Calculadora de círculo trigonométrico

sen θ = y, cos θ = x, tan θ = y ÷ x

θ

O ângulo, medido no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo. Pode ser negativo e pode passar de uma volta inteira — só importa onde ele para no círculo

cos θ

A coordenada x do ponto em que o ângulo para. A zero graus o ponto está em (1, 0), então o cosseno é um; a 90 graus ele é zero

sen θ

A coordenada y desse mesmo ponto. A zero graus ela é zero; a 90 graus o ponto está no topo do círculo e o seno é um

tan θ

O seno dividido pelo cosseno, que é a inclinação da reta que vai da origem até o ponto. Ela não tem valor onde o cosseno é zero, porque é ali que a reta é vertical

Raio um

A razão de as coordenadas poderem ser lidas diretamente. O ponto está a uma unidade da origem, então por Pitágoras as duas coordenadas sempre elevadas ao quadrado somam um — que é a identidade cos²θ + sen²θ = 1

Graus ou radianos

A lista de unidades converte o que você digitar para graus antes de a conta rodar, então a resposta é a mesma de qualquer jeito. Um quarto de volta são 90 graus, ou meio pi em radianos

Quatro casas decimais

A largura com que as leituras são escritas. Só um punhado de leituras sai exata — o seno de 30 é meio, a tangente de 45 é exatamente um, e os valores que ficam sobre os eixos são todos números inteiros —, e todo o resto é um valor como raiz de dois sobre dois que precisa ser arredondado no fim

O círculo trigonométrico é a tabela que todo curso de trigonometria manda decorar, porque as três funções trigonométricas não são nada além das coordenadas de um ponto nele — e esta página é essa tabela com uma caixa onde você digita qualquer ângulo. Os usos imediatos são aqueles em que você tem um ângulo e precisa das suas componentes: decompor uma força ou uma velocidade em partes horizontal e vertical, que é exatamente o par seno e cosseno; calcular uma fase em eletrônica ou um fator de potência; achar o alcance horizontal de algo lançado em ângulo. Topografia e navegação usam isto sempre que um rumo tem de virar uma distância para leste e uma distância para norte, que são exatamente as duas coordenadas. Gráficos e jogos usam para tudo o que gira — um elemento que roda, uma câmera que orbita, um ponto numa roda —, porque a posição de um ponto em rotação é o cosseno e o seno, e escrever isso uma vez com esta função em vez de com aritmética caso a caso é o que deixa o código de rotação curto. Depois há o uso de puro aprendizado, que é para o que esta página é de fato feita: os ângulos especiais valem ser sabidos de cor, e poder digitar 90 e ver a tangente se recusar é uma maneira muito melhor de lembrar que ela não tem valor ali do que ouvir isso de alguém. A tabela de referência abaixo é o mesmo conjunto de ângulos, escrito como frações exatas em vez de decimais, porque é nessa forma que eles são realmente usados.

1. Um ângulo de 30 graus

   1. Gire 30 graus no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo
   2. O ponto em que você para é (√3/2, 1/2)
   3. O cosseno é a coordenada x: 0,8660
   4. O seno é a coordenada y: 0,5
   5. A tangente é a razão: 0,5 ÷ 0,8660 = 0,5774

   O ângulo com que a página carrega, e a primeira linha da tabela em que os ângulos especiais costumam ser ensinados. Os valores exatos dele são raiz de três sobre dois, um meio e raiz de três sobre três — aqui aparecem decimais, e a tabela de referência abaixo traz as frações exatas.

2. Um ângulo de 45 graus

   1. Gire 45 graus no sentido anti-horário, o que põe o ponto sobre a diagonal
   2. O seno e o cosseno são iguais porque o ponto está a 45 graus dos dois eixos: √2/2 = 0,7071
   3. A tangente é a razão entre eles, e um número dividido por ele mesmo dá 1

   O único ângulo entre zero e noventa em que o seno e o cosseno são iguais, o que acontece porque o ponto cai sobre a reta y = x. A tangente exatamente igual a 1 é a álgebra confirmando isso — e é a razão de uma inclinação de 45 graus ser chamada de inclinação um para um.

3. Um ângulo de 180 graus

   1. Gire meia volta, o que leva o ponto ao eixo x negativo
   2. O cosseno é a coordenada x: −1
   3. O seno é a coordenada y: 0
   4. A tangente é zero dividido por menos um, o que dá 0

   Meia volta, e o sinal que pega as pessoas: o cosseno é menos um e não um, porque o ponto foi para o lado oposto do círculo. O seno volta exatamente zero aqui ainda que a aritmética dentro da página produza um número muito pequeno no caminho — a leitura é arredondada no fim, que é a maneira honesta de lidar com isso.

4. Um ângulo de 390 graus

   1. Uma volta completa traz você de volta ao início, então 390 graus é o mesmo que 30
   2. O ponto é (√3/2, 1/2), exatamente como era para 30 graus

   As mesmas três leituras do exemplo de 30 graus, porque dar mais uma volta cai no mesmo ponto. É isso que torna a página utilizável para ângulos que não estão entre zero e uma volta — a redução é feita para você em vez de ser algo a calcular à mão antes.

Esta página recebe um ângulo e devolve o seno, o cosseno e a tangente dele. A tangente não tem valor a 90 graus nem a 270, nem em qualquer ângulo que difira desses por um número inteiro de voltas, porque o ponto foi para onde a coordenada x dele é zero e a razão não tem por que dividir. Quando isso acontece a página recusa e explica, em vez de imprimir um número muito grande, e o seno e o cosseno estão perfeitamente bem definidos ali — um e zero —, mas como esta página devolve os três juntos, ela retém os três e não dois deles; a tabela de referência abaixo traz os valores exatos desses dois. Ângulos muito próximos desses valores são aceitos e dão tangentes muito grandes, o que é matematicamente correto — uma inclinação quase vertical é mesmo íngreme —, então um quase-acerto não é a mesma coisa que um acerto e a página não trata como se fosse. As três leituras são números puros, sem unidade alguma, diga o que disser a lista: ela escolhe como o ângulo é informado, não o que sai. Quatro casas decimais é uma largura de exibição e não uma afirmação sobre precisão, e a maioria dos ângulos não tem valor decimal exato nenhum — a tabela de referência dá os comuns como frações exatas justamente por isso. Nada aqui resolve problemas inversos: a página transforma um ângulo em coordenadas mas não transforma coordenadas de volta em um ângulo, e não dá comprimento de arco, área de setor nem qualquer medida de quanto o ângulo percorreu o círculo.

Por que a tangente não tem resposta a 90 graus?

Porque a tangente é o seno dividido pelo cosseno, e a 90 graus o cosseno é zero. O ponto foi para o topo do círculo, a coordenada x dele é zero e não há por que dividir. A descrição honesta é que a tangente não tem valor ali — não que ela seja enorme. O seno e o cosseno estão perfeitamente bem definidos nesse ângulo: o ponto está no topo do círculo, então o seno é um e o cosseno é zero. Como esta página reporta os três juntos, ela não dá nenhum deles em vez de dar dois: ela recusa o ângulo e diz por quê. A tabela de referência abaixo continua trazendo os valores exatos dessa linha.

Posso informar um ângulo maior que 360 graus?

Pode, e ângulos negativos também. Só importa onde o ângulo para no círculo, então 390 graus dão exatamente as mesmas três leituras que 30, e menos 30 dá o mesmo que 330. A página reduz o ângulo para você em vez de obrigá-lo a fazer isso à mão antes, o que importa porque rumos e rotações rotineiramente passam de uma volta.

Por que os valores são decimais se a tabela da escola mostra frações?

Porque o painel de resultados é uma calculadora e a tabela é um quadro. Os valores exatos dos ângulos especiais são raiz de dois sobre dois, raiz de três sobre dois e seus parentes, e esses não podem ser escritos como decimais exatos — 0,7071 é uma versão arredondada de um deles. A tabela de referência abaixo dá os mesmos ângulos como frações exatas, que é a forma em que vale memorizá-los.

Para que serve a tangente, na prática?

Ela é uma inclinação. A tangente do ângulo é a subida dividida pelo avanço da reta que vai da origem até o ponto, e é por isso que ela aparece em declividades, em inclinações de telhado e em qualquer coisa medida como razão entre vertical e horizontal. O seno e o cosseno são coordenadas; a tangente é a razão entre elas, e essa diferença é a razão de só a tangente ter buracos no seu domínio.

A unidade importa?

A lista de unidades escolhe como o ângulo é informado — graus, radianos ou grados — e nada mais. As três leituras são números simples, sem unidade nenhuma, porque uma coordenada num círculo de raio um não tem unidade e uma razão entre duas delas também não tem. A página converte o seu ângulo para graus internamente, então 0,5236 radianos e 30 graus dão respostas idênticas.

Isto é a mesma coisa que uma calculadora de triângulo retângulo?

É o caso particular de uma. Em qualquer triângulo retângulo o seno é o cateto oposto sobre a hipotenusa e o cosseno é o adjacente sobre a hipotenusa; no círculo trigonométrico a hipotenusa é um, então as razões são apenas os dois catetos. Todo triângulo retângulo é uma cópia em escala de um desenho no círculo trigonométrico, e é por isso que os números desta página servem para triângulos de qualquer tamanho.

• Unit Circle — the circle of radius one, why the coordinates of a point on it are the cosine and the sine, and the special angles that have exact values — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, their domains, and why the tangent is undefined wherever the cosine is zero — Wolfram MathWorld (United States)
• Tangent — the ratio this page divides to get, its period of a half turn rather than a whole one, and its poles at ninety and two hundred and seventy degrees — Wolfram MathWorld (United States)