Calculadora de lei dos senos

a ÷ sen A = b ÷ sen B = c ÷ sen C sen B = b · sen A ÷ a C = 180° − A − B c = a · sen C ÷ sen A

a e A

O lado que você conhece junto com o ângulo que se opõe a ele. Esses dois formam o par que fixa a razão para o triângulo inteiro, e pelo menos um deles precisa estar presente para usar esta lei

b

O segundo lado que você conhece. É ele que decide quantos triângulos as peças permitem, e todo o caso ambíguo depende de como o comprimento dele se compara com o do lado a

B

O ângulo à frente do lado b. Tomar o arco-seno da razão devolve sempre o ângulo agudo, entre zero e noventa graus, e quando o parceiro obtuso também cabe em um ângulo raso existe um segundo triângulo que usa esse parceiro

C e c

O terceiro ângulo e o terceiro lado, os dois obtidos depois que B está resolvido: o ângulo subtraindo os outros dois de um ângulo raso, o lado a partir da mesma razão compartilhada

Use esta página quando você conhece dois lados e um ângulo que não está entre eles — dois rumos e uma distância medida através de uma enseada, dois lados de uma poligonal de levantamento em que o ângulo está na outra ponta — e quer o resto do triângulo. É a única forma de ângulo e lado que a lei dos cossenos não atende com conforto, e também a única em que a resposta pode ser uma escolha em vez de uma medida, e é por isso que esta página começa pela contagem. Se as peças admitirem dois triângulos, olhe os ângulos além dos lados antes de decidir em qual você está: quem faz um levantamento mirando dois pontos de referência costuma saber se o canto à frente é agudo ou obtuso, e esse único fato escolhe o triângulo. Se você tem os três lados, ou dois lados e o ângulo entre eles, a página da lei dos cossenos é a ferramenta certa e lá não há ambiguidade alguma. E se o que você quer é um lado só de um triângulo retângulo, a página do triângulo retângulo é mais curta que qualquer uma das duas.

1. Dois lados e um ângulo bem aberto, 6, 30 graus e 8

   1. A razão compartilhada é o lado a dividido pelo seno do ângulo A, ou seja, 6 dividido por 0,5, que dá 12
   2. O seno do ângulo B é o lado b dividido por essa razão, ou seja, 8 dividido por 12, que dá 0,6667
   3. O ângulo cujo seno é 0,6667 é 41,81 graus — e o suplemento dele, 138,19 graus, tem o mesmo seno, então os dois são candidatos
   4. O ângulo C é o que sobra de um ângulo raso: 180 menos 30 menos 41,81 dá 108,19
   5. O lado c vem da mesma razão, 12 vezes o seno de 108,19 graus, que dá 11,4

   Os valores com que a página abre, e a figura clássica do caso ambíguo: o segundo lado é maior que o primeiro, então o ângulo agudo B que ele determina é maior que A e o suplemento de B ainda cabe ao lado de A — daí as duas soluções. As quatro leituras descrevem o triângulo construído sobre o ângulo agudo B, aquele em que o segundo lado fica inclinado para trás. O outro triângulo usa o parceiro obtuso de 41,81 graus, que é 138,19, e ele está na última coluna da tabela abaixo; o terceiro ângulo dele é um estreito 11,81 graus, e não os 108,19 impressos aqui. Os dois são respostas corretas para as mesmas três peças de informação.

2. O mesmo ângulo com um segundo lado mais curto, 8, 30 graus e 6

   1. A razão compartilhada é 8 dividido pelo seno de 30 graus, que dá 16
   2. O seno do ângulo B é 6 dividido por 16, que dá 0,375
   3. O ângulo cujo seno é 0,375 é 22,02 graus; o suplemento dele, 157,98, não deixa espaço para o ângulo A, porque 30 mais 157,98 já passa de um ângulo raso, então só a opção aguda sobrevive
   4. O ângulo C é 180 menos 30 menos 22,02, que dá 127,98
   5. O lado c é 16 vezes o seno de 127,98 graus, que dá 12,61

   Troque os dois lados de posição e a ambiguidade desaparece: 6 é menor que 8, então o ângulo agudo B que ele determina é menor que A, o suplemento de B não deixa espaço para A e sobra um triângulo só. A contagem cai de dois para um sem que nenhum outro número mude de natureza, que é justamente o motivo de imprimir a contagem em primeiro lugar: as mesmas três peças de entrada produzem uma resposta diferente só por causa de como os dois comprimentos se comparam. Repare que o triângulo sobrevivente é o obtuso em C, com 127,98 graus, porque com um segundo lado mais curto a figura só fecha avançando mais pela base.

3. O caso de fronteira, 5, 30 graus e 10

   1. A razão compartilhada é 5 dividido pelo seno de 30 graus, que dá 10
   2. O seno do ângulo B é 10 dividido por 10, que dá exatamente 1
   3. Um seno igual a 1 fixa o ângulo em 90 graus sem segunda opção, porque não existe outro ângulo entre zero e 180 com o mesmo seno
   4. O ângulo C é 180 menos 30 menos 90, que dá 60, e o lado c é 10 vezes o seno de 60 graus, que dá 8,66

   O segundo lado é longo o bastante para alcançar exatamente uma vez: ele desce em esquadro sobre a terceira lateral e o triângulo é retângulo, com B em exatamente 90 graus. Este é o divisor entre dois triângulos e nenhum, e vale a pena ver o que acontece ao passar por ele. Com o lado um fio mais curto que este, as duas soluções aparecem juntas, uma logo acima de noventa graus e a outra logo abaixo, e depois se separam conforme o lado cresce; com o lado um fio mais longo, a segunda posição deixa de alcançar a terceira lateral e não sobra triângulo nenhum. No valor exato existe um, e o seno dele dá exatamente 1, sem nada arredondado.

4. Um ângulo de 90 graus dado, e não encontrado

   1. A razão compartilhada é 10 dividido pelo seno de 90 graus, que é o próprio 10
   2. O seno do ângulo B é 6 dividido por 10, ou 0,6, o que dá 36,87 graus
   3. O ângulo C é 180 menos 90 menos 36,87, que dá 53,13
   4. O lado c é 10 vezes o seno de 53,13 graus, que dá 8

   Aqui o ângulo reto é uma das peças que você forneceu, e não algo que a aritmética descobre, e a razão compartilhada vira a hipotenusa dividida por um — ou seja, a própria hipotenusa. A partir daí a lei dos senos dá os dois ângulos agudos diretamente, e o terceiro lado sai exatamente 8, um número redondo porque isto não é outra coisa senão o triângulo três-quatro-cinco multiplicado por dois. É uma boa conferência da página inteira: sempre que o lado à frente do ângulo reto for o maior dos três, tudo deve concordar com o teorema de Pitágoras, e aqui concorda.

Três limites que vale dizer sem rodeios. O painel imprime um triângulo, não dois. Quando a contagem é 2, as quatro leituras abaixo dela são do triângulo construído sobre o ângulo agudo B, e o parceiro obtuso aparece na última coluna da tabela de referência, e não no painel — o painel tem um lugar para uma resposta e nenhum jeito de apresentar duas lado a lado, então a escolha foi imprimir o menor ângulo e apontar para o outro. Em segundo lugar, as peças precisam fazer sentido antes que qualquer coisa possa ser resolvida, e a recusa tem dois motivos independentes: o segundo lado pode ser longo demais para alcançar a terceira lateral, o que acontece quando ele passa do primeiro lado dividido pelo seno do ângulo dado; e o ângulo dado pode ser grande demais para conviver com o ângulo que ele mesmo determina, o que acontece quando os dois somam 180 graus ou mais. O ângulo dado também precisa ficar estritamente entre zero e 180 graus: os dois extremos são recusados em vez de aproximados, porque um triângulo com ângulo zero não tem forma a resolver e, nos dois extremos, a razão compartilhada a dividir pelo seno de A deixaria de ter valor. Em terceiro lugar, as leituras de comprimento saem com duas casas decimais, e isso continua valendo no maior triângulo que a página aceita: com um lado na casa de um bilhão de centímetros, os centésimos impressos ainda são verdadeiros, porque o erro de representação de um número de ponto flutuante nessa ordem de grandeza só aparece por volta da sétima casa decimal. O que duas casas não fazem é separar dois ângulos que caem no mesmo centésimo de grau — é aí que ler a última casa como se fosse exata engana. Os ângulos não têm esse problema de escala: um centésimo de grau continua sendo um centésimo de grau qualquer que seja o tamanho do triângulo.

O que é o caso ambíguo da lei dos senos?

É a situação em que dois lados e um ângulo que não está entre eles permitem dois triângulos diferentes, e não um. O ângulo dado fixa a direção de um lado, mas não para que lado o outro gira, então o segundo lado pode se inclinar para trás e fechar a figura cedo, ou para a frente e fechá-la tarde — um triângulo é pequeno e tem um ângulo obtuso onde o outro, maior, tem um agudo. Os dois usam as mesmas três peças de informação. Esta página conta as possibilidades primeiro e depois resolve a de ângulo agudo, porque a existência da segunda posição depende de como os dois comprimentos se comparam.

Como sei se existe um triângulo ou dois?

São duas conferências, e a segunda costuma ser esquecida. A primeira é comparar o segundo lado com o primeiro: o segundo lado vezes o seno do ângulo dado, dividido pelo primeiro lado, é o seno do ângulo agudo B. Se esse seno passar de 1, não existe triângulo nenhum, porque nenhum ângulo tem seno maior que 1 — e isso acontece quando o segundo lado passa do primeiro dividido pelo seno do ângulo dado. A segunda é verificar se o ângulo agudo B cabe junto com o ângulo dado: se os dois somam 180 graus ou mais, esse ângulo não pertence a este triângulo e também não há solução, mesmo com o seno abaixo de 1. Passadas as duas conferências, o segundo triângulo existe exatamente quando o ângulo agudo B é maior que o ângulo dado — o que, com o ângulo dado agudo, equivale a dizer que o segundo lado é maior que o primeiro. A página faz a comparação por você e imprime o número de soluções como resposta principal.

Qual dos dois triângulos a calculadora me mostra?

O construído sobre o menor ângulo B, que é o triângulo cujo terceiro ângulo é maior. O painel imprime o número de soluções e depois as quatro leituras desse triângulo, e o parceiro obtuso de B aparece na última coluna da tabela de referência ao lado, então os dois estão na mesma página. A razão de mostrar um em vez dos dois é que um painel de resultados tem um lugar para uma resposta; imprimir dois conjuntos de quatro números sem espaço para rotulá-los seria pior do que imprimir um e nomear o outro.

Por que a página recusa um ângulo de 0 ou 180 graus?

Porque um triângulo com ângulo zero não é um triângulo — é um segmento de reta com um ponto em cima, e o lado à frente do ângulo zero teria de ser zero também. Esses dois valores ficam na fronteira em que a figura deixa de existir, e não na borda da aritmética; a resposta honesta é dizer isso em vez de devolver um ângulo de zero grau e um lado de zero que parecem uma solução. Ângulos entre os dois extremos estão todos certos, inclusive os muito próximos deles, em que o triângulo fica muito comprido e muito fino mas continua sendo um triângulo.

Uso a lei dos senos ou a lei dos cossenos?

Use a lei dos senos quando você tem um lado junto com o ângulo que se opõe a ele e mais uma peça, e a lei dos cossenos quando tem os três lados ou dois lados e o ângulo entre eles. O caso que decide é o de dois lados e um ângulo que não está entre eles: é a forma desta página, e é a que a lei dos cossenos atende com desconforto, porque precisa resolver uma equação do segundo grau. É também a forma que carrega a ambiguidade, e por isso esta página gasta a resposta principal no número de soluções.

Por que o comprimento impresso só tem duas casas decimais?

Duas casas decimais é o que a página arredonda, e num triângulo comum isso está bem dentro do que um número de ponto flutuante representa. Num triângulo muito grande também: no maior que a página aceita, com um lado na casa de um bilhão de centímetros, os centésimos impressos ainda são verdadeiros, porque o erro de representação nessa ordem de grandeza só aparece por volta da sétima casa decimal, cinco casas depois da última que a página mostra. O que duas casas não fazem é separar dois ângulos que caem no mesmo centésimo de grau — é aí que ler a última casa como se fosse exata engana. Os ângulos não têm esse problema de escala, porque um centésimo de grau continua sendo um centésimo de grau qualquer que seja o tamanho do triângulo.

• Law of Sines — the shared ratio of a side to the sine of the opposite angle, and the conditions under which the relation admits two triangles — Wolfram MathWorld (United States)
• Law of Cosines — the companion relation for three sides, and the shape of triangle this page cannot take — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the triangle inequality, the rule that the largest side faces the largest angle, and the cases in which a triangle is not determined by its parts — Wolfram MathWorld (United States)
• The Law of Sines — the theorem worked through from first principles, including the ambiguous case and how the number of solutions follows from the lengths — Math is Fun (United Kingdom)