Pular para o conteúdo principal
CalcMax

Calculadora de cosseno inverso

Intervalo: -1 – 1

Resultado

60,00 °

Ângulo

Ângulo em radianos
1,0472 rad

Uma calculadora de cosseno inverso recebe um valor de cosseno e devolve o ângulo a que ele pertence, em graus e em radianos. O valor tem de ficar entre menos um e um, já que o cosseno de um ângulo nunca sai dessa faixa, e a resposta fica sempre entre zero e meia volta. As duas coisas decorrem do mesmo fato que na página do seno inverso: um valor de cosseno não pertence a um único ângulo. O cosseno de 0,5 é o cosseno de sessenta graus, e também de trezentos graus, e de cada um desses mais ou menos uma volta inteira. A função cosseno inverso, escrita arccos, e também escrita cos com um menos um pequeno acima, devolve exatamente um deles — o que está na metade de cima da circunferência —, e os outros são respostas da mesma equação que a função não tem permissão de dar. Três coisas separam esta página da vizinha. A faixa é a metade de cima da circunferência, e não a metade da direita, então a resposta nunca é negativa: um valor que pertence a um ângulo obtuso volta como um ângulo acima de noventa graus, onde o seno inverso teria devolvido a mesma direção como um ângulo negativo abaixo de zero. A faixa também é decrescente, e a tabela abaixo corre ao contrário de quase todas as tabelas de valores: cento e oitenta graus no topo, zero embaixo. E a segunda solução é obtida subtraindo de uma volta inteira, e não de meia volta, porque um cosseno é compartilhado por ângulos espelhados em relação ao eixo horizontal, e não ao vertical. As duas páginas se encontram numa única identidade: o cosseno inverso e o seno inverso do mesmo valor somam noventa graus, que é o jeito mais barato de conferir qualquer um dos dois.

Nove valores de cosseno com o ângulo principal e a segunda solução

cos θθ (graus)outro θ (graus)θ (radianos)
-11801803.1416
-0.8661502102.6179
-0.70711352252.3562
-0.51202402.0944
0902701.5708
0.5603001.0472
0.7071453150.7854
0.866303300.5236
1000

Leia a coluna de entrada para baixo e a de resposta logo depois: a entrada sobe de menos um até um enquanto a resposta cai de cento e oitenta até zero. Essa é a propriedade da curva do cosseno, e não desta página — a coluna de respostas anda ao contrário da entrada porque o cosseno decresce. As duas colunas de ângulo somam uma volta inteira em todas as linhas menos a última, e essa soma é a aritmética do reflexo em relação ao eixo horizontal. Nas pontas o par se reduz a um único ponto: no topo, cento e oitenta com cento e oitenta, que ainda somam trezentos e sessenta; embaixo, zero com zero, cuja soma é zero, porque zero e uma volta inteira são o mesmo ângulo. Isso acontece porque essas duas linhas são os pontos em que a curva do cosseno dá meia volta, e o reflexo de um ponto de retorno é ele mesmo. A linha do meio é a que vale notar: um cosseno de zero dá exatamente noventa graus, que é o ponto em que as duas leituras se invertem, e é também o valor em que a identidade com o seno inverso fica mais evidente, noventa mais zero. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.

Fórmula

θ = arccos x x ∈ [−1, 1] θ ∈ [0°, 180°] a outra solução em [0°, 360°) é 360° − θ

x
O valor de cosseno de partida, entre menos um e um. Fora dessa faixa nenhum ângulo o tem, e a página recusa o valor em vez de aproximar
θ
O ângulo que a função devolve. Ao contrário do seno inverso, ele nunca é negativo, porque a faixa cobre a metade de cima da circunferência, e não a metade da direita
360° − θ
O segundo ângulo da circunferência com o mesmo cosseno. Reflexos em relação ao eixo horizontal compartilham o cosseno, e é por isso que o parceiro se acha subtraindo de uma volta inteira aqui e de meia volta na página do seno inverso

Recorra a esta página quando você tem a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa e quer o ângulo entre os dois — a inclinação de uma escada em relação à parede, o ângulo entre dois vetores calculado a partir do produto escalar, uma direção recuperada de um rumo que foi guardado como cosseno. É também a função a procurar quando um problema de triângulo dá três lados e pede um ângulo, já que a lei dos cossenos produz um cosseno e nada mais. Duas vizinhas importam. Se a razão que você tem é o cateto oposto sobre a hipotenusa, essa é a do seno inverso, cuja faixa cobre a metade da direita da circunferência em vez da metade de cima e cuja resposta tem sinal; as duas concordam no primeiro quadrante e se separam em todo o resto. E se você quer o cosseno do ângulo, e não o ângulo a partir do cosseno, a página do cosseno caminha no sentido oposto.

Exemplos resolvidos

  1. Um valor de cosseno de 0,5

    1. O valor está dentro da faixa, então há um ângulo a encontrar
    2. Sessenta graus é o ângulo da faixa cujo cosseno é 0,5, então a página informa sessenta graus
    3. Em radianos isso é sessenta vezes pi sobre cento e oitenta, que é um terço de pi, ou 1,0472

    O valor com que a página carrega, e o que mostra como as duas páginas inversas se encaixam. O seno inverso de 0,5 é trinta graus e o cosseno inverso de 0,5 é sessenta, e trinta mais sessenta dá noventa — não por coincidência, mas pela identidade que amarra as duas páginas, verdadeira para todo valor da faixa. O mesmo valor mostra também de onde vem a segunda solução: trezentos graus tem cosseno 0,5 igualmente, e é o reflexo de sessenta em relação ao eixo horizontal, e é por isso que a terceira coluna da tabela lê 300 nesta linha.

  2. Um valor de cosseno negativo, menos 0,5

    1. Menos 0,5 está dentro da faixa, então a página encontra um ângulo
    2. O ângulo da faixa cujo cosseno é menos 0,5 é cento e vinte graus
    3. Em radianos isso é dois terços de pi, o que dá 2,0944

    A linha que explica por que esta página nunca devolve uma resposta negativa. Um cosseno negativo pertence a um ângulo obtuso, e a faixa dá conta disso passando de noventa graus em vez de descer abaixo de zero — cento e vinte graus, e não uma leitura negativa. O parceiro desse ângulo na circunferência é duzentos e quarenta graus, que é o mesmo que menos cento e vinte, e não menos sessenta: o cosseno de menos sessenta graus é mais 0,5, não menos 0,5. O seno inverso do mesmo valor responde menos trinta graus, e a diferença entre as duas páginas é só de faixa; as duas respostas estão certas, e a identidade continua valendo — menos trinta mais cento e vinte dá noventa.

  3. Um valor de cosseno de 0,25, que não é um ângulo notável

    1. Um quarto não é o cosseno de nenhum ângulo da tabela de sempre, então a resposta vai ser decimal
    2. O ângulo cujo cosseno é 0,25 é 75,52 graus
    3. Em radianos o mesmo ângulo é 1,3181

    A maior parte das entradas cai aqui, e não num ângulo notável. A linha é também o lugar mais claro para ver o decrescimento: um quarto é um cosseno pequeno, e um cosseno pequeno pertence a um ângulo perto do topo da faixa, e não perto do fundo. Compare com a página do seno inverso, onde um valor pequeno dá um ângulo pequeno. Essa inversão não é um acidente das duas definições, é a mesma inversão que se vê no formato das duas curvas, e as tabelas a tornam visível de um jeito que as fórmulas não fazem.

  4. Um valor de cosseno de menos 1, na borda da faixa

    1. Menos um é o menor cosseno que um ângulo tem, então a resposta é o topo da faixa
    2. Cento e oitenta graus tem cosseno menos um, e nenhum ângulo tem um menor que esse
    3. Em radianos meia volta é pi, que é 3,1416

    Uma das duas linhas em que a segunda solução não é um segundo ângulo. Um cosseno de menos um pertence a cento e oitenta graus e a nada mais na circunferência, porque a curva do cosseno dá meia volta no ponto mais baixo dela e o reflexo desse ponto em relação ao eixo horizontal é o próprio ponto. A tabela mostra isso: a segunda e a terceira colunas da primeira linha leem as duas 180. A outra ponta se comporta do mesmo jeito, onde um cosseno de um pertence a zero graus sozinho. Entre essas duas linhas, todo valor da faixa tem um par de verdade, e esse par soma uma volta inteira.

Limitações

Três coisas que esta página não faz. Primeira: um valor fora da faixa de menos um a um é recusado, porque nenhum ângulo tem esse cosseno — a mesma fronteira da página do seno inverso, e pelo mesmo motivo. Segunda: a resposta é só o valor principal. Todo cosseno entre menos um e um pertence a dois ângulos dentro de uma volta e a infinitos ao longo das voltas, e a página devolve o que está na metade de cima da circunferência; a terceira coluna da tabela traz o outro, e nada aqui informa quantas voltas inteiras separam uma cópia mais distante. Terceira: os radianos saem com quatro casas decimais e os graus com duas, então um valor que arredonda para um ângulo notável é impresso como esse ângulo — o cosseno inverso de 0,866 é impresso como trinta graus, ainda que o cosseno exato de trinta graus seja um pouco maior que 0,866: o arco cosseno de 0,866 dá 30,0029 graus, e a impressão de duas casas decimais é que transforma isso em trinta.

Perguntas frequentes

Por que um cosseno inverso nunca dá um ângulo negativo?
Porque a faixa é fixada como a metade de cima da circunferência, de zero a cento e oitenta graus. Um cosseno negativo pertence a um ângulo obtuso, e esta faixa o informa como um ângulo acima de noventa em vez de dobrá-lo para baixo de zero como faz o seno inverso. Menos 0,5 tem cosseno a cento e vinte graus, e não num ângulo negativo: o parceiro dele na circunferência é duzentos e quarenta graus, que é o mesmo que menos cento e vinte.
Em que isto difere do seno inverso?
Na faixa, e portanto no que acontece longe do primeiro quadrante. O seno inverso devolve um ângulo entre menos noventa e noventa; o cosseno inverso devolve um entre zero e cento e oitenta. Para todo valor da faixa as duas respostas somam noventa graus, que é a conferência mais rápida de qualquer uma delas — o cosseno inverso de 0,5 é sessenta e o seno inverso é trinta. A segunda solução também se acha de outro jeito, subtraindo de uma volta inteira aqui e de meia volta lá.
O que acontece se o valor for maior que 1?
A página recusa. O cosseno de um ângulo fica entre menos um e um faça o ângulo o que fizer, então a imagem da função inversa é exatamente essa faixa, e um valor fora dela não corresponde a ângulo nenhum. É a mesma fronteira que o seno inverso tem, e vem do mesmo lugar: a razão entre dois lados de um triângulo não pode passar de um quando o lado de baixo é o mais longo dos três.
Como achar um ângulo a partir de um cosseno à mão?
Use os valores que vale memorizar — um cosseno de 0,5 é sessenta graus, 0,7071 é quarenta e cinco, e 0,866 é trinta — e leia o resto numa tabela ou na calculadora. Depois lembre do segundo ângulo, que é o reflexo do primeiro em relação ao eixo horizontal e se acha subtraindo de trezentos e sessenta. Esta é a página a procurar quando um triângulo dá três lados: a lei dos cossenos entrega um cosseno e para por aí.
Por que a tabela corre ao contrário?
Porque o cosseno diminui conforme o ângulo cresce. Ao longo da faixa que esta página informa, de zero a cento e oitenta graus, o cosseno cai de um até menos um, então uma entrada maior sempre corresponde a um ângulo menor. Leia a tabela de cima para baixo e a coluna de respostas vai de cento e oitenta até zero. A página do seno inverso se comporta ao contrário, e essa diferença é a mesma que se vê no formato das duas curvas.
Cosseno inverso é a mesma coisa que um dividido pelo cosseno?
Não. O cosseno inverso desfaz o cosseno: dê 0,5 a ele e ele devolve sessenta graus. Um dividido pelo cosseno dá a 0,5 a resposta 2, que é a secante de sessenta graus — uma razão, e não um ângulo. A notação torna a confusão fácil, porque o inverso costuma ser escrito com um menos um sobrescrito que parece um expoente e não é.

Referências

Calculadoras relacionadas

Calculadora de cossenoCosseno de um ângulo em graus ou radianos.Calculadora de trigonometriaSeno, cosseno e tangente em graus ou radianos.Calculadora de seno inversoÂngulo a partir de um seno, em graus ou radianos.Calculadora de tangente inversaÂngulo a partir de uma tangente, em graus ou radianos.