Calculadora de seno

sen θ = oposto ÷ hipotenusa sen θ = y ÷ r sen θ = −sen(−θ)

θ

O ângulo, em graus ou radianos. Ele pode ser negativo e pode passar de uma volta inteira — só importa onde ele cai na circunferência

oposto / hipotenusa

Os dois lados que um triângulo retângulo com o ângulo θ oferece: o lado à frente de θ e o lado mais longo. O seno é o primeiro dividido pelo segundo, e é por isso que ele nunca é maior que um nem menor que menos um

y / r

A mesma razão lida numa circunferência de raio r: y é a altura do ponto em que o ângulo cai. Na circunferência de raio um, r vale um, então o seno é simplesmente essa altura

quadrante

Em qual dos quatro quartos do plano cartesiano o ângulo cai, contados no sentido anti-horário a partir do semieixo horizontal positivo. Zero quer dizer que o ângulo fica exatamente sobre um eixo e não pertence a quadrante nenhum

Use esta página quando você tem um ângulo e quer a altura que anda junto com ele — a componente vertical de uma inclinação, a subida de uma rampa medida contra o comprimento dela, a decomposição de uma força na parte que aponta para cima. É também o jeito mais rápido de conferir um sinal: se você sabe que o ângulo passou de noventa graus, o seno continua positivo até cento e oitenta graus, e esta página imprime o quadrante para você ver que o ponto andou para a esquerda sem deixar de estar em cima. A tabela de referência põe os mesmos doze ângulos na mesma ordem da página do cosseno, então as duas podem ser lidas lado a lado: numa delas há um travessão onde a tangente desiste, e esta página nunca tem travessão nenhum. Se você quer o seno ao lado do cosseno e da tangente, a página de trigonometria imprime os três juntos. E se o que você tem é um valor de seno e quer o ângulo de volta, esse é o sentido inverso, em que dois ângulos dividem cada valor entre menos um e um.

1. Um ângulo de 30 graus, o valor com que a página abre

   1. Metade de um triângulo equilátero é o triângulo retângulo de 30 graus
   2. O lado à frente do ângulo de trinta graus é metade da hipotenusa
   3. Um meio dividido por um dá 0,5, e o ponto está acima do eixo horizontal e à direita do vertical, então o quadrante é 1

   O ângulo com que a página carrega, e a leitura desta página que é exata de um jeito que se vê sem decimais. Trinta graus é também onde o seno é o menor entre os ângulos notáveis cujo valor não é zero — um quarto de volta é um, um oitavo de volta é 0,7071, e este é 0,5. A coluna do quadrante mostra 1 porque o ponto está acima do eixo horizontal e à direita do vertical.

2. Um ângulo de 150 graus, o mesmo seno em outro quadrante

   1. Cento e cinquenta graus é trinta graus antes de um ângulo raso
   2. O ponto passou para a esquerda do eixo vertical, mas continua acima do horizontal
   3. A altura é a mesma de trinta graus, então o seno é 0,5 e o quadrante passou a 2

   O caso mais claro de por que esta página imprime um quadrante: o número sozinho não distingue esses dois ângulos. Trinta e cento e cinquenta graus compartilham o seno de 0,5, e são os dois únicos ângulos de uma volta inteira que fazem isso. Esse emparelhamento é uma regra e não uma coincidência — o seno de um ângulo é igual ao seno do suplemento dele, que é o que aparece quando se dobra a circunferência pelo eixo vertical.

3. Um ângulo negativo, menos 30 graus

   1. Menos trinta graus é trinta graus medidos no outro sentido, no sentido horário a partir do semieixo horizontal positivo
   2. O ponto agora está abaixo do eixo em vez de acima, então a altura é negativa
   3. A leitura é −0,5 e o quadrante é 4

   É isto que uma função ímpar quer dizer: mude o sinal do ângulo e a resposta muda de sinal junto. O cosseno não se comporta assim — a leitura dele em menos trinta graus é o mesmo 0,866 que ele dá em mais trinta. Vale guardar essa diferença, porque ela volta em toda fórmula que mistura os dois, e é por isso que a tabela abaixo não é simétrica em relação à primeira linha.

4. Um ângulo de 90 graus, onde a coluna do quadrante mostra zero

   1. Em um ângulo reto o lado oposto e a hipotenusa são o mesmo lado
   2. Um lado dividido por ele mesmo dá um, então o seno é 1 — o maior valor que ele assume
   3. O ponto está sobre o eixo vertical em vez de dentro de um quarto, então o quadrante é 0

   A leitura 1 é o topo da faixa, e nenhum ângulo passa disso. O zero na coluna do quadrante é a convenção que esta página segue para os quatro ângulos de eixo: zero, noventa, cento e oitenta e duzentos e setenta graus não estão em quadrante nenhum, porque um quadrante é um quarto aberto e o eixo é a fronteira dele. Os dois zeros da tabela abaixo vêm dessa regra, e esta é a linha em que fica mais fácil ver por que ela é a resposta honesta em vez de um valor que falta.

Três limites que vale dizer sem rodeios. As leituras saem com quatro casas decimais e a maioria delas é irracional: o seno de sessenta graus é metade da raiz de três, então 0,866 é um truncamento e não a resposta, e trinta, noventa e os reflexos deles são as únicas linhas desta página com valores exatos curtos. Em segundo lugar, o quadrante é um rótulo de um quarto do plano, e não uma medida, e os quatro ângulos que ficam sobre um eixo não pertencem a quarto nenhum — a coluna mostra 0 para eles. Esse zero não é um valor faltando nem um quinto quadrante; é a afirmação de que o ângulo está na fronteira. Em terceiro lugar, a página não inverte. Dado um seno de 0,5, o ângulo pode ser trinta graus, cento e cinquenta graus, ou qualquer um dos dois mais um número inteiro de voltas, e escolher entre eles exige uma decisão que esta página não toma. Ângulos além de um milhão de graus para cada lado são recusados em vez de reduzidos, porque a própria redução deixa de fazer sentido nesse tamanho.

Por que o seno nunca deixa de existir, e a tangente deixa?

Porque a divisão é feita ao contrário. O seno é o lado oposto dividido pela hipotenusa, e a hipotenusa é o lado mais longo, então a fração fica sempre entre menos um e um e o denominador nunca é zero. A tangente é o lado oposto dividido pelo lado adjacente, e em um ângulo reto o lado adjacente é zero — dividir por zero não tem resposta, e é esse o ângulo que a página da tangente recusa. Esta página aceita todos os ângulos, inclusive noventa graus, onde a leitura é um.

O que a coluna do quadrante está me dizendo?

Em qual dos quatro quartos do plano cartesiano o ângulo cai, contados no sentido anti-horário a partir do semieixo horizontal positivo. O sinal do seno diz se o ponto está acima ou abaixo do eixo e o sinal do cosseno diz se está à esquerda ou à direita, então os dois sinais juntos nomeiam o quarto. Esta página imprime o quadrante porque o seno sozinho não consegue: 30 graus e 150 graus dividem um seno de 0,5, e só o quadrante diz qual dos dois você tem.

Por que os ângulos de eixo mostram quadrante zero?

Porque zero, noventa, cento e oitenta e duzentos e setenta graus ficam sobre um eixo em vez de dentro de um quarto, e um quadrante é um quarto aberto cuja fronteira é o eixo. Arquivá-los no primeiro quadrante seria uma afirmação falsa — o ponto não está acima do eixo horizontal, ele está sobre ele. O zero é a resposta honesta, e é a mesma convenção que a coluna do quadrante da tabela de referência usa.

Por que o seno de 150 graus é igual ao seno de 30 graus?

Porque o seno de um ângulo é igual ao seno do suplemento dele. Cento e cinquenta graus é trinta graus antes de um ângulo raso, e dobrar a circunferência pelo eixo vertical leva um ponto ao outro, então os dois ficam na mesma altura. Os ângulos que dividem um seno são sempre um par dentro de uma volta inteira, e são imagens espelhadas em relação ao eixo vertical, e não ao horizontal — que é exatamente por que o quadrante muda enquanto o valor não muda.

O seno é negativo em algum caso?

Sim, em todo ângulo abaixo do eixo horizontal, ou seja, na segunda metade da volta e em todos os ângulos negativos. A leitura é negativa entre cento e oitenta e trezentos e sessenta graus, e o menor valor que ela alcança é menos um, em duzentos e setenta. Nesse aspecto o seno difere do cosseno em um quarto de volta e não em meia volta: o cosseno fica negativo assim que o ponto cruza o eixo vertical, e o seno fica negativo assim que ele cruza o horizontal.

Posso informar o ângulo em radianos?

Sim — a caixa tem um seletor de unidade ao lado e a leitura é do mesmo ângulo nos dois casos. Trinta graus e 0,5236 radianos dão o mesmo seno, um meio, e o mesmo quadrante. O que vale conferir é qual unidade a fonte com que você está comparando assume, porque a maioria das tabelas impressas está em graus e a maioria das linguagens de programação não.

• Sine — the opposite-over-hypotenuse ratio, its odd symmetry, and its period of one full turn — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of all six ratios, their ranges, and why the sine is defined at every angle while the tangent is not — Wolfram MathWorld (United States)
• Unit Circle — the circle of radius one, the four quadrants it is divided into, and why a point on it is read as a cosine and a sine — Wolfram MathWorld (United States)
• Sine, Cosine and Tangent — a first-principles walk through the ratios in a right triangle, with the special angles worked out rather than asserted — Math is Fun (United Kingdom)