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Calculadora de tangente inversa

Resultado

45,00 °

Ângulo

Ângulo em radianos
0,7854 rad

Uma calculadora de tangente inversa transforma um valor de tangente no ângulo a que ele pertence, em graus e em radianos. A razão que entra é a que costuma ser escrita tan. Ao contrário das outras duas funções inversas, ela aceita qualquer número real: uma inclinação pode ser tão íngreme quanto você quiser, então não há faixa dentro da qual ficar, e uma tangente de um milhão é uma entrada perfeitamente válida. O ângulo que volta está sempre entre menos noventa graus e noventa, e as duas pontas desse intervalo são a parte interessante, porque nenhuma delas é alcançada. A tangente de noventa graus não existe — a razão colocaria o cateto adjacente em zero e dividiria por ele. Então, por maior que seja o valor que você digite, a resposta sobe na direção de noventa e para antes de chegar, e a página imprime noventa graus para qualquer valor grande o bastante para que a diferença caia abaixo da última casa decimal que ela mostra. Isso é um artefato de arredondamento, e não uma resposta, e vale conhecer antes que aconteça. O resto da página decorre de mais uma propriedade. A tangente se repete a cada meia volta, e não a cada volta inteira, então uma tangente de um pertence a quarenta e cinco graus e a duzentos e vinte e cinco, e esses dois estão a meia volta de distância em vez de serem reflexos um do outro. A tabela abaixo mostra nove valores com o ângulo, os radianos e o ângulo parceiro a meia volta dali. Duas vizinhas merecem uma olhada. Se a razão que você tem é o cateto oposto sobre a hipotenusa, essa é a do seno inverso, que vive dentro da faixa de menos um a um e responde na metade da direita da circunferência. E se for o adjacente sobre a hipotenusa, essa é a do cosseno inverso, cuja faixa é a metade de cima da circunferência e cujas respostas nunca são negativas.

Nove valores de tangente com o ângulo principal e o parceiro a meia volta

tan θθ (graus)outro θ (graus)θ (radianos)
-3-71.57108.43-1.249
-1.7321-60120-1.0472
-1-45135-0.7854
-0.5774-30150-0.5236
001800
0.5774302100.5236
1452250.7854
1.7321602401.0472
371.57251.571.249

Esta é a única das três tabelas de funções inversas sem nenhuma linha em que as duas colunas de ângulo coincidem, e a razão merece um instante. Nas páginas do seno inverso e do cosseno inverso a segunda solução é um reflexo, então nos dois pontos de retorno da curva o parceiro é o próprio ângulo e as colunas imprimem o mesmo número; são essas as linhas daquelas tabelas que leem noventa com noventa, ou cento e oitenta com cento e oitenta. A tangente não tem pontos de retorno nem limite: ela sobe de menos infinito a mais infinito ao longo de uma única meia volta, e as duas colunas de ângulo estão sempre a meia volta de distância. Por isso toda linha aqui difere de cento e oitenta, e não há linha nas pontas para colapsar, porque as pontas não estão na tabela — a faixa é aberta, e os ângulos sobem na direção de noventa e de menos noventa sem nunca serem eles. Leia a primeira e a última linha juntas: três e menos três dão ângulos que são imagens espelhadas um do outro, setenta e um graus e cinquenta e sete centésimos acima de zero e o mesmo abaixo, e as duas colunas de parceiros se espelham do mesmo jeito em torno da linha do meio. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.

Fórmula

θ = arctan x x ∈ ℝ θ ∈ (−90°, 90°) a outra solução em [0°, 360°) é θ + 180°

x
O valor da tangente, que pode ser qualquer número real. Nada é recusado aqui, porque a tangente assume todo valor real em algum ponto da circunferência
θ
O ângulo que a função devolve, sempre estritamente entre menos noventa graus e noventa. As duas pontas ficam de fora, porque a tangente não tem valor em nenhuma delas
θ + 180°
O segundo ângulo da circunferência com a mesma tangente. A tangente se repete a cada meia volta, então o parceiro se acha somando, em vez de refletindo em torno de um eixo

Recorra a esta página sempre que a razão que você tem for uma inclinação — subida sobre avanço, a rampa de uma estrada ou de um telhado, a direção de um vetor no plano. É também a função inversa a procurar quando os dois lados que você conhece são os que se encontram no ângulo reto, já que a tangente de um ângulo é o cateto oposto sobre o adjacente, e é a que nunca recusa uma entrada por ser grande demais. Duas vizinhas importam. Se a razão que você tem é o cateto oposto sobre a hipotenusa, essa é a do seno inverso, cuja faixa cobre a metade da direita da circunferência em vez da faixa central. E se o que você quer é a tangente em um ângulo, e não o ângulo a partir de uma tangente, a página da tangente caminha no sentido oposto, e ela mesma explica por que a razão explode num ângulo reto.

Exemplos resolvidos

  1. Um valor de tangente de 1

    1. O valor é aceito seja ele qual for, então há um ângulo a encontrar
    2. Quarenta e cinco graus é o ângulo da faixa cuja tangente é 1, então a página informa quarenta e cinco graus
    3. Em radianos isso é um quarto de pi, o que dá 0,7854

    O valor com que a página carrega, e o menor exemplo do parceiro a meia volta. Uma tangente de 1 também pertence a duzentos e vinte e cinco graus, que é quarenta e cinco mais meia volta — a terceira coluna da tabela lê 225 nessa linha. Repare no que o parceiro não é: ele não é um reflexo de quarenta e cinco em torno de nenhum eixo, como a segunda solução é nas páginas do seno inverso e do cosseno inverso. A tangente simplesmente se repete meia volta depois, e essa é a mesma afirmação que dizer que a tangente tem período de cento e oitenta graus, e não de trezentos e sessenta.

  2. Um valor de tangente negativo, menos 1

    1. O valor é aceito, e é negativo, então a resposta também vai ser
    2. O ângulo da faixa cuja tangente é menos 1 é menos quarenta e cinco graus
    3. Os radianos seguem o sinal: −0,7854

    A convenção com sinal, como na página do seno inverso e ao contrário da do cosseno inverso. Uma inclinação negativa dá um ângulo negativo, porque a faixa é o intervalo de menos noventa a noventa e metade dele está abaixo de zero. O parceiro aqui é cento e trinta e cinco graus, que é menos quarenta e cinco mais meia volta, e ele também é o reflexo de quarenta e cinco em relação ao eixo vertical — mas essa coincidência pertence a este valor, e não à página, e deixa de valer assim que o valor não é exatamente menos um.

  3. Um valor de tangente de 0,5, que não é um ângulo notável

    1. Um meio não é a tangente de nenhum ângulo da tabela de sempre, então a resposta vai ser decimal
    2. O ângulo cuja tangente é 0,5 é 26,57 graus
    3. Em radianos o mesmo ângulo é 0,4636

    A maior parte das inclinações cai numa linha como esta, e não num ângulo notável. É também o lugar mais claro para ver o formato da resposta: conforme o valor cresce, o ângulo sobe na direção de noventa sem nunca encostar nele, e conforme o valor se aproxima de zero, o ângulo cai na direção de zero. A tangente de um ângulo pequeno fica muito próxima do próprio ângulo em radianos — 0,4636 contra 0,5 —, que é a mesma aproximação de ângulo pequeno que aparece na página do seno inverso, e aqui ela é mais frouxa do que lá.

  4. Um valor de tangente de um milhão, na borda da faixa

    1. Um milhão é uma entrada comum aqui, já que nenhum limite se aplica
    2. O ângulo cuja tangente é um milhão é 89,99994 graus, um fio abaixo de noventa
    3. Duas casas decimais não bastam para mostrar a diferença, então a página imprime noventa graus

    A linha sobre a qual a página existe para avisar. Noventa graus não estão na faixa e nunca vão estar — a tangente simplesmente não tem valor ali —, mas uma entrada desse tamanho chega perto o bastante para que a resposta impressa arredonde até ele. O número impresso é honesto quanto ao que é: o ângulo é de noventa graus na precisão mostrada. O que estaria errado é lê-lo como um valor exato, ou pior, como se a tangente de noventa graus fosse um milhão em vez de indefinida. Empurre a entrada adiante, até cem milhões, e o ângulo verdadeiro se aproxima mais de noventa sem que a leitura mude.

Limitações

Três coisas que esta página não faz. Primeira: as extremidades da faixa nunca são devolvidas. Noventa graus e menos noventa ficam de fora, porque a tangente não tem valor ali, então a resposta se aproxima delas sem chegar; para entradas grandes o bastante para que a diferença caia abaixo de duas casas decimais a página imprime a extremidade de qualquer maneira, e essa leitura é arredondada, não exata. Segunda: a resposta é só o valor principal. A tangente se repete a cada meia volta, então todo valor desta página pertence a dois ângulos dentro de uma volta e a infinitos ao longo das voltas, e a página devolve o que está estritamente entre menos noventa e noventa; a terceira coluna da tabela traz o parceiro, que está a meia volta dali. Terceira: os radianos saem com quatro casas decimais e os graus com duas, então um valor que cai perto de um ângulo notável depois do arredondamento é impresso como esse ângulo — a tangente inversa de 1,7321 é impressa como sessenta graus, ainda que a tangente exata de sessenta graus seja um pouco menor que 1,7321: ela vale 1,7320508, e por isso o arco tangente de 1,7321 dá 60,0007 graus, que duas casas decimais transformam em sessenta.

Perguntas frequentes

Por que aqui qualquer valor é aceito, se as outras duas recusam valores acima de 1?
Porque a tangente não tem limite superior. O seno inverso e o cosseno inverso recebem a razão entre dois lados com o mais longo embaixo, então a entrada deles não pode passar de um; a tangente é o cateto oposto sobre o adjacente, e nenhum desses dois é o lado mais longo, então a razão pode ser tão grande quanto for íngreme o triângulo. Uma tangente de um milhão é a inclinação de uma parede um milhão de vezes mais alta do que larga.
Por que um valor muito grande dá exatamente 90 graus?
A rigor, não dá — dá um ângulo um pouco abaixo de noventa que arredonda para ele. Noventa graus não estão na faixa, porque a tangente não tem valor ali: a razão dividiria por zero. Conforme a entrada cresce, a resposta sobe na direção de noventa sem chegar, então para qualquer valor acima de uns onze mil e quinhentos a resposta impressa é noventa graus, nas duas casas decimais mostradas — o limite exato é 11.460, e valores um pouco abaixo disso ainda imprimem 89,99. A leitura está correta nessa precisão e errada se você a tratar como exata.
Por que o segundo ângulo está a meia volta de distância, e não é um reflexo?
Porque a tangente se repete a cada cento e oitenta graus, e não a cada trezentos e sessenta. Somar meia volta a um ângulo troca o sinal tanto do cateto oposto quanto do adjacente, então a razão entre eles não muda. As páginas do seno inverso e do cosseno inverso acham a segunda solução refletindo em torno de um eixo, já que seno e cosseno são compartilhados por imagens espelhadas; a tangente não é, então o parceiro dela vem de uma soma, e não de uma subtração.
Como achar um ângulo a partir de uma tangente à mão?
Lembre que uma tangente de 1 dá quarenta e cinco graus e que uma tangente de 1,7321 arredonda para sessenta, resolva o resto numa tabela ou na calculadora e depois some cento e oitenta graus se você quiser o outro ângulo da circunferência. Esta é a função inversa a usar para uma inclinação — subida sobre avanço — e a usar quando os dois lados que você conhece são os dois que se encontram no ângulo reto.
Por que a resposta é negativa quando o valor é negativo?
Porque a faixa vai de menos noventa graus a noventa, e metade dela fica abaixo de zero. Uma tangente negativa quer dizer que o cateto oposto e o adjacente têm sinais opostos, o que é uma inclinação descendo em vez de subindo, e a página informa isso com o sinal que a entrada sugere. O ângulo parceiro, meia volta dali, é positivo: menos quarenta e cinco e cento e trinta e cinco são a mesma inclinação em sentidos opostos.
Tangente inversa é a mesma coisa que um dividido pela tangente?
Não. A tangente inversa desfaz a tangente: dê 1 a ela e ela devolve quarenta e cinco graus. Um dividido pela tangente dá a 1 a resposta 1, que é a cotangente de quarenta e cinco graus — uma razão, e não um ângulo. As duas coincidem apenas aos quarenta e cinco graus, que é exatamente o tipo de coincidência que torna a confusão tão persistente.

Referências

Calculadoras relacionadas

Calculadora de cotangenteCotangente de um ângulo em graus ou radianos.Calculadora de trigonometriaSeno, cosseno e tangente em graus ou radianos.Calculadora de seno inversoÂngulo a partir de um seno, em graus ou radianos.Calculadora de cosseno inversoÂngulo a partir de um cosseno, em graus ou radianos.