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CalcMax

Calculadora de seno inverso

Intervalo: -1 – 1

Resultado

30,00 °

Ângulo

Ângulo em radianos
0,5236 rad

Uma calculadora de seno inverso transforma um valor de seno de volta em um ângulo. Você entrega a ela um número entre menos um e um; ela diz qual ângulo tem esse número como seno, em graus e em radianos. Tudo o que ela não consegue fazer decorre de um único fato: um valor de seno não pertence a um só ângulo. Um seno de 0,5 é o seno de trinta graus, e também de cento e cinquenta graus, e também de trezentos e noventa, e de cada um desses menos uma volta inteira. A função seno inverso devolve exatamente um deles — o que fica entre menos noventa graus e noventa graus —, e é isso que valor principal quer dizer. Não é uma afirmação de que os outros não existam. A função é escrita arcsin, e a página informa a resposta dela duas vezes: uma em graus, outra em radianos, porque as duas formas são pedidas o tempo todo e converter entre elas à mão é onde acontece a maior parte dos erros de aritmética nesse assunto. Dois limites cercam a resposta. O valor tem de ficar entre menos um e um, já que o seno de um ângulo nunca sai dessa faixa; peça o seno inverso de 1,5 e não há ângulo a dar, então a página recusa em vez de imprimir um espaço em branco. E a resposta tem sinal: uma entrada negativa dá um ângulo negativo, e não o ângulo equivalente na metade de baixo da circunferência — é o único ponto em que esta página lê diferente das páginas de arco duplo e de arco metade. A tabela abaixo lista nove valores com o ângulo principal, os radianos dele e o segundo ângulo da circunferência que compartilha o mesmo seno.

Nove valores de seno com o ângulo principal e a segunda solução

sen θθ (graus)outro θ (graus)θ (radianos)
-1-90270-1.5708
-0.866-60240-1.0471
-0.7071-45225-0.7854
-0.5-30210-0.5236
001800
0.5301500.5236
0.7071451350.7854
0.866601201.0471
190901.5708

A segunda coluna é o que a função devolve e a terceira é o que ela deixa de fora, e o par é o motivo de existir da tabela. Leia primeiro as linhas do meio: um valor de zero pertence ao par zero e cento e oitenta, e 0,5 — o valor com que a página carrega — ao par conhecido trinta e cento e cinquenta. Ao longo da tabela inteira as duas colunas somam cento e oitenta, que é a aritmética do reflexo, e a soma se mantém inclusive nas pontas. As duas pontas são onde a tabela deixa de ser interessante, cada uma a seu modo. Em cima o par é noventa e noventa: a curva do seno dá meia volta no topo, então o reflexo de noventa graus é noventa graus de novo, e as duas colunas imprimem o mesmo número. Embaixo o par lê menos noventa e duzentos e setenta, que são a mesma direção escrita de dois jeitos — a segunda coluna conserva o sinal que a função devolve e a terceira já foi colocada na circunferência, e as duas só parecem ângulos diferentes porque uma delas pode ser negativa. A quarta coluna é a segunda convertida; repare que ela vai de menos 1,5708 a 1,5708, meia volta de pi para cada lado, enquanto as colunas de ângulo percorrem meia volta inteira. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.

Fórmula

θ = arcsin x x ∈ [−1, 1] θ ∈ [−90°, 90°] a outra solução em [0°, 360°) é 180° − θ

x
O valor de seno de partida. Ele tem de ficar entre menos um e um: o seno de um ângulo não sai dessa faixa, então um valor fora dela não corresponde a ângulo nenhum
θ
O ângulo que a função devolve, chamado de valor principal. Ele está sempre entre menos noventa graus e noventa graus, e é informado em graus e em radianos
180° − θ
O segundo ângulo da circunferência com o mesmo seno. Reflexos em relação ao eixo vertical compartilham o seno, e é por isso que subtrair de cento e oitenta encontra o parceiro, em vez de somar a ele

Recorra a esta página quando você tem uma razão e quer o ângulo — uma inclinação de terreno informada como seno, uma componente de força dada como fração do total, a leitura de uma tabela em que só a razão foi tabulada. A função seno inverso é também a que se procura quando um problema de triângulo entrega dois lados e pede o ângulo oposto a um deles, já que o seno de um ângulo é o cateto oposto sobre a hipotenusa. Duas vizinhas importam aqui. Se você quer as três razões em um ângulo, e não o ângulo a partir de uma razão, a página de trigonometria caminha no sentido oposto, e as duas concordam onde ambas estão definidas. E se o que você tem de fato é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa, essa é a do cosseno inverso, cuja faixa cobre a metade de cima da circunferência em vez da metade da direita.

Exemplos resolvidos

  1. Um valor de seno de 0,5

    1. O valor está dentro da faixa de menos um a um, então há um ângulo a encontrar
    2. Trinta graus é o ângulo da faixa principal cujo seno é 0,5, então a página informa trinta graus
    3. Em radianos isso é trinta vezes pi sobre cento e oitenta, que é um sexto de pi, ou 0,5236

    O valor com que a página carrega, e o que mostra quanto custa a faixa. Cento e cinquenta graus também tem seno 0,5 — é o reflexo de trinta graus em relação ao eixo vertical —, mas a função devolve um número só, e trinta é o que está na faixa. A tabela torna visível o ângulo que se perde: 0,5 é a sexta das nove linhas, e a terceira coluna dessa linha é 150. Os dois ângulos são respostas da mesma pergunta; só um deles é o que uma função tem permissão de devolver.

  2. Um valor de seno de 0,25, que não é um ângulo notável

    1. Um quarto não é o seno de nenhum ângulo da tabela de sempre, então a resposta vai ser decimal
    2. O ângulo cujo seno é 0,25 é 14,48 graus, com duas casas decimais
    3. Em radianos o mesmo ângulo é 0,2527, o que é praticamente o próprio valor do seno, que aqui por acaso é um quarto

    A maior parte dos valores cai aqui, e não num ângulo notável, e esta linha é a cara de uma consulta de verdade. A coluna dos radianos merece um olhar: para ângulos pequenos a medida em radianos fica muito próxima do próprio valor do seno, e é por isso que 0,2527 se senta perto de 0,25. Essa é a aproximação de ângulo pequeno, e o fato de ela aparecer sozinha numa tabela é a demonstração mais curta de por que o radiano é a unidade que o cálculo usa.

  3. Um valor de seno negativo, menos 0,5

    1. Menos 0,5 está dentro da faixa, então a página encontra um ângulo
    2. O ângulo da faixa principal cujo seno é menos 0,5 é menos trinta graus
    3. Os radianos seguem o mesmo sinal: −0,5236

    O outro ponto em que esta página lê diferente das de arco duplo e arco metade. Lá, um ângulo negativo era trazido para a faixa antes de qualquer outra coisa e voltava como uma posição na metade de cima da circunferência. Aqui a resposta fica com sinal, porque a faixa principal é o intervalo de menos noventa a noventa e metade dele está abaixo de zero. Trinta graus abaixo da horizontal e trinta graus acima dela são o mesmo ângulo com sinais opostos, e a função informa o que combina com o sinal da entrada. A linha da tabela para menos 0,5 mostra as duas leituras: menos trinta na segunda coluna e 210 na terceira.

  4. Um valor de seno de 1, na borda da faixa

    1. Um é o maior seno que um ângulo tem, então a resposta é o topo da faixa principal
    2. Noventa graus tem seno um, e nenhum ângulo tem um maior que esse
    3. Em radianos um ângulo reto é metade de pi, que é 1,5708

    A linha em que as duas soluções se fundem numa só. Todo outro valor de seno da faixa pertence a dois ângulos diferentes, mas o um pertence a noventa graus e a nada mais na circunferência — a curva do seno dá meia volta ali, então o reflexo de noventa graus em relação ao eixo vertical é noventa graus de novo. A tabela mostra isso às claras: a segunda e a terceira colunas da última linha leem as duas 90. Não é uma entrada duplicada, é a curva achatando no topo dela.

Limitações

Três coisas que esta página não faz. Primeira: um valor fora da faixa de menos um a um não tem resposta e é recusado em vez de aproximado — 1,5 não é o seno de coisa nenhuma. Segunda: a resposta é só o valor principal. Todo valor de seno entre menos um e um pertence a dois ângulos dentro de uma volta e a infinitos ao longo das voltas, e a página devolve o que está na faixa de menos noventa a noventa; se o ângulo que você quer é o outro, a terceira coluna da tabela o traz, e se é o mesmo ângulo mais ou menos voltas inteiras, nada aqui vai dizer quantas. Terceira: os radianos saem com quatro casas decimais e os graus com duas, então um valor que cai num ângulo notável depois do arredondamento é impresso como esse ângulo — o seno inverso de 0,866 é impresso como sessenta graus, ainda que o seno exato de sessenta graus seja um pouco maior que 0,866: o arco seno de 0,866 dá 59,9971 graus, e são as duas casas decimais que transformam isso em sessenta.

Perguntas frequentes

Por que o seno inverso de 0,5 dá 30 graus e não 150?
Porque os dois ângulos têm seno 0,5, e uma função só pode devolver um número. A faixa da função seno inverso é fixada como o intervalo de menos noventa graus a noventa graus, e trinta é o ângulo que está nesse intervalo. Cento e cinquenta graus é uma resposta perfeitamente boa para a equação, e a tabela desta página a mostra na terceira coluna, mas não é o que a função devolve.
O que acontece se eu digitar um valor maior que 1?
A página recusa, porque nenhum ângulo tem seno acima de um. O seno de um ângulo fica entre menos um e um faça o ângulo o que fizer, então a imagem da função inversa é exatamente essa faixa, e nada fora dela corresponde a um ângulo. Isso é diferente de um valor como 1,5 numa divisão, em que um número grande simplesmente produz um pequeno — aqui a própria pergunta não tem resposta.
Por que a resposta é negativa quando o valor é negativo?
Porque a faixa principal vai de menos noventa graus a noventa graus, e metade dela fica abaixo de zero. A função seno é ímpar — o seno de menos trinta é o negativo do seno de trinta —, então desfazê-la sobre um valor negativo dá um ângulo negativo. O ângulo equivalente na metade de baixo da circunferência, 330 graus para uma entrada de menos 0,5, aponta na mesma direção; a página informa o que tem sinal.
Como achar um ângulo a partir de um seno à mão?
Procure o valor numa tabela de senos, ou estime pela faixa: um seno de 0,5 é trinta graus, um seno de 0,7071 é quarenta e cinco, e um seno de 0,866 é sessenta. Para qualquer coisa entre esses valores, a calculadora é o caminho prático. A única coisa a lembrar ao fazer à mão é o segundo ângulo: todo valor de seno na faixa aberta pertence a dois ângulos dentro de uma volta, e uma tabela costuma listar só o primeiro.
Qual é o seno inverso em radianos?
O mesmo ângulo, medido de outro jeito. Trinta graus é um sexto de pi, o que dá 0,5236 radianos, e a página imprime os dois para que a conversão nunca precise ser feita à mão. O radiano é a unidade que faz a derivada do seno ser igual ao cosseno, e é por isso que tudo o que envolve cálculo declara ângulos assim, enquanto tudo o que é medido com transferidor os declara em graus.
Seno inverso é a mesma coisa que um dividido pelo seno?
Não, e os dois se confundem fácil porque ambos são escritos com a palavra seno. O seno inverso desfaz o seno: ele recebe 0,5 e devolve trinta graus. Um dividido pelo seno recebe 0,5 e devolve 2, que é a cossecante de trinta graus — uma razão, não um ângulo. A notação piora a confusão, já que o inverso costuma ser escrito com um menos um sobrescrito que se parece exatamente com um expoente.

Referências

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