Calculadora de lei dos cossenos

a² = b² + c² − 2bc·cos A cos A = (b² + c² − a²) ÷ 2bc A = arccos((b² + c² − a²) ÷ 2bc)

a, b, c

Os três lados do triângulo, em qualquer unidade que você quiser, desde que os três usem a mesma. O lado a é o que está à frente do ângulo A, e os outros dois seguem o mesmo padrão

A

O ângulo que está à frente do lado a — o que esta forma da lei recupera. Os outros dois ângulos saem da mesma fórmula com as letras giradas

cos A

O cosseno desse ângulo, que é o que os três lados dão diretamente. Recuperar o ângulo a partir dele é um passo separado, e é o passo que coloca a leitura entre zero e cento e oitenta graus

2bc

Duas vezes o produto dos dois lados que se encontram nesse ângulo. É o termo de correção que o teorema de Pitágoras não tem, e é ele que faz a lei funcionar quando nenhum ângulo é reto

Use esta página quando você tem os três lados de um triângulo e quer os ângulos dele — um terreno medido ao longo da cerca, uma peça cortada em três comprimentos, um triângulo desenhado num mapa em que você consegue medir os lados mas não avistar os cantos. É a única das duas páginas de triângulo que não precisa de ângulo nenhum para começar, que é exatamente quando a lei dos senos não ajuda em nada. É também o jeito mais rápido de descobrir se três comprimentos formam um triângulo antes de construir qualquer coisa: digite-os, e ou três ângulos voltam, ou uma mensagem diz qual lado é longo demais. Se você tem dois lados e o ângulo entre eles, essa é a forma lado-ângulo-lado, que pertence à página do triângulo e chega ao mesmo teorema pelo outro extremo. Se o que você quer é a área do triângulo, e não os ângulos, os três lados são também tudo de que a fórmula de Heron precisa. E se o que você tem é um lado e dois ângulos, ou dois lados e um ângulo que não está entre eles, a página da lei dos senos é a que serve.

1. O triângulo três-quatro-cinco, em que um ângulo é exatamente reto

   1. Tome o ângulo que está à frente do lado de comprimento 5
   2. Os quadrados dos outros dois lados somam 9 mais 16, o que dá 25
   3. O termo de correção é duas vezes 3 vezes 4 vezes o cosseno desse ângulo; igualando a expressão inteira a 25, o cosseno fica em zero, então o ângulo é 90 graus
   4. Os outros dois ângulos saem da mesma fórmula com as letras giradas, e dão 36,87 e 53,13

   Os valores com que a página carrega, e o triângulo que todo leitor já encontrou. É o caso em que a lei dos cossenos e o teorema de Pitágoras concordam: o termo de correção desaparece, porque o cosseno de um ângulo reto é zero, e a fórmula volta a ser o teorema. Os dois ângulos agudos são o par que mostra por que dá para confiar nesta página — eles somam 90 exatamente, e o terceiro ângulo é um 90 limpo, sem nada arredondado.

2. Um triângulo equilátero, em que nada é arredondado

   1. Os três lados são iguais, então os três ângulos também são
   2. Os três ângulos somam 180 graus
   3. 180 dividido por 3 dá exatamente 60, então toda leitura é 60 sem perder casa decimal nenhuma

   Três lados iguais dão três ângulos iguais, e como eles precisam somar um ângulo raso, cada um é exatamente sessenta graus — a única linha da tabela abaixo em que as três leituras são exatas. É também uma conferência útil da fórmula: o termo de correção aqui é duas vezes 5 vezes 5 vezes o cosseno de sessenta, o que dá 25, e 25 mais 25 menos 25 é 25, que é o quadrado do terceiro lado. A fórmula concorda consigo mesma.

3. Um triângulo obtusângulo, de lados 2, 3 e 4

   1. Tome o ângulo que está à frente do lado mais longo, que é o que pode ser obtuso
   2. Os quadrados dos outros dois lados somam 4 mais 9, o que dá 13
   3. Subtraia o quadrado do lado mais longo, 16, e sobra −3
   4. Divida por duas vezes o produto dos outros dois lados, que é 12, e o cosseno dá −0,25
   5. O ângulo cujo cosseno é −0,25 é 104,48 graus, e os outros dois saem a 28,96 e 46,57

   O ângulo que está à frente do lado mais longo é o obtuso, e isso é uma regra, não uma coincidência: o maior lado encara o maior ângulo, e assim que um lado fica mais longo que a raiz quadrada da soma dos quadrados dos outros dois, o ângulo que o encara passa de um ângulo reto. Aqui 4 é maior que a raiz quadrada de treze, então o ângulo à frente dele é 104,48 graus. Repare no que as três leituras somam: 180,01, um centésimo acima de um ângulo raso, porque cada uma foi arredondada por conta própria. O parágrafo de limitações abaixo é exatamente sobre isso.

4. Três lados que cabem por um fio, 3, 4 e 7

   1. Três mais quatro dá sete, exatamente o comprimento do lado mais longo
   2. O termo de correção chega ao extremo, e o cosseno do ângulo à frente do lado mais longo dá −1
   3. O ângulo cujo cosseno é −1 é 180 graus, e os outros dois colapsam em zero

   Sete é exatamente três mais quatro, então o triângulo não tem mais folga nenhuma: os dois lados menores se deitam ao longo do maior e a figura é uma reta com os cantos colapsados sobre ela. Essa é a fronteira que a desigualdade triangular permite, e ela é impressa em vez de recusada porque é um limite de verdade — os ângulos vão mesmo a 0, 0 e 180. Aumente qualquer um dos lados curtos em qualquer quantidade e um triângulo de verdade aparece, com ângulos positivos que crescem conforme os lados se separam; diminua, e a página informa que nenhum triângulo tem aqueles lados.

Três limites que vale enunciar sem rodeios. Os três ângulos são calculados de forma independente a partir dos três lados e cada um é arredondado para duas casas decimais, então eles vão somar 180,01 ou 179,99 com frequência, em vez de exatamente um ângulo raso — um triângulo dois-três-quatro erra por um centésimo, como mostra o terceiro exemplo acima. A alternativa seria calcular dois ângulos e obter o terceiro por subtração, o que soma 180 exatamente — mas quebra a simetria pelo outro lado: um triângulo isósceles com dois lados de 3 e base de 3,3 tem dois ângulos da base de 56,63 graus, e esse método os imprime como 56,63 e 56,64, porque o terceiro ângulo é subtraído de dois valores já arredondados. Um centésimo de grau de desvio foi considerado a mentira menor. Em segundo lugar, os lados precisam satisfazer a desigualdade triangular: cada um deles menor que a soma dos outros dois. Esta página recusa tudo o que não satisfaz isso e aceita o caso de fronteira em que um lado é exatamente a soma dos outros dois, que produz um triângulo achatado com ângulos de 0, 0 e 180 graus. Em terceiro lugar, a página não imprime comprimentos de lado nem área. Os lados não estão faltando — eles são os três números que você digitou, e o triângulo é totalmente determinado por eles, então não há mais nada a informar. Se a área é o que você quer, ela é uma outra saída dos mesmos três números.

Para que serve a lei dos cossenos?

Para os dois trabalhos que o teorema de Pitágoras não dá conta. Primeiro, quando você tem os três lados de um triângulo e quer os ângulos, que é o que esta página faz: o teorema só produz um ângulo quando um deles já é reto, e o termo de correção extra é o que faz a conta valer em qualquer outro triângulo. Segundo, quando você tem dois lados e o ângulo entre eles e quer o terceiro lado — a página do triângulo ao lado usa a lei desse jeito. Os dois sentidos são a mesma equação lida por pontas diferentes.

Por que meus três ângulos somam 180,01 e não 180?

Porque cada ângulo é calculado a partir dos três lados por conta própria e depois arredondado para duas casas decimais, e três arredondamentos separados não têm de se cancelar. Não é um defeito nem significa que o triângulo é impossível; significa que cada leitura impressa está a menos de um centésimo de grau do ângulo verdadeiro. A alternativa — calcular dois ângulos e obter o terceiro subtraindo-os de 180 — sempre soma exatamente, mas arredonda dois ângulos e depois os subtrai, então um triângulo isósceles com dois ângulos da base de 56,63 graus sai como 56,63 e 56,64, o que é uma mentira pior, e no outro sentido.

Três comprimentos quaisquer formam um triângulo?

Não. Cada lado tem de ser menor que os outros dois somados, que é a desigualdade triangular: o caminho mais curto entre dois cantos é o lado que os une diretamente, então passar pelo terceiro canto não pode ser mais curto. Se um lado for maior que a soma dos outros dois, esta página recusa a entrada em vez de devolver um ângulo impossível. Se for exatamente igual, o triângulo é achatado e os ângulos saem como 0, 0 e 180, o que a página aceita, porque isso é uma fronteira real e não um engano.

Por que esta página dá três ângulos e nenhum comprimento de lado?

Porque os três lados são a entrada. Um triângulo com três lados dados fica completamente determinado — existe exatamente uma forma possível, a menos de deslizá-lo e girá-lo —, então imprimir os lados de volta seria repetir o que você acabou de digitar. O que a página acrescenta é a parte que você não conseguia ver: onde ficam os cantos, que são os três ângulos. Os mesmos três números também dão a área, e essa é uma ferramenta separada.

Como sei se o triângulo tem um ângulo obtuso?

Olhe o lado mais longo. Se o quadrado dele for maior que a soma dos quadrados dos outros dois, o ângulo que o encara é obtuso; se os dois forem iguais, esse ângulo é exatamente reto; se for menor, os três ângulos são agudos. O triângulo 2-3-4 dos exemplos acima é o caso obtuso — dezesseis contra treze —, e é sempre o maior ângulo que fica obtuso, porque o maior lado encara o maior ângulo.

Quando devo usar esta em vez da lei dos senos?

Use esta quando você conhece os três lados, ou dois lados e o ângulo entre eles. Use a lei dos senos quando você conhece um lado e o ângulo que está à frente dele junto com mais uma informação, porque é disso que a razão entre lado e seno precisa. O caso em que as duas páginas se sobrepõem é o de dois lados e um ângulo que não está entre eles, e aí a lei dos senos é a ferramenta melhor — é também o caso em que um triângulo pode ter duas formas diferentes, o que esta página nunca precisa considerar.

• Law of Cosines — the relation between the three sides of a triangle and the cosine of one of its angles, and its reduction to the Pythagorean theorem — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the triangle inequality, the rule that the largest side faces the largest angle, and the degenerate cases — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the sine, cosine and tangent of an angle, their ranges, and why recovering an angle from a cosine gives a value between zero and one hundred and eighty degrees — Wolfram MathWorld (United States)
• The Law of Cosines — the theorem worked through from first principles, with the side-angle-side and three-sides cases shown separately — Math is Fun (United Kingdom)