分散計算

分散 = Σ (xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1)（標本）、同じ和をnで割ったもの（母集団）

xᵢ

データセットの中の1つの値です。平均からの距離として入り、その距離は足し合わせる前に二乗されます

x̄

データの平均で、すべての値の合計を個数で割ったものです。計算を確かめられるように結果の隣に印字されます

n

データセットの値の個数で、ここでは最大200です。除数は標本ならn − 1、母集団ならnで、2つの分散の違いはこれだけです

Σ (xᵢ − x̄)²

偏差の二乗和です。平均からの距離をそれぞれ二乗してから足し合わせます。二乗することで、平均から遠い値の重みがずっと大きくなります。10単位離れた点はこの和に100を足し、2単位離れた点は4しか足しません

σ²

分散そのものです。二乗の単位を持つので、足し合わせるには向いていますが、読むには向いていません

二乗した量そのものが欲しいときに分散を使います。独立な源の分散は足し合わせられるので、合計の分散は分散の和になりますが、標準偏差は足し合わせられません。分散分析、回帰、その上に築かれた仕組みのほとんどは、標準偏差ではなく分散を入力に取ります。人がその数を読むときは標準偏差を使ってください。4.5714平方点という散らばりは何の意味も持ちませんが、2.1381点なら点数そのものと比べられます。パネルはどちらも出すので、選ぶのはどちらを引用するかという話です。分散は標準偏差より、極端な値1つに対してずっと敏感です。その値の距離が数えられる前に二乗されるからです。データセットのばらつきを議論するとき、この違いが効いてきます。

1. 8つの値の標本分散

   1. 合計：2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40で、8個なので平均は5
   2. 偏差：−3、−1、−1、−1、0、0、2、4
   3. 二乗した偏差：9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
   4. 標本分散：32 ÷ (8 − 1) = 4.5714
   5. 標準偏差（比較用）：√4.5714 = 2.1381

   分散が4.5714で標準偏差が2.1381なのは偶然ではありません。一方が他方の二乗です。答えを信じる前に真ん中の2段を読んでください。偏差の二乗和は、この計算の中で目で見て妥当か判断しにくい唯一の数で、パネルはそれを印字するので、鵜呑みにしなくて済みます。

2. 同じ8つの値を母集団として扱う

   1. 偏差の二乗和は同じく32
   2. 母集団分散：32 ÷ 8 = 4
   3. 母集団標準偏差：√4 = 2

   1つのデータセットから2つの分散、4.5714と4が出て、違うのは除数だけです。自分の数値で一度ドロップダウンを切り替えてみる価値があります。表計算ソフトとこのページが食い違ったら、原因はほとんどの場合これです。平方根で縮んでいない分、この選択に敏感なのは分散のほうです。

3. 同じ値を4回測り、散らばりがちょうど0になる場合

   1. どの値も3なので、平均は3で、偏差はすべて0
   2. 偏差の二乗和：0
   3. 母集団分散：0 ÷ 4 = 0
   4. 母集団標準偏差：√0 = 0

   分散が0というのは、値に散らばりがまったくないという意味で、分散0が計算の失敗ではなく本当の答えになる唯一の場合です。変動係数が条件に「平均が正」を置いていて「分散が0でない」を置いていないのも同じ理由です。散らばり0を正の平均で割ったものは、まったく問題のない0%になります。

これは数値のリストの、重みのない素の分散です。1回だけ入れた値は1回しか数えないので、度数分布表や重み付きの調査には別の計算が必要です。単位は二乗のままで、グラムは平方グラムになるので、その数をもとのデータと比べることはできません。隣に並べた標準偏差はそのためにあります。どの偏差も二乗するので、極端な値1つが全体を支配します。10倍大きすぎる測定値1つは、普段より2倍外れた値の100倍の寄与をします。偏ったデータセットは、分散や標準偏差よりも四分位数で述べたほうがよく表されます。リストは200個までで、桁の間にコンマを入れた入力は推測せずに拒否します。数字の間のコンマは多くの国では小数点、別の国では桁区切りを意味するからです。コンマを外して書くか、小数で書き直してください。

分散の求め方を教えてください

4段階です。値を全部足して個数で割り、平均を出します。各値から平均を引きます。その差をすべて二乗して足し合わせます。この合計が偏差の二乗和です。標本ならn − 1で、母集団ならnで割ります。2、4、4、4、5、5、7、9では二乗和が32なので、標本分散は32 ÷ 7 = 4.5714、母集団分散は32 ÷ 8 = 4になります。

分散と標準偏差の違いは何ですか

平方根1つです。標準偏差は分散の平方根で、互いに他方の二乗です。ここでは分散が4.5714、標準偏差が2.1381です。足し合わせるのに向いているのは分散で、独立な源の分散は足せますが、標準偏差は足せません。読むのに向いているのは標準偏差で、二乗の単位ではなくデータの単位に戻ってくるからです。

すべての値に同じ定数を足しても分散が変わらないのはなぜですか

分散は平均からの距離しか見ておらず、すべての値をずらせば平均も同じだけずれるからです。2、4、4、4、5、5、7、9のそれぞれに100を足すと、平均は5から105に上がりますが、偏差はどれも変わらないので、偏差の二乗和は32のままです。すべての値に定数を掛けるのは逆の場合で、分散はその定数の二乗倍に、標準偏差は定数倍になります。

分散が負になることはありますか

ありません。偏差の二乗和の各項は二乗なので、和が負になることはなく、除数は正の個数です。取り得る最小の分散は0で、それはすべての値が同じときだけ起こります。3を4回測った値は分散0になります。画面に負の分散が出たら、データが珍しいのではなく、計算のどこかが間違っています。

表計算ソフトの列をそのまま貼り付けられますか

貼り付けられます。改行、タブ、セミコロン、空白、そしてコンマの後の空白が区切りとして働くので、貼り付けた列はそのまま使え、空の部分は拒否せずに読み飛ばします。読み込むのは200個までです。区切りの後に3桁の数字が続く形は意図的に拒否します。国によって桁区切りだったり小数点だったりして決められないので、コンマを外して書くか、小数で書き直してください。

• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6：散らばりの尺度を定義し、その中で分散と標準偏差を扱っている節 — 米国標準技術研究所（NIST）
• Measures of the Spread of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.7：分散と標準偏差の定義、および除数がnかn−1かで何が変わるかを扱っている節 — OpenStax（ライス大学）