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CalcMax

Calculadora de volume da pirâmide

Intervalo: 0 cm² – 1.000.000.000.000.000.000 cm²

Intervalo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Resultado

48,00 cm³

Volume

Uma calculadora de volume de pirâmide recebe a área da base e a altura da pirâmide e devolve o volume que ela encerra: área da base vezes altura dividido por três. É a fórmula mais curta deste site e a que carrega a constante mais surpreendente. Três pirâmides idênticas cabem exatamente dentro de um prisma de mesma base e mesma altura, seja qual for o polígono da base — um quadrado, um triângulo, um hexágono —, e é daí que vem a divisão por três: o volume de uma pirâmide é um terço do que caberia numa caixa de mesma pegada e mesma altura. Vale guardar essa relação, porque ela transforma uma pergunta difícil em uma pergunta fácil: se você sabe o volume do prisma, já sabe o da pirâmide. A página pede a base como área, e não como o comprimento das arestas dela, e isso é deliberado. A base de uma pirâmide pode ser qualquer polígono — uma base quadrada, um triângulo, um abajur hexagonal, a base de cinco lados de uma barraca — e a fórmula usa a base apenas por quanto chão ela cobre, de modo que pedir duas arestas restringiria a página a bases retangulares sem encurtar a conta em nada. Isso também significa que a página não fornece uma altura de face, que é a distância do vértice até o meio de uma aresta descendo pelo meio de uma face: essa distância depende da forma da base e não só da área dela, e uma base longa e fina e uma base compacta de mesma área têm alturas de face bem diferentes. Medir a área da base costuma ser um passo separado, e as calculadoras de área de retângulo, quadrado, triângulo e círculo estão todas neste site; esta página pega o resultado daquele passo e faz a parte tridimensional. Dois exemplos fixam a ordem de grandeza. Uma pirâmide com base de 36 centímetros quadrados e altura de quatro tem volume de 48 centímetros cúbicos, e um prisma de mesma base e mesma altura carrega três vezes isso, 144. E a maior pirâmide já construída, a Grande Pirâmide de Gizé, tem base de cerca de 52.900 metros quadrados — 230 metros de lado — e altura de cerca de 146,6 metros, o que dá aproximadamente 2,6 milhões de metros cúbicos de pedra. É nessa escala que a divisão por três deixa de ser curiosidade e passa a ser a diferença entre uma pilha de pedra e uma montanha. A tabela abaixo vai de uma base de um centímetro quadrado até essa pirâmide, e a última linha é a menor resposta legítima da página: uma pirâmide sem base ou sem altura não tem volume, e isso é um resultado, não um erro.

Pirâmides de uma base de um centímetro quadrado até a Grande Pirâmide de Gizé

Área da base (cm²)Altura (cm)Volume (cm³)
36448
110.33
1009300
48348
10012400
25001210000
529000000146602585046666666.67
000

Oito linhas: sete pirâmides e uma vazia. A primeira linha é o tamanho com que a página carrega. A terceira é a linha para testar a aritmética, porque todo número dela é exato: base de 100 centímetros quadrados com altura 9 dá volume 300, e uma caixa de mesma base e mesma altura carrega 900 — o prisma é sempre exatamente três vezes a pirâmide, em todas as linhas desta tabela. A segunda linha é onde a divisão por três mostra a mão: base 1 e altura 1 dão 0,33, que é um terço, e é o motivo de esta página imprimir duas casas decimais em vez de quatro. A quinta e a sexta linhas são a mesma pirâmide em duas escalas, e a última é a Grande Pirâmide de Gizé, cuja base de 529.000.000 centímetros quadrados são 52.900 metros quadrados — 230 metros de lado — e cuja altura de 14.660 centímetros são 146,6 metros. Essa linha está em centímetros cúbicos porque é a unidade da página; dividida por um milhão, dá 2,585 milhões de metros cúbicos de pedra. A linha final é toda de zeros, que é uma pirâmide sem base ou sem altura e é uma resposta, e não um erro. Toda célula é recalculada a partir da sua linha quando a página é construída, em centímetros quadrados e centímetros cúbicos. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.

Fórmula

V = A × h ÷ 3

A
A área da base, em centímetros quadrados. É uma área e não um par de arestas porque a base pode ser qualquer polígono: a fórmula usa a base apenas por quanto chão ela cobre, então uma base quadrada de 36 centímetros quadrados e uma base hexagonal de 36 centímetros quadrados dão o mesmo volume na mesma altura. Calcular a área é um passo separado, e as calculadoras de área de retângulos, triângulos, círculos e polígonos regulares estão todas neste site
h
A altura, em centímetros: a distância perpendicular da base até o vértice, não a distância ao longo de uma aresta inclinada. É a única medida de uma pirâmide que não se tira com uma trena pela superfície, e é justamente a que as pessoas erram — a aresta de um canto é sempre maior que a altura, porque é a hipotenusa de um triângulo cujos outros lados são a altura e metade da base
V
O volume, em centímetros cúbicos. É um terço do que um prisma de mesma base e mesma altura carregaria, e esse é o conteúdo inteiro da fórmula: três cópias da pirâmide enchem o prisma exatamente, qualquer que seja a forma da base. É impresso com duas casas decimais em vez de quatro porque a divisão por três é a única operação desta família que transforma números inteiros em dízimas — base 1 e altura 1 dão 0,3333, e a leitura útil é que isso é um terço
÷ 3
A constante que faz de uma pirâmide uma pirâmide. Ela vem do fato de que três pirâmides congruentes se montam num prisma de mesma base e mesma altura, então a pirâmide é exatamente um terço do prisma — não aproximadamente, e não só para bases quadradas. É a mesma divisão da página do volume do cone, já que um cone é uma pirâmide cuja base por acaso é um círculo

Use esta página quando você tem uma pirâmide e quer saber quanto ela carrega ou quanto material há nela, e quando consegue dar um número para a base na forma de área. Essa última condição é a que decide se esta é a página certa. Se a base é um quadrado ou um retângulo e você conhece os dois lados, a conta é curta o bastante para fazer de cabeça e as calculadoras de área deste site dão a base em um passo; se a base é um hexágono ou um pentágono, ou um contorno irregular que você mediu de outro jeito, é aqui que essa área entra. A fórmula é também a conferência de sanidade mais rápida para qualquer objeto em forma de pirâmide: qualquer que seja a base, a forma carrega um terço do que carregaria uma caixa de mesma pegada e mesma altura. Vale aplicar isso antes de acreditar em qualquer número — um telhado em forma de pirâmide sobre uma pegada de 100 metros quadrados com 9 metros de altura encerra 300 metros cúbicos de espaço, enquanto o mesmo telhado empurrado para cima até virar uma caixa de topo plano encerraria 900, e a diferença entre esses dois números é o motivo de telhados em pirâmide terem o aspecto que têm. Dois usos menores merecem menção. Recortar uma pirâmide de um material sólido é uma pergunta de volume sobre desperdício: uma pirâmide esculpida de um bloco deixa dois terços do bloco para trás, que é a diferença mais crua entre recortar uma forma de um material e moldá-la. E encher uma pirâmide — um silo, um depósito de grãos, uma pilha de cascalho em forma de cone, uma ampulheta — é esta página com a base valendo a área do piso, onde a resposta é a capacidade e a mesma resposta que uma página de cone daria para uma base redonda. Se a sua pirâmide não tem lados retos, ou se o vértice não fica sobre o meio da base, a página continua valendo: a fórmula do volume usa a altura perpendicular e a área da base, e nada mais, e uma pirâmide inclinada com a mesma base e a mesma altura carrega exatamente o mesmo que uma reta, o que é um fato genuinamente surpreendente e útil.

Exemplos resolvidos

  1. Uma base de 36 centímetros quadrados e uma altura de 4

    1. Área da base vezes altura: 36 × 4 = 144
    2. Dividido por três: 144 ÷ 3 = 48

    É a entrada com que a página carrega, e a linha que mostra a relação sobre a qual a fórmula é construída: um prisma de mesma base e mesma altura carregaria 144 centímetros cúbicos, e a pirâmide carrega exatamente um terço disso. Vale guardar os dois números, porque passar de um para o outro é uma única multiplicação ou divisão e o número do prisma costuma ser muito mais fácil de conferir contra o tamanho do objeto.

  2. Uma base de 1 e uma altura de 1

    1. Área da base vezes altura: 1 × 1 = 1
    2. Dividido por três: 1 ÷ 3 = 0,33333…, que arredonda para 0,33

    A pirâmide unitária, e o motivo de esta página imprimir duas casas decimais onde a página do paralelepípedo imprime quatro. Um dividido por três é 0,3333 com quatro casas, o que parece uma medida que deu três décimos de milésimo; 0,33 se lê pelo que é, um terço de alguma coisa. É todo o argumento para a largura menor aqui: a divisão por três é a única operação desta família que produz dízima de forma confiável, e mais dígitos dela não acrescentam informação.

  3. Uma base de 100 e uma altura de 9

    1. Área da base vezes altura: 100 × 9 = 900
    2. Dividido por três: 900 ÷ 3 = 300

    A linha para conferir a página inteira, porque os três números são exatos e a versão em prisma é óbvia: uma caixa com base de 100 centímetros quadrados e altura de 9 carrega 900 centímetros cúbicos, e a pirâmide carrega 300 deles. Se um telhado em forma de pirâmide cobrisse 100 metros quadrados com 9 metros de altura, encerraria 300 metros cúbicos de espaço, que é o tipo de número que decide quanto ar um edifício precisa aquecer.

  4. A Grande Pirâmide de Gizé

    1. Área da base em centímetros quadrados: 230 m × 230 m = 52.900 m², que são 529.000.000 cm²
    2. Altura em centímetros: 146,6 m = 14.660 cm
    3. Área da base vezes altura: 529.000.000 × 14.660 = 7.755.140.000.000
    4. Dividido por três: 7.755.140.000.000 ÷ 3 = 2.585.046.666.666,666…, que arredonda para 2.585.046.666.666,67

    A maior das pirâmides egípcias, com a base original de cerca de 230 metros de lado e a altura original de cerca de 146,6 metros. A resposta está em centímetros cúbicos porque é a unidade da página, e não é um número que alguém leia direto: divida por um milhão e são 2,585 milhões de metros cúbicos, ou cerca de 2,6 milhões de metros cúbicos de pedra. É a linha em que a divisão por três merece atenção — a caixa que conteria a pirâmide carrega 7,76 milhões de metros cúbicos, exatamente três vezes a pirâmide, então a mesma pegada e a mesma altura dão três vezes o volume.

Limitações

A base precisa ser plana e os lados precisam subir retos das arestas dela até um único vértice: uma pirâmide de perfil em degraus, como as pirâmides egípcias mais antigas e os zigurates, é uma pilha de caixas e lajes e não uma pirâmide só, e esta fórmula vai errar por muito para ela. Um tronco de pirâmide — uma pirâmide com o topo cortado, que é o que a maioria dos telhados e silos na verdade é — também não é esta forma; o volume ali precisa da área de cima e da de baixo, e esta página tem um só campo de base. A altura precisa ser a distância perpendicular do plano da base até o vértice, não a distância ao longo de uma aresta inclinada nem de uma face; medir a aresta inclinada é o jeito mais comum de chegar a um número grande demais, e numa pirâmide alta ele é grande demais por muito, não por pouco. A área da base é uma entrada, não algo que a página calcule, então uma base medida como dois lados precisa ser convertida em área antes, e uma base irregular precisa ser medida pelo método que servir para ela. A página não pode dar a altura de uma face, a área da superfície nem o comprimento de nenhuma aresta, porque nada disso se deduz da área da base sozinha: uma base longa e fina e uma base compacta de mesma área têm alturas de face diferentes, áreas de superfície diferentes e arestas diferentes. A saída está em centímetros cúbicos independentemente do que estiver escolhido nas listas de base e de altura, então uma base informada em metros quadrados volta como uma resposta em centímetros cúbicos que você mesmo converte — um milhão de centímetros cúbicos por metro cúbico, ou um milionésimo de metro cúbico por centímetro cúbico. Duas casas decimais são uma largura de exibição, não uma afirmação sobre precisão, e isso é honesto para uma pirâmide medida mas muito grosseiro para uma pirâmide grande, onde os últimos dois dígitos antes da vírgula são os únicos com significado. A página assume que o vértice está em algum lugar sobre a base e não se importa onde: uma pirâmide reta e uma inclinada com a mesma base e a mesma altura têm o mesmo volume, o que está correto e vale saber, e não é uma limitação. Ela também não tem nada a dizer sobre peso, custo de material ou o desperdício de recortar a forma de um bloco sólido, coisas que dá para calcular a partir do volume mas que não são impressas aqui.

Perguntas frequentes

Por que o volume de uma pirâmide é um terço do prisma ao redor dela?
Porque três pirâmides de mesma base e mesma altura cabem exatamente dentro do prisma, sem folgas e sem sobreposição, qualquer que seja o polígono da base. Não é aproximação e não vale só para bases quadradas — uma pirâmide de base triangular e uma de base hexagonal são ambas exatamente um terço do prisma que as conteria. O mesmo um terço aparece na página do volume do cone, já que um cone é uma pirâmide com um círculo por base.
Eu informo os lados da base ou a área dela?
A área. A fórmula usa a base apenas por quanto chão ela cobre, então as duas arestas de uma base retangular seriam um jeito desnecessariamente estreito de perguntar. Informar a área também deixa a página lidar com bases que ela não conseguiria descrever de outro modo: uma base hexagonal, uma triangular ou um contorno irregular que você mediu por outro caminho. Se a sua base é um retângulo ou um quadrado, as calculadoras de área do retângulo e do quadrado neste site dão a área em um passo.
Qual altura eu meço?
A altura perpendicular: a distância em linha reta do plano da base até o vértice, medida em ângulo reto com a base. Não é o comprimento de uma aresta inclinada nem a distância subindo pelo meio de uma face. A aresta inclinada é sempre maior que a altura — ela é a hipotenusa de um triângulo cujos outros lados são a altura e metade da diagonal da base —, então medi-la dá uma resposta grande demais, e numa pirâmide alta grande demais por muito.
Quanta pedra há na Grande Pirâmide de Gizé?
A base original tinha cerca de 230 metros de lado, o que são 52.900 metros quadrados, e a altura original era de cerca de 146,6 metros. Área da base vezes altura dividido por três dá cerca de 2,6 milhões de metros cúbicos. A comparação útil é com a caixa que a conteria, que carrega três vezes mais — 7,76 milhões —, e essa diferença é o ponto inteiro da divisão: a mesma pegada e a mesma altura, um terço do volume.
A página pode me dar a altura de uma face ou a área da superfície?
Não, e o motivo é a entrada. A altura de uma face é a distância do vértice até o meio de uma aresta, e ela depende da forma da base e não só da área dela: uma base longa e fina de 100 centímetros quadrados e uma base compacta de mesma área têm alturas de face bem diferentes e áreas de superfície bem diferentes. Para calcular qualquer uma das duas, a página teria que conhecer o contorno da base, que é exatamente o que informar uma área em vez de duas arestas evita.
Uma pirâmide inclinada carrega menos que uma reta?
Não, carrega exatamente o mesmo, desde que a área da base e a altura perpendicular sejam as mesmas. A fórmula do volume usa só esses dois números e nunca pergunta onde o vértice está acima da base, então uma pirâmide cujo topo pende para um lado carrega precisamente o mesmo que uma que se ergue reta sobre o meio. É um resultado de verdade e não um efeito de arredondamento, e é a mesma razão pela qual uma pilha de moedas carrega o mesmo esteja ou não perfeitamente alinhada.

Referências

Calculadoras relacionadas

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