Calculadora de cotangente

cot θ = 1 ÷ tan θ cot θ = adjacente ÷ oposto cot θ = cos θ ÷ sen θ

θ

O ângulo, em graus ou radianos. Ele pode ser negativo e pode passar de uma volta inteira — só importa onde ele cai na circunferência

adjacente / oposto

Os dois catetos de um triângulo retângulo que contém o ângulo θ: o lado que fica ao lado de θ e o lado que está à frente dele. A cotangente é o primeiro dividido pelo segundo, ou seja, a tangente de cabeça para baixo

tan θ

A tangente do mesmo ângulo. Dividir um por ela dá a cotangente em todo lugar onde ela não é zero — em um ângulo reto a tangente não tem valor, e a cotangente ali é zero

Use esta página quando a razão que você quer é a que põe o lado adjacente em cima — uma inclinação escrita como avanço por subida em vez de subida por avanço, uma taxa de subida citada ao contrário, um ângulo que você conhece em graus e quer como recíproca da tangente dele. A tabela de cotangente abaixo traz as duas colunas, então ela também é o jeito mais rápido de ver como a tangente e a cotangente trocam de lugar: uma coluna tem um travessão exatamente onde a outra tem um zero. Se você quer a tangente em vez da recíproca dela, e o seno e o cosseno também, a página de trigonometria imprime os três juntos e os números concordam até a última casa. E se o que você tem é uma cotangente e quer o ângulo de volta, esse é o sentido inverso, que é outra pergunta com mais de uma resposta.

1. Um ângulo de 45 graus, a única resposta inteira positiva

   1. Em 45 graus os dois catetos do triângulo retângulo são iguais
   2. A cotangente é o lado adjacente dividido pelo lado oposto
   3. Grandezas iguais divididas dão exatamente um, então a leitura é 1 e não 0,9999

   O ângulo com que a página carrega, e o único em que esta função dá um inteiro positivo. Quarenta e cinco graus é também onde a tangente vale um, o que não é acidente: se um número é o recíproco dele mesmo, a função e a recíproca dela concordam ali. Não são as únicas leituras exatas da página — em noventa graus a cotangente é zero e em cento e trinta e cinco ela é menos um —, mas todo o resto é uma raiz ou o recíproco de uma, e é por isso que a tabela abaixo é escrita com quatro casas decimais.

2. Um ângulo de 30 graus

   1. A tangente de 30 graus é √3/3, aproximadamente 0,5774
   2. A cotangente é um dividido por isso, que dá √3
   3. Com quatro casas decimais, √3 é 1,7321

   A cotangente de trinta graus é o mesmo número que a tangente de sessenta graus, e isso é uma regra, não uma coincidência: os dois ângulos agudos de um triângulo retângulo somam noventa, e o lado que está à frente de um é o lado que fica ao lado do outro. Então a cotangente de um ângulo é sempre a tangente do complemento dele, e a tabela abaixo mostra o par em linhas vizinhas.

3. Um ângulo no segundo quadrante, 135 graus

   1. Cento e trinta e cinco graus é 45 graus depois de um ângulo reto
   2. O ponto está no segundo quadrante, então o lado adjacente agora é negativo e o lado oposto continua positivo
   3. Um negativo dividido por um positivo dá negativo, então a cotangente é −1

   Exatamente o negativo da leitura de quarenta e cinco graus, e esse é o padrão do segundo quadrante inteiro: o tamanho da cotangente não muda em relação ao ângulo do primeiro quadrante rebatido sobre ele, e só o sinal se move. O valor absoluto volta a um aqui porque o triângulo é da mesma forma que em quarenta e cinco graus, apenas colocado de outro jeito.

4. Um ângulo de 90 graus, onde a cotangente é zero

   1. Em um ângulo reto o lado adjacente encolheu até zero
   2. A cotangente é o lado adjacente dividido pelo lado oposto, então é zero dividido por um número positivo
   3. Zero dividido por qualquer coisa não nula dá zero, então a leitura é 0

   Este é o ângulo que a página da tangente recusa, e aqui ele é uma leitura comum de zero. Nada está sendo tratado como caso especial: a razão tem um zero em cima em vez de embaixo, e dividir zero por um número é permitido. É a ilustração mais clara do que a relação de reciprocidade faz — nesse ângulo as duas funções não apenas diferem de tamanho, elas trocam o definido com o indefinido.

Três limites que vale dizer sem rodeios. As leituras saem com quatro casas decimais e a maioria delas é irracional: a cotangente de trinta graus é √3, então 1,7321 é um arredondamento e não a resposta. As leituras exatas desta página são poucas — um em quarenta e cinco graus, zero em noventa e em duzentos e setenta, menos um em cento e trinta e cinco —, e é por isso que a tabela parece irregular: algumas linhas caem em números limpos e o resto não. Em segundo lugar, a cotangente não tem valor em zero graus, em cento e oitenta graus, nem em nenhum ângulo que se reduza a um dos dois, incluindo ângulos negativos e ângulos maiores que uma volta; esta página recusa todos eles, e a mesma recusa vale para qualquer ângulo obtido somando uma volta inteira a esses dois. Em terceiro lugar, a página não inverte. Dada uma cotangente de 1,7321, o ângulo pode ser trinta graus, duzentos e dez graus, ou qualquer um dos infinitos ângulos que ficam a meia volta de distância, e escolher entre eles exige uma decisão que esta página não toma.

Por que a cotangente não tem valor em 0 grau?

Porque a cotangente é o lado adjacente dividido pelo lado oposto, e em zero grau o lado oposto encolheu até nada. Dividir por zero não tem resposta. É a mesma falha que a tangente tem em noventa graus, deslocada de um quarto de volta: as duas funções são recíprocas, então onde uma é zero a outra é indefinida, e os zeros e os polos trocam de lugar.

A cotangente é só um sobre a tangente?

É, e essa é a descrição mais curta dela. Ela também é o cosseno dividido pelo seno, e o lado adjacente sobre o lado oposto, e as três dizem a mesma coisa. O único ponto em que é preciso cuidado são os ângulos em que a tangente é zero ou não existe: um sobre zero não é um número, então a cotangente é indefinida em zero e em cento e oitenta graus mesmo com a tangente definida ali, e ela é zero em noventa e em duzentos e setenta graus, onde a tangente não é.

Por que a cotangente de 90 graus é zero?

Porque em um ângulo reto o lado adjacente encolheu até nada, enquanto o lado oposto está no comprimento máximo. Uma razão com zero em cima é zero, então a leitura é um zero comum — nada está sendo tratado como caso especial. Este é o ângulo que a página de trigonometria recusa, e o contraste é o ponto: as duas funções trocam qual delas tem resposta e qual não tem.

O que uma cotangente negativa quer dizer?

Que os dois catetos do triângulo têm sinais opostos, o que acontece no segundo e no quarto quadrantes. Depois de um ângulo reto, o lado adjacente aponta para o outro lado enquanto o oposto não, então a razão fica negativa e continua assim até cento e oitenta graus, volta a ser positiva no terceiro quadrante, onde os dois são negativos, e fica negativa mais uma vez depois de duzentos e setenta.

A cotangente se repete, e de quanto em quanto tempo?

A cada meia volta, ou seja, duas vezes mais rápido que o seno e o cosseno. Somar cento e oitenta graus a um ângulo troca o sinal tanto do lado adjacente quanto do oposto, e a razão de duas grandezas com o sinal trocado não muda. Então trinta graus e duzentos e dez graus compartilham a cotangente de 1,7321, e a tabela abaixo mostra o par em linhas separadas por oito posições. O seno e o cosseno, em comparação, precisam de uma volta inteira para voltar.

O ângulo pode ser informado em radianos?

Pode — a caixa tem um seletor de unidade ao lado e a leitura é do mesmo ângulo nos dois casos. Quarenta e cinco graus e 0,7854 radianos dão a mesma cotangente, um. Como sempre, o que vale conferir é qual unidade a fonte com que você está comparando assume, porque a maioria das tabelas está escrita em graus.

• Cotangent — the reciprocal of the tangent, its period of half a turn, and its poles at zero and one hundred and eighty degrees — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions and domains of all six ratios, including where each of them is undefined — Wolfram MathWorld (United States)
• Tangent — the function this one inverts, its own poles at ninety and two hundred and seventy degrees, and the reciprocal relationship between the two — Wolfram MathWorld (United States)
• Sine, Cosine and Tangent — a first-principles walk through the ratios in a right triangle, and how the remaining three follow from them — Math is Fun (United Kingdom)