Calculadora de pentágono

A = √(25 + 10√5) ÷ 4 × s² P = 5s a = s ÷ (2·tan(π ÷ 5)) diagonal = φ·s ângulo interno = 108°

Lado

O comprimento de qualquer um dos cinco lados, em centímetros. Como em todo polígono regular esta é a única entrada que existe: os cinco lados são iguais e os cinco ângulos estão fixos em 108 graus, então o lado sozinho determina a figura inteira

Área

O espaço que o pentágono cobre, em centímetros quadrados: a raiz quadrada de vinte e cinco mais dez vezes a raiz quadrada de cinco, dividida por quatro, vezes o lado ao quadrado. A constante é cerca de 1,7205, e é essa a figura a levar na cabeça — um pentágono cobre cerca de 1,72 vez o quadrado desenhado sobre um dos seus lados

Perímetro

A distância por todo o contorno, em centímetros: cinco vezes o lado, já que os cinco são iguais. É a única saída que é sempre exata quando o lado é, o que a torna a figura com que se conferem as outras quando um resultado parece errado

Apótema

A distância do centro em linha reta até o ponto médio de um lado, em centímetros, que é o lado dividido por duas vezes a tangente de 36 graus. É o raio da maior circunferência que cabe dentro do pentágono, e o dobro dele é a largura da figura medida entre lados planos

Diagonal

A distância entre dois vértices com um vértice entre eles, em centímetros, que é o lado vezes a razão áurea. Nesta página há uma diagonal só, e não as duas de um hexágono, porque as cinco diagonais de um pentágono regular têm todas o mesmo comprimento — cada uma delas pula exatamente um vértice, então não existe um par mais longo e mais curto para distinguir

Ângulo interno

O ângulo entre dois lados vizinhos, por dentro do pentágono: 108 graus, fixado aí só pela contagem de lados. Ele não depende do comprimento do lado, e é por isso que essa coluna da tabela de referência traz o mesmo número em todas as linhas. Metade dele, 54 graus, é a esquadria de que uma moldura de cinco faces precisa

φ

A razão áurea, cerca de 1,6180339887, que é o número pelo qual a diagonal é o lado multiplicado. É a razão na qual as diagonais de um pentágono se cortam, e é o motivo de essa figura aparecer no desenho e nas plantas muito mais vezes do que a aritmética dela sugeriria

√5

A raiz quadrada de cinco, cerca de 2,2360680. Ela aparece na área através da expressão vinte e cinco mais dez raiz de cinco, e é o que faz da razão áurea um número irracional em vez de uma fração — um mais a raiz quadrada de cinco, sobre dois

A página é para o pentágono como objeto físico, e pentágonos costumam ser decorativos em vez de estruturais, o que muda o que você quer dos números. Se você está recortando um de uma chapa — um tampo de mesa, uma placa, um piso, um canteiro —, a área diz de quanto material você está abrindo mão e o apótema diz como demarcá-lo a partir do centro, já que o dobro do apótema é a largura entre lados planos e essa é a medida que se consegue tirar com uma régua. A diagonal é então o que diz se a peça pronta cabe no espaço onde ela vai entrar, porque é a linha mais larga da figura, de vértice a vértice pelo meio. Se você está construindo algo com cinco peças — uma moldura, uma lanterna, um telhado de coreto, um vaso —, o ângulo interno de 108 graus é a figura a procurar, já que a esquadria de cada peça é a metade dele, 54 graus, e essa regulagem é a mesma para todo pentágono regular, qualquer que seja o tamanho. A razão áurea é o motivo de olhar a coluna da diagonal mesmo quando você não precisa dela: ela é a assinatura da figura, e um pentágono cuja diagonal não é 1,618 vez o lado não é um pentágono regular, seja qual for o aspecto que ele tenha. E se o que você quer é comparar figuras em vez de medir uma, a tabela de mesmo lado desta página e das duas vizinhas dá a comparação mais justa que existe: com lado 6 o pentágono cobre 61,9372, o hexágono 93,5307 e o octógono 173,8234, então a mesma aresta compra mais área quanto mais lados houver, no caminho até o círculo.

1. Um lado de 6

   1. Perímetro: 5 × 6 = 30
   2. Diagonal: φ × 6 = 1,6180339… × 6 = 9,708203…, que arredonda para 9,7082
   3. Apótema: 6 ÷ (2 × tan 36°) = 6 ÷ 1,453085… = 4,129145…, que arredonda para 4,1291
   4. Área: 1,7204774… × 36 = 61,937187…, que arredonda para 61,9372
   5. Ângulo interno: (5 − 2) × 180 ÷ 5 = 108, exato

   A entrada com que a página carrega. A conferência a fazer nela é dividir a diagonal pelo lado: 9,7082 ÷ 6 é 1,618, que é a razão áurea, e essa razão vale em todas as linhas da tabela e em todo pentágono regular que já existiu. Esta é também a linha que se alinha com as duas páginas vizinhas no mesmo comprimento de lado: lado 6 dá 61,9372 aqui, contra 93,5307 na página do hexágono e 173,8234 na do octógono — mesma aresta, mais lados, mais área. O pentágono é o menor dos três e também o mais largo para a área que tem, já que com só cinco lados é o menos parecido com um círculo dos três.

2. Um lado de 1

   1. Perímetro: 5 × 1 = 5
   2. Diagonal: φ × 1 = 1,6180339…, que arredonda para 1,618
   3. Apótema: 1 ÷ (2 × tan 36°) = 0,688190…, que arredonda para 0,6882
   4. Área: 1,7204774… × 1 = 1,7204774…, que arredonda para 1,7205
   5. Ângulo interno: 108

   O pentágono unitário, e a linha em que as constantes aparecem sozinhas: a área é 1,7205, que é a constante de área inteira, e a diagonal é 1,618, que é a própria razão áurea. Vale guardar as duas nessa forma. Compare a área com a do quadrado de lado um, que é 1, e com a do triângulo, 0,433, e a do hexágono, 2,598: cinco lados cai entre o quadrado e o hexágono, que é o padrão que a família inteira segue.

3. Um lado de 3

   1. Perímetro: 5 × 3 = 15
   2. Diagonal: φ × 3 = 4,854101…, que arredonda para 4,8541
   3. Apótema: 3 ÷ (2 × tan 36°) = 2,064572…, que arredonda para 2,0646
   4. Área: 1,7204774… × 9 = 15,484296…, que arredonda para 15,4843
   5. Ângulo interno: 108

   A linha que mostra a razão áurea no seu aspecto mais desajeitado e, por isso mesmo, mais convincente: a diagonal é 4,8541 e o lado é 3, e 4,8541 ÷ 3 é 1,618. Uma razão que dá os mesmos três dígitos no lado 1, no lado 3 e no lado 6 é propriedade da figura e não da aritmética. Esta linha tem também a área e o perímetro mais próximos da tabela — 15,4843 contra 15 —, o que é um quase empate e não uma igualdade, e as duas são grandezas diferentes em unidades diferentes de qualquer modo.

4. Um lado de 10

   1. Perímetro: 5 × 10 = 50
   2. Diagonal: φ × 10 = 16,180339…, que arredonda para 16,1803
   3. Apótema: 10 ÷ (2 × tan 36°) = 6,881909…, que arredonda para 6,8819
   4. Área: 1,7204774… × 100 = 172,047740…, que arredonda para 172,0477
   5. Ângulo interno: 108

   Um pentágono de dez centímetros, mais ou menos o tamanho de uma lajota de calçada. O apótema de 6,8819 é a figura com que se demarca: o dobro dele, 13,7638, é a largura entre lados planos. Há uma coincidência nesta linha que vale apontar antes que ela pareça um erro — o apótema aqui, 6,8819, tem os mesmos quatro dígitos da área no lado 2, mais acima na tabela. As duas são a mesma expressão com raiz alcançada de direções diferentes, uma delas um comprimento e a outra uma área, e o fato de compartilharem quatro dígitos nesses dois tamanhos não significa nada além disso.

5. Um lado de 0

   1. Perímetro: 5 × 0 = 0
   2. Diagonal: φ × 0 = 0
   3. Apótema: 0 ÷ (2 × tan 36°) = 0
   4. Área: 1,7204774… × 0 = 0
   5. Ângulo interno: (5 − 2) × 180 ÷ 5 = 108

   Zero é uma entrada legal e não uma caixa vazia, e esta linha deixa mais claro do que qualquer outra o que é o ângulo interno: um pentágono de lado zero colapsou num ponto, quatro das cinco figuras são zero, e o ângulo interno continua 108 graus. Ele é propriedade da figura e não do tamanho, então sobrevive ao tamanho sumir por inteiro. Deixar a caixa em branco é o outro caso: sem nada nela, a página não mostra resultado nenhum, porque não há de onde partir.

A página é só para pentágonos regulares: os cinco lados do mesmo comprimento e os cinco ângulos de 108 graus. Um pentágono que não seja regular — um em forma de casa, por exemplo, ou um alongado — não tem um comprimento de lado único e não pode ser descrito por um número só, e a página vai silenciosamente devolver o pentágono regular com aquele lado, em vez de avisar que a figura que você tem em mente é outra. As saídas estão em centímetros e centímetros quadrados seja qual for a unidade escolhida na lista, então um lado digitado em polegadas volta como resposta em centímetros que você mesmo precisa converter. Quatro casas decimais são uma largura de exibição e não uma afirmação de precisão, e são generosas para um lado medido; os dois últimos dígitos não são significativos, a menos que a entrada fosse exata. O ângulo interno é exato em 108 graus e é impresso sem decimais por causa disso, mas é o mesmo número em todas as linhas, então uma página que pareça não responder a uma mudança de lado não congelou — quatro das cinco figuras se moveram. Há uma diagonal nesta página e não duas, o que não é uma omissão: as cinco diagonais de um pentágono regular têm todas o mesmo comprimento, então não existe um par mais longo e mais curto para imprimir. A página é bidimensional e não tem campo para espessura de material, então ela não dá o volume de um prisma pentagonal nem o peso de uma placa pentagonal. Ela também não cobre a estrela de cinco pontas traçada a partir das diagonais, que é uma figura feita de vários pentágonos em triângulos e não um pentágono.

Por que a diagonal de um pentágono é sempre 1,618 vez o lado?

Porque esse número é a razão áurea, e um pentágono regular é um dos lugares mais simples onde ela aparece. A razão é definida como aquela em que o todo está para a parte maior assim como a parte maior está para a menor, e as diagonais de um pentágono se cortam exatamente nessa proporção — o que faz a razão entre a diagonal e o lado ser essa mesma razão de novo. Vale em todo pentágono de todo tamanho, e é por isso que a coluna da diagonal da tabela de referência pode ser conferida dividindo a diagonal de qualquer linha pelo lado dela.

Por que a página mostra só uma diagonal, se a do hexágono mostra duas?

Porque um pentágono regular tem um comprimento único de diagonal. Toda diagonal une dois vértices com exatamente um vértice entre eles, e por simetria as cinco dão o mesmo resultado. Um hexágono é diferente: com seis vértices há dois alcances distintos, um que pula um vértice e um que atravessa reto, e é por isso que aquela página imprime os dois. Imprimir uma diagonal longa e uma curta para o pentágono imprimiria o mesmo número duas vezes e convidaria você a procurar uma diferença que não existe.

Por que o ângulo interno nunca muda quando eu mudo o lado?

Porque os ângulos de um pentágono regular são fixados pelo número de lados e por nada mais. O ângulo interno de um polígono regular é a contagem de lados menos dois, vezes 180 graus, dividido pela contagem de lados; para cinco lados isso dá 108 graus, e nenhum comprimento de lado aparece em lugar nenhum dessa expressão. Um pentágono de lado 1 e um de lado 100 têm os mesmos ângulos e diferem só no tamanho. É por isso que a última coluna da tabela de referência traz o mesmo número em todas as linhas, e é o que faz uma regulagem de esquadria de 54 graus servir para todo pentágono que você vai cortar na vida.

O que é o apótema e por que ele é útil aqui?

É a distância do centro em linha reta até o meio de um lado, e é o raio da maior circunferência que cabe dentro da figura. Num pentágono ele é a figura com que se demarca a peça: o dobro dele é a largura entre lados planos, e os lados planos são fáceis de atravessar com uma régua, enquanto os vértices não são. Se você está marcando um pentágono numa chapa, meça o apótema a partir do centro cinco vezes e você tem os pontos médios dos cinco lados.

Pentágonos regulares ladrilham um piso?

Não, e esta é a única figura da família que não ladrilha. Três pentágonos regulares em volta de um ponto deixam um vão, porque três vezes 108 graus dá 324 e uma volta inteira são 360 — os 36 graus que faltam nunca são preenchidos. É por isso que pisos pentagonais precisam de uma segunda figura para preencher, e é a razão de o pentágono ser mais vezes decorativo do que estrutural, enquanto o hexágono, que ladrilha perfeitamente, é a figura dos azulejos e dos favos de mel.

O lado pode ser zero, e isso é o mesmo que deixar a caixa vazia?

Zero é uma entrada de verdade: quatro das cinco saídas voltam como zero, que é a resposta honesta para um pentágono sem tamanho, e o ângulo interno continua 108 graus porque ele não depende do tamanho de forma alguma. Uma caixa em branco é o outro caso — sem nada digitado, a página não mostra resultado nenhum, porque não há de onde partir. Essa distinção importa enquanto você digita, já que apagar a caixa para redigitar um número não deve fazer surgir uma fileira de zeros.

• Pentagon — the five-sided polygon, with the area, the apothem, the diagonal and the 108-degree interior angle this page computes, and the golden-ratio proportion its diagonals cut each other in — Wolfram MathWorld (United States)
• Regular polygon — the family a regular pentagon belongs to, with the interior angle fixed by the side count and the apothem defined as the distance from the centre to a side — Wolfram MathWorld (United States)
• Apothem — the distance from the centre of a regular polygon to the midpoint of a side, which is the radius of the inscribed circle and, doubled, the width of this shape across its flats — Wolfram MathWorld (United States)