Calculadora de ângulo de referência

a = ((θ mod 360) + 360) mod 360 a > 180° → a = 360° − a ângulo de referência = min(a, 180° − a)

θ

O ângulo que você informa, em graus. Pode ser qualquer número real: positivo ou negativo, menor que uma volta ou muitas voltas além dela, inteiro ou fracionário. Ângulos negativos são medidos no sentido horário a partir do eixo horizontal, que é a convenção da topografia e de tudo que gira para o outro lado

a

O ângulo dobrado na primeira meia volta: a primeira linha traz a entrada para a faixa de 0 até 360, sem incluir o 360, e a segunda dobra de volta tudo que passar de 180. Depois das duas, o ângulo está em algum lugar entre 0 e 180, que é toda a informação de que um ângulo de referência precisa, porque as duas metades do círculo são imagens espelhadas uma da outra

Ângulo de referência

O ângulo agudo entre o lado terminal e o eixo horizontal, em graus, sempre entre 0 e 90. É uma distância e não uma rotação, e é por isso que um ângulo de 180 graus tem ângulo de referência 0: o lado terminal está deitado sobre o eixo do qual ele é medido. Impresso com duas casas decimais, igual à página do ângulo coterminal, para que um ângulo dado com um quarto de grau dê uma resposta na mesma precisão

mod 360

O resto depois de dividir por uma volta completa, que é o que descarta as voltas inteiras extras. A duplicação — somar 360 e depois tirar o resto outra vez — é necessária porque o operador de resto na maioria das linguagens devolve um resultado negativo para uma entrada negativa, então menos 45 sairia como menos 45 em vez de 315, e todo ângulo negativo seria dobrado pelo ramo errado

min(a, 180° − a)

A distância até a parte mais próxima do eixo horizontal: num círculo de raio um, o ângulo e o ponto a 180 graus dele são os dois lugares em que o lado terminal encontra o eixo, então o ângulo de referência é o mais próximo dos dois. Escrita como uma única expressão em vez de quatro regras de quadrante, ela também cobre os casos de eixo sem nenhum ramo especial, que é a razão inteira de a fórmula estar escrita assim

Quadrante

Em qual quarto do círculo o lado terminal acaba depois que o ângulo foi trazido e dobrado: o primeiro quadrante vai de 0 a 90 graus, o segundo de 90 a 180, o terceiro de 180 a 270 e o quarto de 270 a 360. Os quatro ângulos que ficam exatamente sobre um eixo não pertencem a quadrante nenhum, e esta página os imprime assim em vez de arquivá-los com um vizinho

Use esta página quando estiver avaliando uma função trigonométrica à mão, que é para isso que os ângulos de referência servem, e quando precisar do quadrante junto. Os dois andam juntos: o ângulo de referência dá o módulo do seno, do cosseno ou da tangente, e o quadrante dá o sinal, e uma página que desse só um deles deixaria você fazendo a outra metade de memória. Os ângulos em que isso mais importa são os que se encontram num livro didático — 120, 135, 150, 210, 225, 240, 300, 315, 330 —, todos com ângulos de referência tirados da mesma lista curta: 30, 45 e 60. É esse o ponto da ideia. Existem infinitos ângulos, mas só alguns poucos ângulos de referência que valem a pena saber, então uma tabela de nove ângulos pode ser reduzida a uma tabela de três, e o resto é escrituração de sinais. A página também é útil sozinha, sem trigonometria nenhuma, como um jeito de orientar um ângulo. Se um topógrafo lhe dá um azimute de 315 graus, o ângulo de referência de 45 diz que ele está a 45 graus do eixo mais próximo, e o quadrante diz qual eixo; a mesma leitura responde perguntas sobre direção do vento, coordenadas de tela e qualquer outra coisa medida como um ângulo a partir de uma direção fixa. Vale experimentar dois casos na página antes de precisar deles. Informe 180 e veja que a resposta é 0 — o lado terminal está sobre o eixo, e a distância até ele é nada. Informe menos 45 e veja que a resposta é 45 — ângulos negativos são trazidos de volta em vez de recusados, e o ângulo de referência de um ângulo no sentido horário é o mesmo do seu espelho anti-horário. E se você estiver comparando esta página com a calculadora de ângulo coterminal, as duas recebem a mesma entrada e respondem a perguntas diferentes: aquela dá outro ângulo com o mesmo lado terminal, esta dá a distância desse lado terminal até o eixo mais próximo. O par junto é o que um problema de trigonometria costuma precisar, que é um lado terminal identificado tanto pela posição quanto pela distância até o eixo.

1. Um ângulo de 210 graus

   1. Volta: 210 mod 360 = 210, já dentro de uma volta
   2. Dobra: 210 é mais que 180, então 360 − 210 = 150
   3. Distância ao eixo mais próximo: min(150, 180 − 150) = min(150, 30) = 30

   É o ângulo com que a página carrega e o caso de livro didático: 210 graus está no terceiro quadrante, onde tanto o seno quanto o cosseno são negativos, e seu ângulo de referência é 30. Então o seno de 210 graus é menos o seno de 30, que é menos um meio, e o cosseno é menos o cosseno de 30, que é menos a raiz de três sobre dois. Os dois fatos de que você precisa para isso estão nesta página e na tabela dela: o módulo vem do ângulo de referência, os sinais vêm do quadrante.

2. Um ângulo de 135 graus

   1. Volta: 135 mod 360 = 135
   2. Dobra: 135 não é mais que 180, então fica 135
   3. Distância ao eixo mais próximo: min(135, 180 − 135) = min(135, 45) = 45

   O segundo quadrante, e o ângulo de referência que vale saber de cor junto com 30 e 60. Um ângulo de 135 graus está 45 graus além do eixo vertical, então seu ângulo de referência é 45 e seu seno e seu cosseno têm o mesmo módulo — a raiz de dois sobre dois —, com o seno positivo e o cosseno negativo. Repare no formato dos dois passos: a dobra é o que move o ângulo para a segunda metade do círculo, e a distância é o que o leva pelo resto do caminho até o eixo. Os dois são necessários para qualquer coisa nos quadrantes dois, três ou quatro.

3. Um ângulo de 100,25 graus

   1. Volta: 100,25 mod 360 = 100,25
   2. Dobra: não é mais que 180, então fica 100,25
   3. Distância ao eixo mais próximo: 180 − 100,25 = 79,75

   A linha que justifica as duas casas decimais. Um ângulo um quarto de grau além de 100 dá um ângulo de referência um quarto de grau aquém de 80, e uma página que arredondasse suas respostas para graus inteiros imprimiria 80 e erraria por um quarto de grau. Ângulos nessa faixa são normais em topografia e em astronomia, onde são medidos em minutos de arco e não em graus inteiros, e 79,75 é o tipo de resposta que precisa sobreviver à passagem pela página intacta.

4. Um ângulo de 180 graus

   1. Volta: 180 mod 360 = 180
   2. Dobra: 360 − 180 = 180
   3. Distância ao eixo mais próximo: min(180, 180 − 180) = min(180, 0) = 0

   O caso que pega as pessoas, e o motivo de o último passo estar escrito como uma distância e não como um ângulo pelo qual se gira. Um ângulo de referência mede a que distância o lado terminal está do eixo horizontal, e a 180 graus o lado terminal está deitado sobre esse eixo, então a distância é zero. A resposta é 0 e não 180, e este ângulo não pertence a quadrante nenhum — a tabela o imprime como estando sobre um eixo em vez de arquivá-lo no segundo ou no terceiro quadrante, o que estaria errado nos dois casos.

5. Um ângulo de menos 45 graus

   1. Volta: −45 vira −45 + 360 = 315
   2. Dobra: 315 é mais que 180, então 360 − 315 = 45
   3. Distância ao eixo mais próximo: min(45, 180 − 45) = min(45, 135) = 45

   Um ângulo negativo, medido no sentido horário a partir do eixo horizontal, e a linha que mostra o passo da volta ganhando o seu sustento: menos 45 tem o mesmo lado terminal que 315 graus, que está no quarto quadrante, e seu ângulo de referência é 45 — o mesmo do 45 positivo. Ângulos no sentido horário e anti-horário do mesmo tamanho compartilham um ângulo de referência e diferem apenas no quadrante, que é exatamente a divisão de trabalho entre as duas colunas da tabela de referência.

A página trabalha em graus, e os ângulos de referência que imprime estão em graus; radianos não são aceitos no campo nem impressos, então um ângulo dado em radianos precisa ser convertido antes — multiplique por 180 e divida por pi. A resposta está sempre entre 0 e 90 inclusive, o que significa que dois ângulos bem diferentes podem compartilhar uma resposta: 30, 150, 210 e 330 têm todos ângulo de referência 30, e o ângulo de referência sozinho não consegue dizer com qual deles você começou. Para isso você precisa do quadrante, que esta página dá na tabela mas não imprime no painel de resultados, porque um quadrante não tem melhor nem pior e os distintivos deste site significam alguma coisa quando aparecem. Os quatro ângulos que ficam exatamente sobre um eixo — 0, 90, 180 e 270, e seus negativos e múltiplos — não têm quadrante nenhum, e a página diz isso em vez de atribuí-los ao mais próximo; um leitor que precise deles agrupados com um quadrante tem de decidir qual convenção o livro dele usa. O campo do ângulo aceita qualquer coisa até um milhão de graus em qualquer um dos sentidos, o que é muito além de qualquer uso real, mas as voltas inteiras extras são descartadas, então a página não é uma ferramenta para contar revoluções. A saída tem uma largura de exibição de duas casas decimais e não uma afirmação sobre precisão, e é a largura certa para um ângulo medido com um quarto ou um centésimo de grau e generosa demais para um medido em graus inteiros. A página não avalia funções trigonométricas: ela dá o ângulo de referência e, na tabela, o quadrante, que são os dois ingredientes, mas o valor propriamente dito do seno, do cosseno ou da tangente é um passo separado e a página não o dá. Ela também não tem nada a dizer sobre ângulos em três dimensões, coordenadas esféricas ou rotações que não sejam em torno de um eixo fixo num plano, coisas que usam ideias aparentadas mas não esta.

Como achar o ângulo de referência de um ângulo no terceiro quadrante?

Subtraia 180 dele. Um ângulo de 210 graus no terceiro quadrante tem ângulo de referência 30; um de 240 tem 60; um de 225 tem 45. A regra geral para o círculo inteiro é: subtraia 180 dos ângulos entre 180 e 270, subtraia o ângulo de 360 para os ângulos entre 270 e 360, subtraia-o de 180 no segundo quadrante, e tome-o como está no primeiro. Esta página aplica todas as quatro regras por meio de uma única expressão, e é por isso que ela também dá conta dos casos de eixo, em que as quatro regras erram.

Por que o ângulo de referência de 180 graus não é 180?

Porque um ângulo de referência é uma distância e não uma rotação. Ele mede a que distância o lado terminal está do eixo horizontal, e a 180 graus o lado terminal está deitado sobre esse eixo — a distância é zero. O mesmo raciocínio dá 90 tanto para 90 quanto para 270 graus, já que esses dois lados terminais estão em cima do eixo vertical e a 90 graus do horizontal. Os quatro ângulos ficam sobre um eixo e não pertencem a quadrante nenhum, e a tabela desta página imprime isso em vez de arquivá-los no mais próximo.

O ângulo de referência pode ser negativo?

Não. A resposta está sempre entre 0 e 90 graus inclusive, seja o que for que entre. Um ângulo negativo não é recusado: menos 45 graus é medido no sentido horário a partir do eixo horizontal, o que é o mesmo lado terminal que 315 graus, e seu ângulo de referência é 45. Ângulos no sentido horário e anti-horário do mesmo tamanho compartilham um ângulo de referência e diferem só em em qual quadrante acabam.

Quais ângulos de referência valem a pena decorar?

Três: 30, 45 e 60. Todo ângulo sobre o qual um livro didático pergunta se reduz a um deles — 120, 135, 150, 210, 225, 240, 300, 315 e 330 descem todos a um dos três — e o resto do trabalho é escolher o sinal pelo quadrante. Essa redução é o ponto inteiro do ângulo de referência: existem infinitos ângulos, mas só um punhado cujos valores trigonométricos você precisa saber.

Qual é a diferença entre ângulo de referência e ângulo coterminal?

Um ângulo coterminal é outro ângulo que termina no mesmo lugar: 400 graus e 40 graus têm o mesmo lado terminal, e a calculadora de ângulo coterminal é a página para isso. O ângulo de referência é a que distância esse lado terminal está do eixo horizontal mais próximo, sempre entre 0 e 90. As duas recebem a mesma entrada e respondem a perguntas diferentes, e um problema de trigonometria costuma querer as duas: o lado terminal localizado e a distância dele até o eixo.

Um ângulo de menos 45 tem o mesmo ângulo de referência que 45?

Tem, os dois são 45. Os dois ângulos são imagens espelhadas um do outro em relação ao eixo horizontal, então estão à mesma distância dele, e diferem apenas em de que lado do eixo ficam — 45 graus está no primeiro quadrante e menos 45, ou 315, está no quarto. É por isso que a resposta de uma pergunta de ângulo de referência nunca basta sozinha para identificar o ângulo com que você começou.

• Reference angle — the acute angle between the terminal side of an angle and the horizontal axis, which is the quantity this page computes, with the quadrant-by-quadrant values and the axis cases — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric functions — the sine, cosine and tangent whose values are recovered from a reference angle together with the sign given by the quadrant, which is what makes the reference angle useful — Wolfram MathWorld (United States)
• Unit circle — the picture this page's arithmetic is really about, in which the terminal side meets a circle of radius one and the reference angle is the distance from that meeting point to the nearest axis — Wolfram MathWorld (United States)