que chega uma resma de papel, e a quinta é meio centímetro de lado, onde as casas decimais começam a importar. Todo número é exato, já que a fórmula do prisma não tem π, e os seis são recalculados quando a página é construída. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.
Fórmula
Esfera: S = 4πr² Cone: S = πr(r + l), l = √(r² + h²) Cilindro: S = 2πr(r + h) Prisma retangular: S = 2(lw + lh + wh)
- Forma
- Qual sólido você está revestindo. É ela que decide qual das quatro fórmulas roda e, portanto, quais dos campos de comprimento abaixo são sequer lidos — uma esfera usa o raio sozinho, enquanto o prisma retangular usa o comprimento, a largura e a altura e ignora o raio por completo
- r
- O raio, em centímetros: a distância do centro da esfera até a superfície dela, ou do centro da face circular até a borda no caso de um cone ou de um cilindro. Lido por três das quatro formas e ignorado pelo prisma retangular
- h
- A altura, em centímetros: a distância perpendicular da base até a face oposta num prisma retangular, ou da base até o vértice num cone, ou entre as duas faces circulares num cilindro. Ignorada pela esfera, que não tem altura
- l
- Duas coisas diferentes, e é o único ponto em que esta página pede que você leia com atenção. Na fórmula do cone ela é a geratriz, a distância reta do vértice descendo pelo lado até a borda, obtida a partir do raio e da altura por Pitágoras. Na fórmula do prisma ela é o comprimento da caixa. A coluna da fórmula na tabela de referência diz qual linha é qual
- lw, w e as outras letras
- As três dimensões do prisma retangular em centímetros: comprimento, largura e altura. O prisma tem seis faces em três pares, e cada par é um dos três produtos, e é por isso que a fórmula dobra a soma deles em vez de somar seis termos separados
- π
- A razão entre a circunferência de um círculo e o diâmetro dele, cerca de 3,14159. Aparece em três das quatro fórmulas e não na do prisma, e é por isso que a área total da superfície de uma caixa costuma ser um número exato enquanto a de uma esfera quase nunca é
- Centímetros quadrados
- A unidade da resposta, sempre, seja qual for a unidade em que as listas estão. Área total da superfície é uma grandeza bidimensional, então a unidade é a unidade de entrada elevada ao quadrado — um raio em centímetros dá uma área em centímetros quadrados, e não há passo cúbico nenhum nesta página
- Duas casas decimais
- A largura com que a resposta é escrita. Duas em vez de quatro porque estas são medidas de objetos e não coordenadas num plano: um raio tirado de uma régua já está incerto por mais que a terceira casa decimal
Na maior parte das vezes a pergunta é sobre material, e a forma diz qual fórmula você quer. Uma bola, um globo ou um balão é uma esfera e a pergunta costuma ser quanta fazenda ou quanta tinta a cobre. Um chapéu de festa, um funil ou um monte de areia cônico é um cone, e a geratriz é a medida que as pessoas esquecem — não é a altura do cone, e sim a distância descendo pelo lado dele, e um cone de raio 3 e altura 4 tem geratriz exatamente 5, que é Pitágoras na sua menor forma de números inteiros. Uma lata, um tubo ou um pilar é um cilindro, e a fórmula lá é a que se pode deduzir em vez de decorar: duas pontas de πr² cada uma mais um lado que se desenrola num retângulo de 2πr de largura por h de altura. Uma caixa, um engradado ou um cômodo é um prisma retangular, e as seis faces em três pares são a ideia inteira. Um aviso vale para as quatro: área total da superfície e volume não são proporcionais, e dobrar todos os comprimentos multiplica a área por quatro e o volume por oito, e é por isso que um animal grande perde calor mais rápido que um pequeno e que uma caixa pequena custa desproporcionalmente mais papelão do que o conteúdo dela sugere.
Exemplos resolvidos
Um cilindro de raio 3 e altura 4
- Duas pontas: 2 × π × 3 × 3 = 56,548667…
- Lado curvo desenrolado: 2 × π × 3 × 4 = 75,398223…
- Total: 56,548667… + 75,398223… = 131,946891…, que arredonda para 131,95
- Os campos de comprimento e largura não são lidos pelo cilindro, e os 5 e 4 que estão neles não mudam nada
A forma com que a página carrega, e a linha a comparar com a página do cilindro, que devolve 131,95 como área total da superfície para o mesmo raio e a mesma altura. Duas páginas, duas ferramentas, um número — elas rodam a mesma fórmula, e ver as duas concordarem é o ponto. A conferência que não precisa de calculadora: as duas pontas dão cerca de 28 cada uma e o lado se desenrola num retângulo de cerca de 18,8 de largura por 4 de altura, então o total deve ficar um pouco acima de 130.
Um cone de raio 3 e altura 4
- Geratriz: √(3² + 4²) = √25 = 5
- Base: π × 3 × 3 = 28,274333…
- Lado curvo: π × 3 × 5 = 47,123889…
- Total: 28,274333… + 47,123889… = 75,398223…, que arredonda para 75,4
O triângulo 3-4-5 fazendo o de sempre: com raio 3 e altura 4 a geratriz é exatamente 5, então a aritmética fica limpa até o fim. É também o mesmo 75,4 que a página do cilindro devolve como área lateral para um raio de 3 e uma altura de 4, o que é uma coincidência de dois sólidos diferentes e não uma fórmula compartilhada — o lado do cone e o lado do cilindro são superfícies distintas que por acaso chegam ao mesmo número aqui.
Uma esfera de raio 3
- Quatro círculos: 4 × π × 3 × 3 = 36π = 113,097335…
- O que arredonda para 113,1
- Só o raio é lido; os campos de altura, comprimento e largura são ignorados pela esfera
A área total da superfície de uma esfera é exatamente quatro vezes a área do maior corte transversal dela, que é o fato que vale guardar a respeito: um círculo de raio 3 tem 28,27, e quatro desses dão 113,1. O campo da altura ainda guarda o 4 da forma anterior e a página não lhe dá atenção, que é o comportamento que a introdução descreve e a razão de ele ser descrito.
Um prisma retangular 5 por 4 por 4
- Tampa e fundo: 2 × 5 × 4 = 40
- Frente e verso: 2 × 5 × 4 = 40
- Dois lados: 2 × 4 × 4 = 32
- Total: 40 + 40 + 32 = 112 centímetros quadrados, que é exato
A única das quatro formas cuja resposta é rotineiramente exata, e a única que ignora o raio. Como o comprimento e a altura por acaso são iguais aqui, dois dos três pares de faces têm o mesmo tamanho, o que torna a soma fácil de acompanhar: 40, 40 e 32. O raio de 3 sentado no campo dele não participa.
Um cubo 2 por 2 por 2, e um prisma 3 por 4 por 0
- Tampa e fundo: 2 × 3 × 4 = 24
- Frente e verso: 2 × 3 × 0 = 0
- Dois lados: 2 × 4 × 0 = 0
- Total: 24 centímetros quadrados
O par a olhar junto, porque um cubo de dois centímetros de lado e uma folha chata de três por quatro chegam os dois a 24 centímetros quadrados. O cubo é 2 × 2 × 2 e dá 2 × (4 + 4 + 4) = 24; o segundo tem altura zero, então quatro das suas seis faces colapsaram a nada e as duas que restam são a tampa e o fundo. Mesmo número, sólidos inteiramente diferentes, e um lembrete de que uma área total de superfície sozinha não determina uma forma.
Limitações
A resposta é sempre em centímetros quadrados, seja qual for a unidade em que as listas estão. Escolher polegadas muda como os seus números são interpretados na entrada e nada sobre como a resposta é mostrada. Os quatro campos de comprimento ficam na tela para todas as formas, e os que a forma escolhida não lê são ignorados em vez de apagados, então um raio que sobrou de uma esfera não muda nada numa caixa. A página não vai impedir você de deixar um campo com um valor que servia à forma anterior, e não vai avisar que não o usou. A coluna da fórmula nas tabelas de referência é o único lugar da página que diz quais números entraram numa linha, e é por isso que ela está lá. Duas casas decimais é uma largura de exibição e não uma afirmação sobre precisão. A área total da superfície do cone usa a geratriz e não a altura perpendicular, e a página calcula a geratriz sozinha a partir do raio e da altura, então um cone medido ao longo do lado inclinado não pode ser informado como dado. As páginas de cilindro e de cone em outro lugar deste site devolvem números para algumas das mesmas entradas, e elas concordam com esta página porque rodam as mesmas fórmulas — uma divergência seria um erro e não uma diferença de opinião. Nada aqui trata de uma forma que não seja uma das quatro, de um recipiente aberto cujas tampas faltam, nem de um sólido com um furo atravessado.
Perguntas frequentes
- Quais campos cada forma de fato usa?
- A esfera lê o raio e nada mais. O cone e o cilindro leem o raio e a altura. O prisma retangular lê o comprimento, a largura e a altura, e ignora o raio. Todo campo fica na tela e mantém o que estiver nele, então um número que sobrou de uma forma que você olhou antes não faz nada. A coluna da fórmula nas tabelas de referência é a maneira mais rápida de ver quais números entraram numa dada linha.
- O que é a geratriz e como eu a meço?
- É a distância reta do vértice do cone descendo pelo lado até a borda, e ela é maior que a altura vertical, a menos que o cone seja chato. Você não precisa medi-la: a página a calcula a partir do raio e da altura usando Pitágoras, já que o raio, a altura e a geratriz formam um triângulo retângulo. Um cone de raio 3 e altura 4 tem geratriz exatamente 5.
- Por que a resposta é em centímetros quadrados se eu digitei em polegadas?
- Porque a resposta é uma saída fixa em centímetros quadrados, escolhida para que o painel de resultados e as tabelas de referência abaixo dele sempre concordem. As listas mudam como as suas medidas são entendidas na entrada, não como a resposta é escrita. Para converter, divida o resultado por 6,4516 para obter polegadas quadradas — ou eleve o fator de conversão ao quadrado, já que a área acompanha o quadrado do comprimento.
- Por que um cubo de 2 cm de lado tem a mesma área total de superfície que uma folha de 3 por 4?
- Porque os dois chegam a 24 centímetros quadrados, e não há mais nada além disso: o cubo tem seis faces de 4 cada, e a folha chata tem duas faces de 12 e quatro que colapsaram a nada porque a altura dela é zero. Uma única área total de superfície não identifica uma forma, e o segundo sólido é um caso degenerado que a página calcula com prazer em vez de tratar como erro.
- As páginas de cilindro e de cone dão as mesmas respostas que esta?
- Para as figuras que se sobrepõem, sim, e isso é por projeto e não por acaso — as três páginas rodam as mesmas fórmulas. Um cilindro de raio 3 e altura 4 tem área total da superfície de 131,95 aqui, e a página do cilindro imprime os mesmos 131,95 como área total dela, porque as duas somam as mesmas duas pontas ao mesmo lado desenrolado.
- Consigo calcular de quanta tinta ou quanto papel de embrulho preciso?
- Sim, para um sólido fechado, e é o uso mais comum da página. Duas coisas a observar: a resposta é o lado de fora inteiro, então um recipiente aberto precisa de uma face subtraída, e o número não considera sobreposição, sobras nem espessura, e é por isso que uma estimativa prática deve ser arredondada para cima em vez de usada tal como está. A área é em centímetros quadrados, então divida por dez mil para obter metros quadrados.
Referências
- Surface area — the area of the boundary of a solid, with the formulas for the sphere, the cone, the cylinder and the rectangular prism that this page implements — Wolfram MathWorld (United States)
- Cone — the solid whose lateral surface unrolls into a sector, and whose slant height is the hypotenuse of the right triangle formed by the radius and the height — Wolfram MathWorld (United States)
- Sphere — the surface at a fixed distance from a centre, whose area is exactly four times that of its great circle, the relation the sphere formula here states — Wolfram MathWorld (United States)