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Calculadora de volume do paralelepípedo

Intervalo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

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Resultado

80,0000 cm³

Volume

Área total da superfície
112,0000 cm²

Uma calculadora de volume do paralelepípedo recebe o comprimento, a largura e a altura de uma caixa retangular e devolve dois números: quanto espaço a caixa encerra, em centímetros cúbicos, e quanta superfície as seis faces dela somam, em centímetros quadrados. Os dois são pedidos porque de uma caixa normalmente se querem os dois ao mesmo tempo — quanto ela comporta e quanto material é preciso para fabricá-la ou revesti-la. O volume é o comprimento multiplicado pela largura multiplicado pela altura, que é a única fórmula daqui que todo mundo já sabe sem que ninguém ensine: é quantos cubos unitários cabem dentro. A área da superfície é duas vezes a soma dos três pares de faces, porque faces opostas de uma caixa são idênticas, então há apenas três retângulos distintos a calcular e cada um deles aparece duas vezes. As duas grandezas se comportam de maneiras diferentes quando a caixa muda de tamanho, e essa diferença é a coisa mais útil da página. Amplie uma caixa por um fator de dois em todas as direções e a área da superfície sobe quatro vezes enquanto o volume sobe oito vezes. É por isso que um recipiente grande comporta desproporcionalmente mais que um pequeno ao mesmo tempo que precisa de desproporcionalmente menos material por unidade de conteúdo, e é por isso que um animal com o dobro do comprimento de outro não tem o dobro do peso. A tabela mostra um par de linhas exatamente por isso: 3, 4 e 5 escalam para 6, 8 e 10, com a área total da superfície passando de 94 para 376 e o volume de 60 para 480. As unidades merecem uma palavra porque são o ponto onde mais se erra. Cada uma das três caixas aceita centímetros, metros, milímetros, polegadas ou pés, e as duas respostas voltam em centímetros — ao cubo para o volume, ao quadrado para a área total da superfície. Uma caixa medida em polegadas dá portanto um volume que precisa ser dividido por 16,387064 para ser lido em polegadas cúbicas, e não por 2,54 nem por 6,4516. Volumes convertem pelo cubo do fator de comprimento, e recorrer ao fator de comprimento simples é o erro a vigiar. As três dimensões precisam ser preenchidas. Esta página não tem nenhum arranjo em que você forneça duas delas e ela descubra a terceira, e não tem lista para escolher a forma — é uma caixa e só uma caixa. Se a figura for um cilindro, um cone ou uma esfera, isso é outra página; se for um tanque redondo, a página do aquário recebe as mesmas três medidas e responde em litros e galões. Uma observação sobre a ordem das saídas. O volume é a primeira linha e a área total da superfície é a segunda, seja qual for delas que você veio buscar. Isso porque a página leva o nome do volume, e porque o volume é a figura com uma fórmula única e universalmente conhecida, enquanto a área da superfície é a que as pessoas precisam procurar.

Caixas comuns: o volume e a área da superfície a partir dos três comprimentos das arestas

Comprimento (cm)Largura (cm)Altura (cm)Volume (cm³)Área da superfície (cm²)
11116
3456094
54480112
6810480376
1010101000600
1286576432
20151030001300
0.50.50.50.1251.5

Oito caixas e cinco colunas: três dimensões entrando, duas figuras saindo. A segunda linha e a quarta são o par que carrega o ponto da página — 3, 4 e 5 dobrados para 6, 8 e 10, com o volume passando de 60 para 480 enquanto a área da superfície só vai de 94 para 376. A terceira linha é o conjunto com que a página carrega, 5, 4 e 4, e é também o caso que a página de área da superfície resolve na opção de prisma dela, 112 nas duas. A primeira linha é o cubo unitário, volume um e superfície seis, que é a menor caixa que existe e uma coisa útil de ter em mente ao ler um número de superfície. A quinta linha é o cubo, e a sexta e a sétima são caixas mais chatas e mais longas que comportam bastante mais; compará-las com o cubo é o que mostra que uma caixa paga pela forma, e não só pelo tamanho. A sexta comporta 576 centímetros cúbicos atrás de 432 centímetros quadrados de superfície, três quartos de centímetro quadrado por centímetro cúbico, onde o cubo consegue seis décimos — então o cubo é a caixa mais econômica para o que comporta, e todo passo para longe dele custa papelão. A última linha é um cubo de meio centímetro, em que o volume é escrito com as suas três decimais, 0,125, porque a aritmética é exata em vez de arredondada nas quatro casas que a exibição permite. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.

Fórmula

V = lwh S = 2(lw + lh + wh)

l
O comprimento da caixa em centímetros — qualquer uma das três arestas, desde que as outras duas sejam a largura e a altura. A uma caixa não importa qual nome vai em qual aresta
w
A largura, em centímetros. Junto com o comprimento ela fixa o retângulo da base, que é a face sobre a qual a caixa se apoia
h
A altura, em centímetros: quanto a caixa se ergue acima da base. Esta é a terceira direção, e é ela que transforma um retângulo de área num sólido de volume
lwh
O volume — três comprimentos multiplicados. É quantos cubos de um centímetro de lado caberiam dentro, que é o que significa um centímetro cúbico
lw, lh, wh
Os três retângulos distintos entre as seis faces: a base, a frente e a lateral. As outras três faces são esses mesmos três retângulos de novo, e é por isso que a fórmula da superfície não precisa somar seis áreas separadas
2(lw + lh + wh)
A área total da superfície, em centímetros quadrados. O fator dois representa o fato de faces opostas de uma caixa serem idênticas, e é o passo que as pessoas deixam de fora quando somam seis faces e contam cada par duas vezes
Quatro casas decimais
A largura com que as leituras são impressas. As duas figuras são exatas sempre que os três comprimentos forem, então as quatro decimais são uma largura de exibição e não sinal de aproximação — 0,125 é escrito por inteiro

Embalar e enviar é o caso mais claro. O volume de um pacote é o que uma transportadora cobra, e a área da superfície é o papelão que se gasta para fazer a caixa — os dois números de que uma empresa precisa antes de fechar um tamanho de caixa, e o volume também é o que decide se um determinado item cabe. Armazenagem é o segundo: quanto comporta um engradado, uma gaveta, uma caixa organizadora, uma caixa de arquivo ou uma estante, e quanta parede a parte externa dela vai cobrir. Materiais são o terceiro: a área da superfície é o que uma caixa tem de ser pintada, envolvida, forrada, revestida ou coberta, então um serviço orçado por metro quadrado começa nesta fórmula, e o volume é o que uma caixa tem de ser enchida quando o enchimento é vendido por volume. Na construção civil é o concreto de uma sapata retangular, o material retirado de uma escavação retangular, a água de uma cisterna ou de um tanque retangular e o aterro de um canteiro retangular — tudo isso é esta única multiplicação, e acertar as três dimensões na mesma unidade é a parte que realmente dá errado. Na indústria é o material de um bloco usinado, a capacidade de um silo e o volume de um tarugo antes de ser trabalhado. Nas ciências é a densidade de qualquer coisa que possa ser cortada num sólido retangular, já que densidade é massa dividida por volume, e o volume de uma célula de amostra ou de um corpo de prova retangular. Em sala de aula é a demonstração de que volume e área da superfície são coisas diferentes que saem ambas dos mesmos três números: monte uma caixa com cubos de um centímetro, conte os cubos para o volume, conte os quadrados de fora para a superfície, e o fato de as duas contagens escalarem de modos diferentes quando a caixa é dobrada é a lição inteira. E na aritmética do dia a dia é se um móvel passa por uma porta, quanta terra um canteiro elevado precisa e se a caixa do armário é grande o bastante para o que vai entrar nela.

Exemplos resolvidos

  1. Uma caixa de 5 por 4 por 4

    1. Retângulo da base: 5 × 4 = 20
    2. Os outros dois retângulos: 5 × 4 = 20 e 4 × 4 = 16
    3. Some os três e dobre: 2 × (20 + 20 + 16) = 112 centímetros quadrados
    4. Multiplique os três comprimentos: 5 × 4 × 4 = 80 centímetros cúbicos

    As dimensões com que a página carrega, e o caso que o exemplo resolvido da página de área da superfície usa na opção de prisma dela. As duas páginas imprimem 112 para ele, o que vale conferir: as duas chegam ao número por caminhos diferentes e uma discordância entre elas seria um defeito em uma das duas. Repare que duas das três dimensões são iguais aqui, então dois dos três retângulos distintos são o mesmo retângulo.

  2. Uma caixa de 3 por 4 por 5

    1. Os três retângulos: 3 × 4 = 12, 3 × 5 = 15 e 4 × 5 = 20
    2. Some e dobre: 2 × (12 + 15 + 20) = 94 centímetros quadrados
    3. Multiplique os três: 3 × 4 × 5 = 60 centímetros cúbicos

    O conjunto clássico de dimensões, e o par a observar ao lado da linha seguinte: dobrar todas as arestas não é só uma caixa maior, é outra espécie de resposta. Esta linha é a metade menor da demonstração que a página de fato faz.

  3. A mesma caixa dobrada: 6 por 8 por 10

    1. Os três retângulos: 6 × 8 = 48, 6 × 10 = 60 e 8 × 10 = 80
    2. Some e dobre: 2 × (48 + 60 + 80) = 376 centímetros quadrados
    3. Multiplique os três: 6 × 8 × 10 = 480 centímetros cúbicos

    Todas as arestas dobradas, então a área da superfície é quatro vezes os 94 da linha anterior e o volume é oito vezes os 60 dela. Esta é a coisa mais útil da página: dobrar uma caixa não dobra o que ela comporta nem o que ela gasta, e as duas coisas nem crescem no mesmo ritmo uma da outra. É a mesma relação que faz um recipiente grande sair mais barato por litro que um pequeno.

  4. Uma caixa de doze por oito por seis

    1. Os três retângulos: 12 × 8 = 96, 12 × 6 = 72 e 8 × 6 = 48
    2. Some e dobre: 2 × (96 + 72 + 48) = 432 centímetros quadrados
    3. Multiplique os três: 12 × 8 × 6 = 576 centímetros cúbicos

    Uma caixa mais chata e mais longa, e a linha a comparar com o cubo da tabela. Ela comporta 576 centímetros cúbicos e tem 432 centímetros quadrados de superfície, o que dá três quartos de centímetro quadrado de papelão para cada centímetro cúbico que ela comporta; o cubo comporta 1.000 e tem 600, o que dá seis décimos. Entre todas as caixas de um dado volume, o cubo é a que tem a menor superfície, e todo afastamento dele custa material — é por isso que uma embalagem cúbica é a eficiente e uma caixa chata de mesma capacidade não é.

  5. Uma caixa sem altura: 5 por 5 por 0

    1. Os três retângulos: 5 × 5 = 25, 5 × 0 = 0 e 5 × 0 = 0
    2. Some e dobre: 2 × (25 + 0 + 0) = 50 centímetros quadrados
    3. Multiplique os três: 5 × 5 × 0 = 0 centímetros cúbicos

    Uma caixa prensada até virar uma folha. O volume é zero, o que está correto e não é a página deixando de responder, e a área da superfície não é zero — é 50, as duas faces que continuam ali. Zero é um valor legal em qualquer das três caixas: medir zero é uma medição, e só deixar uma caixa vazia é o caso em que não há com o que trabalhar.

Limitações

Esta página calcula uma caixa retangular e nada mais: nem cilindro, nem cone, nem esfera, nem pirâmide, nem sólido irregular, e ela não recebe um volume para descobrir de trás para a frente uma aresta que falta. As três dimensões são obrigatórias, e nenhuma delas pode ser negativa. As duas respostas voltam em centímetros — ao cubo para o volume, ao quadrado para a superfície — qualquer que seja a unidade em que cada caixa esteja, porque a conversão acontece na entrada. Uma caixa medida em polegadas dá portanto um volume que precisa ser dividido por 16,387064 para ser lido em polegadas cúbicas: volumes convertem pelo cubo do fator de comprimento, e dividir por 2,54 ou por 6,4516 por analogia com um comprimento ou com uma área é o erro a evitar. Não há saída para a diagonal que atravessa o meio da caixa, e a diagonal que um leitor pode ter em mente a partir de uma especificação de tela é a diagonal de uma face, que é outro comprimento. Nada aqui trata uma caixa de cantos arredondados, uma caixa sem tampa nem a espessura do material de que ela é feita — uma caixa aberta gasta menos material do que o número impresso aqui, e a diferença é a face que você deixou de fora. Quatro casas decimais são uma largura de exibição; a aritmética em si é exata sempre que as três entradas forem, então um número como 0,125 é escrito por inteiro em vez de arredondado. E nada aqui converte entre centímetros cúbicos e litros: a página do aquário recebe as mesmas três medidas e responde em litros e galões se for isso que você quer.

Perguntas frequentes

Por que dobrar todos os lados multiplica o volume por oito?
Porque cada um dos três comprimentos é dobrado e eles são multiplicados entre si, então o fator dois entra três vezes: dois vezes dois vezes dois é oito. A área da superfície só dobra duas vezes, porque área é um produto de dois comprimentos, então ela sobe quatro vezes. Essa diferença é a razão de um recipiente grande comportar muito mais que um pequeno usando proporcionalmente menos material, e de uma caixa pequena de mesma forma nunca ser uma pechincha em escala reduzida.
Informei polegadas. Por que o volume está em centímetros cúbicos?
Porque a conversão acontece na entrada e não na saída. As suas polegadas são transformadas em centímetros e as duas respostas voltam em centímetros. Para ler o volume em polegadas cúbicas, divida por 16,387064 — que é 2,54 ao cubo. Dividir por 2,54 no lugar dele, como você faria com um comprimento, dá uma resposta cerca de 6,45 vezes maior que a certa, e não uma resposta aproximadamente correta; esse 6,45 é justamente o fator de uma área, o que é a pista de que faltou elevar ao cubo.
Qual das três caixas é a altura?
Aquela que você estiver tratando como vertical — a uma caixa não importa qual nome vai em qual aresta, porque o volume e a área da superfície são simétricos nas três. A página usa a palavra altura no sentido da altura de uma figura, e não de um tanque ou de uma pessoa, mas a aritmética não muda se você trocar duas delas de lugar.
Isto é a mesma coisa que a página de volume do aquário?
A geometria é idêntica e as três medidas são as mesmas três, mas as respostas não são. Aquela página trata a figura como um recipiente e responde em litros e galões, e é limitada a dimensões que um tanque poderia razoavelmente ter. Esta página trata a figura como um sólido geométrico e responde em centímetros cúbicos com a área da superfície ao lado, que é o que você quer quando a caixa é um objeto de material e não um vasilhame.
Posso obter só a área da superfície, ou outra forma?
A página de área da superfície recebe uma esfera, um cone, um cilindro ou um prisma retangular e devolve apenas a área externa, então ela cobre esta caixa entre outras três figuras. A opção de prisma dela é a mesma fórmula que esta página usa, e as duas concordam: uma caixa de 5 por 4 por 4 lê 112 nas duas. Se você quer uma figura de cada vez sem nada a escolher, esta página é o caminho mais rápido.
Por que não há uma diagonal da caixa?
Porque a diagonal que a maioria das pessoas tem em mente, e que este site já informa em outro lugar, é a diagonal de uma face plana — o número citado para telas. Uma caixa também tem uma diagonal que atravessa o meio, de um canto ao canto oposto, e ela é outro comprimento com outra fórmula. Imprimir uma delas sob o nome simples de diagonal deixaria o rótulo errado em uma das duas páginas, então esta página a deixa de fora.

Referências

Calculadoras relacionadas

Calculadora de área superficialÁrea superficial de esfera, cone, cilindro e prisma.Calculadora de volume de aquárioVolume do aquário em litros e galões pelas suas medidas.Calculadora de volume do cilindroVolume do cilindro, das tampas e da superfície lateral.Calculadora de retânguloÁrea, perímetro e diagonal pelo comprimento e pela largura.