Calculadora de cosseno

cos θ = adjacente ÷ hipotenusa cos θ = a coordenada x do ponto em que θ cai

θ

O ângulo, em graus ou radianos. Ele pode ser negativo e pode passar de uma volta inteira — só importa onde ele cai na circunferência

adjacente

O lado que fica ao lado do ângulo θ, em um triângulo retângulo construído em torno dele: aquele que não está à frente de θ e não é a hipotenusa

hipotenusa

O lado mais longo, à frente do ângulo reto. Ele é sempre pelo menos tão longo quanto o lado adjacente, e é por isso que a razão nunca passa de um

Recorra a esta página quando você quer um número e não três: o cosseno de um ângulo de fase que você vai decompor em componentes, a fração de uma força que age ao longo de uma superfície, a coordenada x de um ponto que você está girando. A tabela de valores de cosseno abaixo cobre doze ângulos, quatro por volta, e é o jeito mais rápido de ver a forma inteira da função — ela começa em um, cai a zero em um ângulo reto, chega a menos um em meia volta e volta. Se você precisa também do seno e da tangente do mesmo ângulo, a página de trigonometria imprime os três juntos e os números concordam até a última casa; se o que você quer é enxergar o ponto em si, a página da circunferência trigonométrica é construída em torno dele. E se você tem um cosseno e quer o ângulo de volta — um cosseno de 0,5 pertence a mais de um ângulo, então essa é outra pergunta, com um conjunto de respostas em vez de uma —, a página do cosseno inverso faz isso.

1. Um ângulo de 60 graus

   1. Gire 60 graus no sentido anti-horário a partir do semieixo x positivo
   2. O ponto em que você para é (1/2, √3/2)
   3. A coordenada x é o cosseno, então o cosseno é 1/2 — o √3/2 pertence ao seno

   O ângulo com que a página carrega, e o que vale comparar com a página de trigonometria: lá o mesmo ângulo dá o cosseno 0,5 e o seno 0,866, e 0,5 é exatamente o que sai aqui. O par é o lembrete mais claro de que o cosseno de sessenta e o seno de trinta são o mesmo número, porque sessenta e trinta são os dois ângulos agudos de um mesmo triângulo retângulo.

2. Um ângulo de 0 graus, o maior valor que um cosseno alcança

   1. Zero graus é rotação nenhuma: o ponto continua no semieixo x positivo
   2. As coordenadas dele são (1, 0)
   3. A coordenada x é 1, então o cosseno é 1

   Um é o teto. O cosseno não consegue passar disso em ângulo nenhum, porque ele é a coordenada x de um ponto que está a uma unidade da origem, e nenhum ponto assim fica mais à direita que um. Ele alcança esse valor em zero graus e de novo a cada volta inteira depois disso — trezentos e sessenta, setecentos e vinte — e em nenhum ponto intermediário.

3. Um ângulo no segundo quadrante, 120 graus

   1. Cento e vinte graus é um terço de volta, então o ponto está no segundo quadrante
   2. A coordenada x dele agora está à esquerda da origem, então é negativa
   3. O tamanho da leitura é o mesmo de sessenta graus, e o sinal se inverteu

   Passado um ângulo reto, o ponto cruza para a esquerda do eixo y e o cosseno fica negativo, e ali permanece até duzentos e setenta graus. É esta a coisa mais útil que o sinal de um cosseno informa: um cosseno negativo quer dizer que a direção que você está descrevendo aponta para trás, faça o seno o que fizer.

4. Um ângulo negativo, menos 60 graus

   1. Um ângulo negativo gira no sentido horário em vez do anti-horário
   2. O ponto cai abaixo do eixo x, em (1/2, −√3/2)
   3. A coordenada x dele é o mesmo 1/2, então o cosseno não muda

   O cosseno é uma função par: ele dá a mesma resposta para um ângulo e para o negativo dele. O seno e a tangente não — os dois mudam de sinal aqui. Numa tabela de uma coluna só isso é fácil de ver, e é por isso que os doze ângulos abaixo incluem dois que são os negativos dos que ficam em frente a eles.

Duas coisas a ter em mente. As leituras saem com quatro casas decimais, e para a maioria dos ângulos da tabela o valor exato é uma raiz ou uma fração que decimal nenhum termina: o cosseno de trinta graus é raiz de três sobre dois, e 0,866 é onde isso cai depois do arredondamento, não o número em si. Os ângulos em que o valor é exato — zero, sessenta, noventa, cento e vinte, cento e oitenta — são aqueles em que a leitura parece limpa, e isso é uma propriedade desses ângulos, não da calculadora. Em segundo lugar, esta página não vai no sentido contrário. Um cosseno de 0,5 pertence a sessenta graus, a trezentos, e a infinitos ângulos além desses, porque a função se repete a cada volta inteira e se espelha em torno do zero; recuperar um único ângulo a partir de um cosseno exige uma decisão a mais sobre qual faixa você quer, e esse é o trabalho da página do cosseno inverso.

Existe algum ângulo cujo cosseno não exista?

Não. O cosseno existe em todo ângulo, inclusive naqueles em que a tangente não tem valor: em noventa graus o cosseno é zero e em duzentos e setenta graus ele é zero de novo, os dois números perfeitamente comuns. É essa a diferença entre as duas funções em uma frase — a tangente é uma razão que pode cair numa divisão por zero, e o cosseno nunca cai. Por isso esta página nunca recusa uma leitura.

Por que o cosseno de 60 graus é igual ao seno de 30 graus?

Porque sessenta e trinta são os dois ângulos agudos de um mesmo triângulo retângulo. Nesse triângulo, o lado que fica ao lado do ângulo de sessenta graus é o lado que está à frente do ângulo de trinta, então a razão que dá o cosseno de um é a razão que dá o seno do outro. A tabela abaixo mostra a mesma coisa pelo lado da circunferência: a coluna do cosseno e a coluna do seno são os mesmos números, deslocados de um quarto de volta.

O que um cosseno negativo quer dizer?

Que a direção que você está descrevendo aponta para a esquerda do eixo y — mais de um quarto de volta em relação ao ponto de partida, e menos de três quartos. Não é um erro e não é um valor menor: menos um meio é maior que menos um, e o cosseno alcança o menor valor dele em meia volta. Entre noventa e duzentos e setenta graus todo cosseno é negativo, e fora desse trecho todo cosseno é positivo.

Posso informar o ângulo em radianos?

Pode — há um seletor de unidade ao lado da caixa, e o ângulo é lido do mesmo jeito qualquer que seja a escolha. Sessenta graus e 1,0472 radianos dão o mesmo cosseno, um meio. A única coisa a observar é qual unidade a fonte com que você está comparando assume, já que por padrão a maioria delas entende graus.

Por que o cosseno de 90 graus aparece como zero e o seno do mesmo ângulo é exatamente um?

Porque em um ângulo reto o ponto está sobre o eixo y: a coordenada x dele é zero e a coordenada y é um. O cosseno é a coordenada x, então é zero, e o seno é a coordenada y, então é um. Os dois são exatos, e o par é a ilustração mais clara do que as duas funções são — o cosseno mede o quanto o ponto está à direita, e nesse ângulo ele não está à direita de jeito nenhum.

Por que esta página dá um número onde a página de trigonometria dá três?

Porque é para isso que as duas servem. A página de trigonometria existe para que as três razões possam ser comparadas entre si, e a tabela dela tem uma coluna para cada uma. Esta página existe para quem quer o cosseno e nada mais, e a coluna única é o que torna visível a forma da função: um em zero, zero em um ângulo reto, menos um em meia volta, zero de novo em três quartos, de volta a um. As duas páginas concordam até a última casa em todo ângulo, então a escolha é de apresentação, não de aritmética.

• Cosine — the function the unit circle reads off as the x-coordinate, its even symmetry, and the values it takes at the special angles — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, their ranges, and why the cosine is defined everywhere while the tangent is not — Wolfram MathWorld (United States)
• Unit Circle — the circle of radius one, and why the coordinates of a point on it are the cosine and the sine — Wolfram MathWorld (United States)
• Sine, Cosine and Tangent — a first-principles walk through the three ratios in a right triangle, with the special angles worked out rather than asserted — Math is Fun (United Kingdom)