Calculadora de tangente

tan θ = oposto ÷ adjacente tan θ = sen θ ÷ cos θ tan θ = inclinação

θ

O ângulo, em graus ou radianos. Ele pode ser negativo e pode passar de uma volta inteira — só importa onde ele cai na circunferência

oposto / adjacente

Os dois catetos de um triângulo retângulo que contém o ângulo θ: o lado oposto a θ e o lado que fica ao lado dele. A tangente é o primeiro dividido pelo segundo — a hipotenusa não entra em nada

sen θ ÷ cos θ

A mesma razão escrita com as outras duas funções. É esta a forma que explica os polos: onde o cosseno é zero a divisão não tem resposta, e o cosseno é zero em noventa e em duzentos e setenta graus

inclinação

O que a razão significa na circunferência trigonométrica: a declividade da reta que vai da origem até o ponto onde o ângulo cai. Uma tangente igual a um é uma reta de quarenta e cinco graus, e quanto maior a leitura, mais íngreme a reta

Use esta página quando a grandeza que você quer é uma inclinação e não uma altura — a inclinação de um telhado escrita como subida por avanço, a rampa de uma estrada em porcentagem, o ângulo em que uma escada ou uma rampa precisam ficar, a direção de uma reta que passa por dois pontos. É também a página a procurar quando você quer saber quão íngreme é uma coisa em um número só, já que o seno e o cosseno contam cada um apenas metade da direção. Duas coisas a ter em mente ao ler. Se o ângulo passar de noventa graus a leitura fica negativa e continua crescendo em tamanho do outro lado; se você está trabalhando a partir de um desenho e não de coordenadas, esse sinal está dizendo que a reta se inclina para o outro lado, e não que a inclinação mudou de tamanho. E se o ângulo se aproxima de um ângulo reto a leitura cresce sem limite, o que é a página avisando que a reta ficou vertical — em exatamente noventa graus não há leitura a dar, porque uma reta vertical não tem avanço por onde dividir. Se você quer o seno e o cosseno ao lado desta, a página de trigonometria imprime as três; se você quer o inverso deste número, essa é outra função, com os polos nos outros dois lugares.

1. Um ângulo de quarenta e cinco graus, a única resposta inteira positiva

   1. Aos quarenta e cinco graus os dois catetos do triângulo retângulo são iguais
   2. A tangente é o cateto oposto dividido pelo cateto adjacente
   3. Grandezas iguais divididas dão exatamente um, então a leitura é 1 e não 0,9999

   O ângulo com que a página abre, e o único em que esta função dá um inteiro positivo — o outro inteiro que ela produz é o −1 de cento e trinta e cinco graus. Quarenta e cinco graus é também o ângulo cuja reta tem inclinação um, que é a mesma afirmação na linguagem das declividades: uma unidade para cima a cada unidade para o lado. Todas as outras leituras desta página são raízes ou inversos de uma, e é por isso que a tabela abaixo está escrita com quatro casas decimais.

2. Um ângulo de trinta graus

   1. O cateto oposto aos trinta graus é metade da hipotenusa
   2. O cateto adjacente é o outro cateto, que é metade da raiz de três
   3. Metade dividida por metade da raiz de três é um sobre a raiz de três, cerca de 0,5774

   A tangente de trinta graus é a cotangente de sessenta graus, e isso é uma regra e não uma coincidência: os dois ângulos agudos de um triângulo retângulo somam noventa, e o lado oposto a um deles é o lado adjacente ao outro. Então a tangente de um ângulo é sempre a cotangente do seu complemento, e a afirmação recíproca é a outra metade do mesmo fato.

3. Um ângulo no segundo quadrante, cento e trinta e cinco graus

   1. Cento e trinta e cinco graus são quarenta e cinco graus além de um ângulo reto
   2. O ponto está no segundo quadrante, então o cateto adjacente agora é negativo e o oposto continua positivo
   3. Um positivo dividido por um negativo dá negativo, então a tangente é −1

   Exatamente o negativo da leitura de quarenta e cinco graus, e esse é o padrão de todo o segundo quadrante: o tamanho da tangente não muda em relação ao ângulo do primeiro quadrante rebatido sobre ele, e só o sinal se desloca. É também o caso que a página do seno relata ao contrário — em cento e trinta e cinco graus o seno continua positivo, em 0,7071, porque o ponto está acima do eixo; a tangente é negativa, porque o avanço passou para a esquerda.

4. Um ângulo de duzentos e dez graus, meia volta depois de trinta

   1. Duzentos e dez graus são trinta graus mais um ângulo raso
   2. Somar cento e oitenta graus troca o sinal do cateto oposto e do adjacente, então os dois ficam negativos
   3. Um negativo dividido por um negativo dá positivo, e os tamanhos não mudam, então a leitura é a mesma 0,5774

   A demonstração mais clara do período de meia volta, e o ponto em que esta função se separa do seno e do cosseno: aqueles dois precisam de uma volta inteira para voltar à mesma leitura, e esta já voltou com metade de uma. A razão é que uma razão não se importa quando as duas grandezas dentro dela trocam de sinal ao mesmo tempo. A tabela abaixo mostra o mesmo par em duas linhas separadas por oito posições.

Três limites que vale dizer sem rodeios. As leituras são dadas com quatro casas decimais e a maioria delas é irracional: a tangente de trinta graus é um sobre a raiz de três, então 0,5774 é um arredondamento e não a resposta exata — os únicos valores exatos desta página são os zeros de zero e de cento e oitenta graus e os inteiros de quarenta e cinco e de cento e trinta e cinco graus. Em segundo lugar, a tangente não tem valor em noventa graus, em duzentos e setenta graus nem em qualquer ângulo que se reduza a um dos dois — ângulos negativos e ângulos além de uma volta incluídos, então menos noventa e quatrocentos e cinquenta são recusados pelo mesmo motivo que noventa. Onde uma leitura vizinha seria enorme, esta página dá uma mensagem de erro em vez de um número muito grande, porque a sequência não converge para nada: os valores crescem sem limite quando o ângulo se aproxima por um lado e caem do fundo da escala quando ele se aproxima pelo outro. Em terceiro lugar, a página não inverte. Dada uma tangente igual a um, o ângulo pode ser quarenta e cinco graus, duzentos e vinte e cinco graus, ou qualquer um dos infinitos ângulos que distam meia volta entre si, e escolher entre eles exige uma decisão que esta página não toma.

Por que a tangente não tem valor em noventa graus?

Porque a tangente é o cateto oposto dividido pelo cateto adjacente, e em um ângulo reto o cateto adjacente encolheu até nada. Dividir por zero não tem resposta, então não há nada a imprimir. Não é que o valor seja enorme — as leituras realmente crescem sem limite conforme o ângulo se aproxima de noventa, mas em noventa exatamente não existe número, e os dois lados da aproximação nem sequer vão para o mesmo lugar. Duzentos e setenta graus é a mesma falha meia volta depois, e todo ângulo que se reduza a um dos dois também é recusado.

A tangente é só o seno dividido pelo cosseno?

Sim, e essa é a descrição mais curta dela. Ela também é o cateto oposto sobre o cateto adjacente e a inclinação da reta que o ângulo desenha, e as três formas dizem a mesma coisa. A que explica mais é a divisão: onde o cosseno é zero a fração não tem resposta, e o cosseno é zero em noventa e em duzentos e setenta graus — exatamente onde a tabela abaixo tem os seus dois traços.

Por que a tangente de cento e trinta e cinco graus é negativa se o seno é positivo?

Porque a tangente olha para o avanço além da subida. Em cento e trinta e cinco graus o ponto continua acima do eixo horizontal, então o seno segue positivo, em 0,7071, mas ele passou para a esquerda do eixo vertical, então o cateto adjacente ficou negativo e a divisão virou negativa junto. O sinal da tangente é, na verdade, uma afirmação sobre se os dois catetos concordam em direção, e não sobre quão alto está o ponto — é por isso que ele vira negativo um quarto de volta antes do seno.

O que significa uma tangente muito grande?

Que a reta está quase vertical. A leitura é uma inclinação, então uma tangente de dez significa dez unidades para cima a cada uma para o lado, e ela cresce sem limite conforme o ângulo se aproxima de noventa graus por baixo. Do outro lado dos noventa a mesma reta reaparece no fundo da escala e sobe de volta em direção a zero, então os valores dos dois lados do polo não são próximos de modo algum — estão tão distantes quanto um número pode estar.

De quanto em quanto a tangente se repete?

A cada meia volta, o que é duas vezes mais frequente que o seno e o cosseno. Somar cento e oitenta graus a um ângulo troca o sinal do cateto oposto e do adjacente, e a razão de duas grandezas que trocaram de sinal não muda, então trinta graus e duzentos e dez graus compartilham a tangente 0,5774. O seno e o cosseno, em compensação, precisam de uma volta inteira para voltar ao mesmo valor.

Dá para informar o ângulo em radianos?

Dá — o campo tem um seletor de unidade ao lado, e a leitura é o mesmo ângulo de qualquer jeito. Quarenta e cinco graus e 0,7854 radianos dão a mesma tangente, um. Como sempre, o que é preciso conferir é em que unidade está a fonte com que você está comparando, porque a maioria das tabelas impressas é escrita em graus.

• Tangent — the opposite-over-adjacent ratio, its period of half a turn, and its poles at ninety and two hundred and seventy degrees — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions, ranges and domains of all six ratios, including the angles at which each of them is undefined — Wolfram MathWorld (United States)
• Cotangent — the reciprocal of this function, whose own poles sit at zero and one hundred and eighty degrees instead — Wolfram MathWorld (United States)
• Sine, Cosine and Tangent — a first-principles walk through the three ratios in a right triangle, with the special angles worked out rather than asserted — Math is Fun (United Kingdom)