Por que a tangente não tem valor em 90 graus?

Porque a tangente é o seno dividido pelo cosseno, e em noventa graus o cosseno é zero. O ponto subiu até o topo da circunferência, a coordenada x dele é zero, e não há por que dividir. O jeito honesto de dizer é que a tangente ali não tem valor — e não que ela é muito grande. O seno e o cosseno nesse ângulo estão os dois perfeitamente definidos, um e zero, e a tabela abaixo continua listando os dois.

Informo o ângulo em graus ou em radianos?

Tanto faz — a caixa tem um seletor de unidade ao lado, e a leitura é do mesmo ângulo nos dois casos. Trinta graus e 0,5236 radianos dão os mesmos três números com quatro casas. A diferença só aparece quando você compara com uma fonte que assume uma unidade, o que é o caso da maioria dos livros: uma página que diz que o seno de trinta é um meio está falando de graus.

Para que serve a tabela de trigonometria abaixo?

Doze ângulos, quatro por volta, com as três funções em cada linha. Juntos, os doze cobrem todas as combinações de sinal que as três funções podem assumir, os dois polos da tangente e os quatro quadrantes. Leia uma coluna de cada vez e o padrão de cada função fica visível: o seno sobe até um e volta a descer, o cosseno é a mesma onda deslocada, e a tangente se repete a cada meia volta em vez de a cada volta inteira.

O ângulo pode ser negativo, ou maior que 360 graus?

Pode nos dois casos, e nenhum dos dois é um caso especial. Um ângulo negativo gira no sentido horário em vez do anti-horário, o que cai no mesmo ponto que o positivo correspondente somado a uma volta: menos trinta graus e trezentos e trinta graus são o mesmo ângulo e dão as mesmas três leituras. Qualquer coisa acima de uma volta continua dando voltas — trezentos e noventa é trinta de novo. Só a posição final importa, então a calculadora reduz o ângulo primeiro e depois lê as razões trigonométricas nele.

Existe diferença entre esta página e a da circunferência trigonométrica?

As duas compartilham um campo e concordam até a última casa, de propósito — a ideia é que uma sirva de conferência da outra. A diferença está no que elas mostram. A página da circunferência trigonométrica é construída em torno da figura: um ponto numa circunferência de raio um, as coordenadas dele e os ângulos notáveis com seus valores exatos. Esta página é construída em torno das funções e dos ângulos que são incômodos de desenhar: ângulos negativos, ângulos que passam de uma volta e os dois ângulos em que a tangente não tem valor nenhum.

Por que quatro casas decimais e não mais?

Porque quatro bastam para distinguir a resposta de um livro de uma resposta errada, e depois disso os dígitos deixam de ser sobre o ângulo. Os valores exatos na maioria dos ângulos da tabela são raízes quadradas e frações, e as expansões decimais deles não terminam nem se repetem — o cosseno de trinta graus é raiz de três sobre dois, e 0,8660254037844386 é um truncamento dele, não um número diferente. Imprimir mais dígitos sugeriria uma precisão que o ângulo não tem.

Calculadora de trigonometria

Resultado

0,5000

Seno

Cosseno: 0,8660
Tangente: 0,5774

Uma calculadora de trigonometria pega um ângulo e devolve o seno, o cosseno e a tangente dele. Digite o ângulo, diga se ele está em graus ou em radianos, e a página devolve os três de uma vez — os três números que descrevem onde esse ângulo cai. O seno e o cosseno são duas coordenadas de um mesmo ponto. Desenhe uma circunferência de raio um com o centro na origem, comece no semieixo x positivo e gire no sentido anti-horário o seu ângulo: o ponto em que você para tem uma coordenada x e uma coordenada y, e essas coordenadas são o cosseno e o seno. A tangente é a razão entre os dois, o seno dividido pelo cosseno, que também é a inclinação da reta que vai da origem até esse ponto. Como a tangente é uma razão e não uma coordenada, ela faz uma coisa que as outras duas nunca fazem: ela deixa de existir. Onde o cosseno é zero — em um ângulo reto e em três quartos de volta — não há por que dividir, então a tangente ali não é um número muito grande, é número nenhum. Esta página recusa esses ângulos e diz quais são, em vez de imprimir um valor enorme e deixar você adivinhar que ele quer dizer a mesma coisa. A tabela abaixo dispõe os três em doze ângulos, quatro por volta, para que o padrão fique visível em vez de aceito na confiança. Ângulos maiores que uma volta são entrada comum aqui: trezentos e noventa graus é o mesmo ângulo que trinta, e a página lê assim. Tudo abaixo aparece com quatro casas decimais — o bastante para conferir com um livro, e honesto quanto ao fato de que as respostas exatas aqui são raízes e frações que decimal nenhum termina.

Seno, cosseno e tangente em doze ângulos ao redor da circunferência

θ (graus)	sen θ	cos θ	tan θ
0	0	1	0
30	0.5	0.866	0.5774
45	0.7071	0.7071	1
60	0.866	0.5	1.7321
90	1	0	—
120	0.866	-0.5	-1.7321
135	0.7071	-0.7071	-1
150	0.5	-0.866	-0.5774
180	0	-1	0
210	-0.5	-0.866	0.5774
270	-1	0	—
330	-0.5	0.866	-0.5774

Doze ângulos, quatro por volta, e os dois travessões da coluna da tangente são o motivo da tabela: em noventa e em duzentos e setenta graus a tangente não tem valor, e a página diz isso com um travessão em vez de com um número grande. Leia a coluna do seno desde o topo e ela sobe de zero até um no primeiro quarto de volta, volta a zero na meia volta, fica negativa e retorna — uma onda completa por volta. A coluna do cosseno é a mesma onda um quarto de volta antes. A tangente é diferente em natureza: ela se repete a cada meia volta em vez de a cada volta inteira, e é por isso que as quatro linhas de zero a cento e oitenta já contêm a história inteira dela. Repare também onde as duas colunas positivas atingem o pico: o seno chega a um em noventa exatamente onde o cosseno chega a zero, e a tangente é a razão entre esses dois, que é o que faz desse ângulo o polo. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.

Fórmula

sen θ = oposto ÷ hipotenusa cos θ = adjacente ÷ hipotenusa tan θ = sen θ ÷ cos θ

θ: O ângulo, em graus ou radianos. Ele pode ser negativo e pode passar de uma volta inteira — só importa onde ele cai na circunferência
oposto / adjacente: Os dois catetos de um triângulo retângulo que contém o ângulo θ: o lado que está à frente de θ e o lado que fica ao lado dele. Sobre uma hipotenusa de um, eles viram as duas coordenadas que o seno e o cosseno leem
hipotenusa: O lado mais longo de um triângulo retângulo, aquele que está à frente do ângulo reto. É a divisão por ele que mantém o seno e o cosseno entre menos um e um

Esta página responde a uma pergunta de três jeitos: dado um ângulo, quais são o seno, o cosseno e a tangente dele? Recorra a ela quando você já tem o ângulo — a inclinação de um telhado que você conhece em graus e quer como declividade, uma fase que você conhece em radianos, uma direção que você vai decompor em componentes — e quer as três razões trigonométricas juntas em vez de uma por vez. A tabela de valores das funções trigonométricas em doze ângulos está ali pela mesma razão: a maioria dos ângulos que alguém encontra de fato é um desses doze, e ter as três funções lado a lado é como se percebe que o seno de trinta e o cosseno de sessenta são o mesmo número. Recorra à página da circunferência trigonométrica quando o que você quer é enxergar o ponto em si, e à página do triângulo retângulo quando o que você conhece são dois lados em vez de um ângulo. E se você tem uma razão e quer o ângulo de volta, esse é o sentido inverso — o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo não dizem qual é o ângulo, e as páginas inversas fazem esse trabalho.

Exemplos resolvidos

Um ângulo de 30 graus
1. O ângulo está no primeiro quadrante, então as três leituras são positivas
2. O ponto a 30 graus na circunferência de raio um é (√3/2, 1/2)
3. Então o cosseno é √3/2 e o seno é 1/2, e a tangente é a razão entre eles, √3/3
O ângulo com que a página carrega, e a primeira linha da tabela abaixo. Os valores exatos são um meio, raiz de três sobre dois e raiz de três sobre três; os decimais mostrados são esses três arredondados para quatro casas, e 0,5774 é o que vale notar — um terço de uma raiz, e não um decimal que se repete.
Um ângulo de 45 graus
1. Em 45 graus o ponto está sobre a reta y = x, então as duas coordenadas são iguais
2. Coordenadas iguais querem dizer que o seno e o cosseno são o mesmo número, √2/2
3. A razão entre dois números iguais é exatamente 1, e é por isso que a tangente aqui é exata
O único ângulo entre zero e noventa graus cuja tangente é exata — 1, e não 0,9999. O seno e o cosseno valem os dois 0,7071, e esse é o ponto em que eles se cruzam no primeiro quadrante: passado esse ângulo o seno continua subindo e o cosseno começa a cair. É também o único ângulo em que a tangente, sendo o seno dividido pelo cosseno, sai redonda.
Um ângulo no segundo quadrante, 135 graus
1. 135 graus é 45 graus depois de um ângulo reto, então o ponto está no segundo quadrante
2. A coordenada y dele continua positiva, então o seno continua 0,7071
3. A coordenada x agora é negativa, então o cosseno é −0,7071
4. A tangente é a razão entre um positivo e um negativo, então é negativa
Os sinais são o motivo deste exemplo. O seno de 135 graus é exatamente o seno de 45, o cosseno trocou de sinal, e a tangente trocou junto. Lendo a tabela abaixo de cima para baixo, a coluna do seno é positiva nos dois primeiros quadrantes e negativa nos dois últimos; a coluna do cosseno muda em noventa; e a coluna da tangente muda em noventa também, que é o mesmo lugar onde ela deixa de existir.

Limitações

Três coisas que esta página não faz. Ela lê um ângulo e dá razões; não vai no sentido contrário. Se você tem 0,5 e quer o ângulo cujo seno é isso, nada aqui vai dizer — as páginas inversas fazem isso, e são uma pergunta genuinamente diferente com um conjunto de respostas genuinamente diferente, porque um seno de 0,5 pertence a mais de um ângulo. Em segundo lugar, a tangente de um ângulo reto ou de três quartos de volta é recusada em vez de aproximada, e a mesma recusa cobre todo ângulo que se reduza a um desses dois, incluindo os negativos e os que passam de uma volta. Esse é o tratamento honesto, mas significa que um ângulo de 450 graus devolve erro, ainda que 450 seja um ângulo perfeitamente razoável para o seno e o cosseno. Em terceiro lugar, as leituras saem com quatro casas decimais. Para os doze ângulos da tabela isso não basta para ver as respostas exatas — o cosseno de trinta é 0,866 aqui e √3/2 exatamente — e expansão decimal nenhuma basta, porque os valores exatos nesses ângulos são irracionais. A tabela abaixo imprime os decimais; se você precisa das raízes em si, elas estão na tabela de valores exatos usual.

Perguntas frequentes

Por que a tangente não tem valor em 90 graus?: Porque a tangente é o seno dividido pelo cosseno, e em noventa graus o cosseno é zero. O ponto subiu até o topo da circunferência, a coordenada x dele é zero, e não há por que dividir. O jeito honesto de dizer é que a tangente ali não tem valor — e não que ela é muito grande. O seno e o cosseno nesse ângulo estão os dois perfeitamente definidos, um e zero, e a tabela abaixo continua listando os dois.
Informo o ângulo em graus ou em radianos?: Tanto faz — a caixa tem um seletor de unidade ao lado, e a leitura é do mesmo ângulo nos dois casos. Trinta graus e 0,5236 radianos dão os mesmos três números com quatro casas. A diferença só aparece quando você compara com uma fonte que assume uma unidade, o que é o caso da maioria dos livros: uma página que diz que o seno de trinta é um meio está falando de graus.
Para que serve a tabela de trigonometria abaixo?: Doze ângulos, quatro por volta, com as três funções em cada linha. Juntos, os doze cobrem todas as combinações de sinal que as três funções podem assumir, os dois polos da tangente e os quatro quadrantes. Leia uma coluna de cada vez e o padrão de cada função fica visível: o seno sobe até um e volta a descer, o cosseno é a mesma onda deslocada, e a tangente se repete a cada meia volta em vez de a cada volta inteira.
O ângulo pode ser negativo, ou maior que 360 graus?: Pode nos dois casos, e nenhum dos dois é um caso especial. Um ângulo negativo gira no sentido horário em vez do anti-horário, o que cai no mesmo ponto que o positivo correspondente somado a uma volta: menos trinta graus e trezentos e trinta graus são o mesmo ângulo e dão as mesmas três leituras. Qualquer coisa acima de uma volta continua dando voltas — trezentos e noventa é trinta de novo. Só a posição final importa, então a calculadora reduz o ângulo primeiro e depois lê as razões trigonométricas nele.
Existe diferença entre esta página e a da circunferência trigonométrica?: As duas compartilham um campo e concordam até a última casa, de propósito — a ideia é que uma sirva de conferência da outra. A diferença está no que elas mostram. A página da circunferência trigonométrica é construída em torno da figura: um ponto numa circunferência de raio um, as coordenadas dele e os ângulos notáveis com seus valores exatos. Esta página é construída em torno das funções e dos ângulos que são incômodos de desenhar: ângulos negativos, ângulos que passam de uma volta e os dois ângulos em que a tangente não tem valor nenhum.
Por que quatro casas decimais e não mais?: Porque quatro bastam para distinguir a resposta de um livro de uma resposta errada, e depois disso os dígitos deixam de ser sobre o ângulo. Os valores exatos na maioria dos ângulos da tabela são raízes quadradas e frações, e as expansões decimais deles não terminam nem se repetem — o cosseno de trinta graus é raiz de três sobre dois, e 0,8660254037844386 é um truncamento dele, não um número diferente. Imprimir mais dígitos sugeriria uma precisão que o ângulo não tem.

Referências

Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, their domains, and why the tangent is undefined where the cosine is zero — Wolfram MathWorld (United States)
Sine — the function the unit circle reads off as the y-coordinate, its period, and the values it takes at the special angles — Wolfram MathWorld (United States)
Tangent — the ratio the other two functions produce, its period of half a turn rather than a whole one, and its poles at ninety and two hundred and seventy degrees — Wolfram MathWorld (United States)
Sine, Cosine and Tangent — a first-principles walk through the three ratios in a right triangle, with the special angles worked out rather than asserted — Math is Fun (United Kingdom)

Calculadoras relacionadas

Calculadora de círculo trigonométricoSeno, cosseno e tangente lidos no círculo trigonométrico.Calculadora de triângulo retânguloResolva o triângulo retângulo com dois lados ou um ângulo.Calculadora de cossenoCosseno de um ângulo em graus ou radianos.Calculadora de cotangenteCotangente de um ângulo em graus ou radianos.