平均値・中央値・最頻値計算

平均値 = Σ xᵢ ÷ n　　中央値 = 並べ替えたときの真ん中の値　　最頻値 = 出現回数が最も多い値

xᵢ

データセットの中の1つの値です。真ん中に近い値でも両端の値でも、どの値も1回ずつ数えられます

n

値の個数で、ここでは最大200です。この3つの中心量はどれも個数で割るので、このページには標本と母集団の選択がありません

x̄

平均値です。3つの中で唯一、どの値からも動かされます。極端な値が1つあるとそれに引きずられ、残りの2つは動かないのはこのためです

M

中央値です。値を並べ替えて真ん中を取ります。個数が偶数個のときは真ん中の2つの平均を取ります。その値より下にデータの半分、上に半分が来ます

f

最頻値の出現回数、つまり最も多く出てくる値が何回現れたかです。1ならどの値も重複していないという意味で、そのときはすべての値が同点で並びます

外れ値や長い裾があるリストでは中央値を引用してください。住宅価格、所得、待ち時間など、1つの値が極端に大きくなり得るものです。中央値は極端な値の影響をほとんど受けず、その両側にいくつの値があるかだけに反応します。すべての値に同じ重みを与えてよく、合計に意味があるときは平均値です。テストの平均点、顧客1人あたりの平均支出、率がそれにあたります。最頻値は「中央の値」ではなく「最も普通の値」が知りたいときに使います。在庫としてどのサイズをそろえるか、乗客数のいちばん多いのはいくつか、といった問いです。3つが一致していれば、そのデータはほぼ左右対称で、どれを使っても大差ありません。食い違ったときは中央値を報告し、理由を添えてください。右に裾を引くデータでは、最頻値が中央値より下、平均値が中央値より上に来て、引きずられているのは平均値のほうです。

1. 偏った1週間：3つの中心が離れる

   1. 並べ替えると1、2、2、3、4、7、9。7個なので真ん中は4番目
   2. 中央値：3
   3. 合計：1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 7 + 9 = 28なので、平均値は28 ÷ 7 = 4
   4. 最頻値：2が2回出て、3回出る値はない。したがって最頻値は2で、出現回数は2
   5. 範囲：9 − 1 = 8

   3つの答えは、1つのものを3通りに見積もった値ではなく、データの形を表す3つの読みとして読んでください。最頻値2、中央値3、平均値4というこの順序は、右に裾を引いたデータの典型的な形です。7と9が平均値を中央値の上まで引き上げ、最頻値は動いていません。もし9が90だったら、平均は15.6に跳ね上がり、中央値は1ミリも動きません。

2. 最頻値が2つあり、真ん中がはっきりしない

   1. 並べ替えると2、2、5、5、9。真ん中の値は5
   2. 合計は23なので、平均値は23 ÷ 5 = 4.6
   3. 2回ずつ出ている値が2つある：2と5。したがって最頻値は2つで、パネルは小さいほうを報告する
   4. 範囲：9 − 2 = 7

   このデータセットは二峰性で、2つの値が最も多い座を分け合っています。こういうデータは、2つの集団をうっかり1つにまとめてしまった結果であることが多く、ここでは2の集まりと5の集まりです。このページは同点のうち小さいほうを報告し、その隣に最頻値の個数を出します。これがいちばん正直な読み方です。2という1つの数は5より「もっと最頻値」なのではなく、順番が先なだけです。

3. どの値も重複していない

   1. どの値も1回ずつしか出ていないので、他より多い値はない
   2. 最頻値の出現回数：1。最頻値の個数：3で、これはデータセットのすべての値
   3. 平均値と中央値：どちらも2
   4. 範囲：3 − 1 = 2

   出現回数が1で、最頻値の個数が値の個数と等しい、というのがこのページの「最頻値はない」の言い方です。空欄よりこちらのほうが役に立ちます。3つの数がそろって初めて、すべての値が同点だと分かるからです。最頻値の欄には小さいほうの値が入っていますが、それは行を空にしないためだけです。

範囲は、いちばん遠い2つの値がどれだけ離れているかしか言いません。その間でデータがどう散っているかとは別の話で、平均値・中央値・範囲が同じでも中身がまるで違う2つのデータセットがあり得ます。片方は中央にぎゅっと固まり、もう片方は端から端まで広がっている、ということが起こります。偏ったデータは、平均値よりも中央値と四分位数で述べたほうが正確です。平均値だけが裾のほうへ引っ張られるからです。3つの中でいちばん不安定なのは最頻値で、1件の入力が変わるだけで別の値に飛びます。連続量の測定では役に立つ最頻値がそもそも存在しないことも多く、最頻値に見えるものは丸めの産物かもしれません。このページは素の数値を読む作りなので、度数分布表は値を展開してから入れてください。リストは200個までです。

平均値・中央値・最頻値の求め方を教えてください

平均値は値を全部足して個数で割ります。中央値は並べ替えて真ん中を取り、偶数個のときは真ん中の2つの平均を取ります。最頻値はそれぞれの値が何回出てくるかを数えます。1、2、2、3、4、7、9なら合計が28で7個なので平均値は4、並べ替えて7個の4番目は3なので中央値は3、2が2回出るので最頻値は2です。

3つのうちどれを使えばよいですか

外れ値や長い裾があるときは中央値です。極端な値がどれだけ離れているかではなく、その両側にいくつの値があるかしか見ないからです。すべての値に同じ重みを与えてよく、合計が大事なときは平均値を使います。平均点や率がそれにあたります。真ん中の値ではなく最も普通の値が知りたいときは最頻値です。どのサイズを仕入れるか決めるときなどです。3つが一致していること自体が合図で、そのデータはほぼ左右対称でどれを選んでも大差ないという意味になります。

最頻値がないとはどういうことですか

どの値も同じ回数しか出ておらず、他より多い値がないという意味です。このページは欄を空にするのではなく、そう言います。最頻値の出現回数が1、最頻値の個数が値の個数と同じ数になり、1、2、3なら最頻値は3つと報告されます。これはエラーではありません。短いリストで重複がなければ当然の答えですし、連続量の測定では普通のことです。

最頻値が複数あることはありますか

ありますし、よくあります。2つの値が最も多い回数で並んだら、どちらも最頻値で、そのデータは二峰性と呼ばれます。パネルは小さいほうを報告し、その隣に最頻値の個数を出します。最頻値が2つあるのは、大きさの違う2つの集団を1つにまとめてしまった印であることが多く、リスト全体に1つの中心を当てはめる前に気づく価値があります。

標本と母集団の版はありますか

ありませんし、このページにはそのための選択欄が意図的にありません。この3つの中心量はどれも値の個数で割ります。n − 1の補正は散らばりの側の話で、真ん中の話ではありません。リストが標本でも全体でも、平均値は平均値です。標本と母集団の違いが要るのは標準偏差と分散のページで、そちらには選択欄があります。

• データの中心の尺度（Introductory Statistics 2e, §2.5）— 平均・中央値・最頻値の定義と、それぞれが何に動かされるか — OpenStax（ライス大学）
• Skewness and the Mean, Median, and Mode — Introductory Statistics 2e, section 2.6：偏ったデータで3つの中心がどの順に並ぶか、そして平均だけが引きずられる理由 — OpenStax（ライス大学）