Calculadora de ângulos coterminais

θ′ = θ + 360°n coterminal = θ − 360°·⌊θ ÷ 360°⌋

θ

O ângulo que você digita, em graus. Pode ser negativo e pode ser muito maior que uma volta completa; os dois são entradas comuns aqui, e não casos especiais

n

Qualquer número inteiro, positivo, negativo ou zero. Cada valor de n separa um membro da família de ângulos que compartilham o lado terminal, então existem infinitos deles e a página imprime os dois mais úteis

360°

Uma volta completa. Subtraí-la deixa o raio apontando exatamente para onde apontava, que é o que faz dois ângulos serem coterminais em vez de diferentes

⌊θ ÷ 360°⌋

Quantas voltas inteiras são retiradas, arredondando para baixo em direção ao menos infinito — e não em direção ao zero. Arredondar em direção ao zero deixaria um ângulo negativo parado fora do intervalo em vez de acomodado dentro dele, que é o único ponto em que esta página pode errar em silêncio

Ângulo coterminal

O representante de 0 até, sem incluir, 360 graus. É o número contra o qual as tabelas de trigonometria e o círculo trigonométrico são escritos, e é nele que a maioria das respostas é pedida

Ângulo coterminal negativo

O mesmo raio descrito como rotação negativa: o ângulo reduzido menos uma volta inteira, caindo de menos 360 até, sem incluir, zero. Ele está sempre exatamente 360 abaixo do outro número

Duas casas decimais

A largura com que as leituras são impressas. Ângulos costumam ser medidos em frações de grau e não em frações de segundo, e duas casas é o mais fino que uma leitura de transferidor consegue ser com honestidade

Sempre que um ângulo deu mais de uma volta e se quer uma resposta dentro de uma volta. Eixos e máquinas giratórias são o caso mais claro: um acoplamento girado por três voltas e um quarto tem uma orientação final que se enuncia como um ângulo abaixo de 360, e a mesma redução vale para um came, uma manivela, um prato de toca-discos ou uma junta de robô cujo curso é cotado em voltas. Bobinas e enrolamentos são o segundo: uma bobina enrolada catorze vezes, um cabo desenrolado e recolhido, uma mola girada por um número conhecido de voltas — tudo isso é contado em revoluções e pedido em graus. Instrumentos de medição são o terceiro: um ângulo de fase acumulado por muitos períodos de um sinal, um ângulo total lido de um encoder que conta para cima sem zerar, um erro de rumo acumulado, e qualquer instrumento que informe um ângulo que passou de uma volta. A navegação e a topografia usam isso para rumos somados e subtraídos até saírem da faixa de 0 a 360, e para a diferença entre dois rumos, que é a razão de um rumo de menos 30 graus ser rotineiramente reescrito como 330. Na matemática é o primeiro passo de quase toda conta de trigonometria — uma tabela de senos e cossenos cobre uma volta só, então qualquer ângulo fora dessa faixa precisa voltar para dentro dela antes de a tabela servir. Em sala de aula é a demonstração visual da periodicidade: desenhe o mesmo lado terminal para 30, 390 e 750 graus, repare que os três braços caem sobre a mesma reta, e a razão de o seno se repetir a cada 360 graus deixa de ser uma regra a decorar. E na aritmética do dia a dia são os poucos casos em que um ângulo foi subtraído de outro e saiu negativo, que é o ponto em que a maioria das pessoas quer pela primeira vez uma resposta de 0 a 360 em vez de uma com sinal.

1. Um ângulo de 400 graus

   1. Conte as voltas inteiras: 400 ÷ 360 = 1,11, então uma volta sai
   2. Subtraia-a: 400 − 360 = 40
   3. Subtraia mais uma volta para o representante negativo: 40 − 360 = −320

   O par com que a página carrega, escolhido por estar só um pouco além de uma volta completa — quem nunca viu a ideia consegue ver a operação inteira em um passo. As duas respostas estão a 360 de distância, o que vale em toda linha da tabela e é o jeito mais rápido de conferir se um resultado faz sentido.

2. Um ângulo de 750 graus

   1. Conte as voltas inteiras: 750 ÷ 360 = 2,08, então duas voltas saem
   2. Subtraia-as: 750 − 720 = 30
   3. Subtraia mais uma volta: 30 − 360 = −330

   O mesmo lado terminal que um ângulo de 30 graus, duas voltas mais adiante, e o par de linhas que mostra para que serve a tabela. Ler a redução na coluna das voltas — duas voltas fora de 750 deixam 30 — é exatamente como a conta é feita à mão, e é por isso que aquela coluna está na tabela.

3. Um ângulo de menos 30 graus

   1. Conte as voltas inteiras arredondando para baixo: −30 ÷ 360 = −0,08, que arredonda para baixo a −1
   2. Some essa volta de volta: −30 − 360 × (−1) = 330
   3. Subtraia uma volta para o lado negativo: 330 − 360 = −30

   O sentido de onde a maioria das pessoas vem, já que um ângulo negativo é o que se obtém quando um rumo é subtraído de outro. Repare que o representante negativo é o próprio ângulo original, sem mudança: menos 30 já está dentro do intervalo negativo. O arredondamento precisa ir para baixo aqui — arredondar em direção ao zero deixaria menos 30 como estava, fora do intervalo positivo a que ele pertence.

4. Um ângulo de 1.000 graus

   1. Conte as voltas inteiras: 1.000 ÷ 360 = 2,78, então duas voltas saem
   2. Subtraia-as: 1.000 − 720 = 280
   3. Subtraia mais uma volta: 280 − 360 = −80

   Duas voltas e um resto de 280, que é onde a conta deixa de ser óbvia: a resposta fica perto de uma volta completa e não perto de zero, e quem espera o resto pequeno dos exemplos anteriores se surpreende. A página também aceita um milhão de graus, que cai no mesmo 280 e menos 80 — o número de voltas muda, o lado terminal não.

5. Um ângulo de 0 graus

   1. Nenhuma volta inteira sai: 0 já está dentro do intervalo
   2. O representante positivo é 0
   3. Subtraia uma volta para o lado negativo: 0 − 360 = −360

   O caso que fixa a regra do lado negativo. A convenção alternativa imprimiria zero nos dois números, o que se lê como uma página que não fez nada. Tomar o representante negativo como uma volta inteira abaixo do ângulo reduzido garante que os dois números impressos nunca sejam iguais, e isso vale nesta fronteira como em todo o resto.

Esta página reduz um ângulo e nada mais: ela não diz em que quadrante o lado terminal cai, não dá um ângulo de referência e não avalia nenhuma função trigonométrica. Cada uma dessas coisas pertence a uma página própria. Só graus são aceitos — não há saída em radianos, e um ângulo dado em radianos precisa ser convertido antes de ser informado. A entrada é limitada a um milhão de graus em qualquer dos dois sentidos, o que dá cerca de 2.778 voltas completas; além disso o número deixa de corresponder a algo que alguém meça, ainda que a aritmética continuasse funcionando. Os dois números impressos diferem sempre exatamente 360 graus, e o negativo é sempre o menor dos dois, então uma entrada negativa pode produzir uma saída positiva e vice-versa. A rigor, ângulos coterminais são definidos como ângulos que não coincidem mas cujos lados terminais coincidem, então o ângulo que você informa não é coterminal consigo mesmo nesse sentido estrito — ele coincide consigo mesmo. A página segue o uso corrente, em que qualquer ângulo sobre o mesmo lado terminal conta, e diz isso aqui em vez de numa nota de rodapé. Os ângulos são arredondados para duas casas decimais, o que é uma largura de exibição e não uma afirmação de precisão. Nada aqui trata graus, minutos e segundos como unidades separadas, e nada trata ângulos medidos em grados ou em voltas.

Digitei 40 e o ângulo coterminal voltou como 40. Aconteceu alguma coisa?

Não precisava acontecer: 40 já está dentro de uma volta, então ele é o próprio representante e a redução o deixa como está. A rigor, ângulos coterminais são definidos como ângulos que não coincidem mas terminam no mesmo raio, então um ângulo não é coterminal consigo mesmo nessa definição — ele coincide consigo mesmo. A página segue o uso corrente, em que tudo que está sobre o mesmo lado terminal conta, então o primeiro número repete a sua entrada sempre que a sua entrada já está reduzida. O segundo número é o que muda.

Por que o ângulo negativo é uma volta inteira abaixo, e não o mesmo ângulo escrito com sinal negativo?

Porque a alternativa óbvia quebra no zero. Se o representante negativo fosse tomado como qualquer coisa de menos 360 até zero, uma entrada zero imprimiria zero e zero — dois números idênticos, o que se lê como uma página que não fez nada. Tomá-lo como exatamente uma volta abaixo do ângulo reduzido faz com que os dois números impressos nunca sejam iguais, e que difiram sempre exatamente 360 graus, o que você pode conferir em todas as linhas da tabela.

Posso informar um ângulo negativo?

Pode, e é uma das entradas mais comuns. Ângulos negativos aparecem sempre que um rumo é subtraído de outro ou uma rotação é medida no sentido anti-horário, e menos 30 graus é rotineiramente reescrito como 330. A redução arredonda para baixo em vez de em direção ao zero exatamente por isso: arredondar em direção ao zero deixaria menos 30 parado fora do intervalo em vez de acomodá-lo dentro dele.

Por que as duas respostas estão sempre 360 graus distantes?

Porque a segunda é a primeira menos uma volta inteira, por construção. Subtrair 360 graus de um ângulo deixa o raio apontando exatamente para onde apontava, então os dois números descrevem o mesmo lado terminal e diferem de exatamente uma revolução. É a conferência mais rápida de qualquer resultado desta página: some 360 ao número menor e você deve cair no maior.

Isto me diz em que quadrante o ângulo está?

Não — ele reduz o ângulo e para por aí. O quadrante em que um lado terminal cai, e o ângulo de referência entre esse lado e o eixo mais próximo, são o assunto das páginas de ângulo de referência e de círculo trigonométrico. A redução que esta página faz é o passo que vem antes de qualquer um dos dois, e é por isso que ela é uma página própria em vez de uma linha na saída de outra.

Posso informar radianos?

Não nesta página — ela aceita apenas graus, e não há chave de unidade. Um ângulo em radianos precisa ser convertido antes, multiplicando por 180 e dividindo por π. A redução em si é a mesma ideia em qualquer das duas unidades, mas a página teria de saber qual delas você quis dizer antes de decidir o que é uma volta completa.

• Coterminal Angle — angles whose terminal sides coincide, with the definition this page implements and the n = 0 case that is coincident rather than coterminal — Wolfram MathWorld (United States)
• Angle — what an angle is, including angle standard position, from which the initial side and the terminal side are defined — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometry — why an angle is reduced into a single turn before a table of values can be used, which is the commonest reason to want this reduction — Wolfram MathWorld (United States)