範囲計算

範囲 = max − min

max

データセットの中で最も大きい値です。計算に加わるのはこれと最小値だけで、その間の値は自由に並べ替えても答えは変わりません

min

データセットの中で最も小さい値です。最大値とともに全体の幅を決めるので、範囲は極端な値だけを使い、それ以外を一切見ない尺度だと言われます

範囲

すべての値を含む区間の幅で、データと同じ単位を持ちます。負になることはなく、すべての値が同じときだけ0になります

n

リストに含まれる値の個数で、ここでは最大200です。答えは何も変わりません。個数を印字するのは、リスト全体が読まれたことを確かめられるようにするためです

1行で散らばりが欲しく、しかも両端そのものが主題であるときに範囲を使います。その日の気温の振れ幅、いちばん安い見積もりといちばん高い見積もりの開き、レースの最速タイムと最遅タイムの差などです。両端だけが意味を持つ工程の、正直な要約にもなります。公差の確認がその例で、軸は許される帯の中に入るか入らないかのどちらかです。向かないのは、データの真ん中が大事なときです。2つの値だけを使って残りを捨てるので、1つの突飛な測定値が、分布全体の本当の変化と同じだけ答えを動かします。標準偏差と四分位範囲が存在するのはそのためで、こちらはデータの影響を薄く広げるので、裾の重いリストでも役に立ちます。平均の隣に範囲が並んでいたら警告だと思ってください。リストが短い場合を除いて、範囲は最小値と最大値の隣に置かれて初めて、2つの端の記述になります。四分位範囲と比較すると、範囲は両端に敏感で、四分位範囲は意図的に鈍感です。

1. 8つの値：範囲は7

   1. 並べ替えると2、4、4、4、5、5、7、9。最小値は2、最大値は9
   2. 範囲 = 9 − 2 = 7
   3. 間にある6つの値、4、4、4、5、5、7は計算にまったく加わっていない

   8つの値はどれも真ん中の3目盛りの範囲に収まっているのに、範囲は7と報告します。測っているのが混み合った部分ではなく全体の幅だからです。「リストがどれだけ広いか」と「値がどれだけ固まっているか」のこの食い違いこそ、散らばりの尺度を2つ並べて引用する理由です。

2. 大きな値が1つ加わって範囲が88に跳ぶ

   1. 変わったのは最大値だけで、9から90になった。他の7つは最初の例と同一
   2. 範囲 = 90 − 2 = 88
   3. 同じリストの標本標準偏差は30.2864で、変化前は2.1381だった

   どちらの尺度も増えましたが、理由は違います。範囲は極端な値が動いた分だけ、つまりちょうどその分だけ動きます。両端の2点だけが決めていて、他が何も関与しないからです。標準偏差は8つの値に薄く広がっているので、同じ1つの変化が他の7つに吸収されて薄まります。1つの数の打ち間違い1桁で範囲は意味を失いますが、標準偏差をそこまで動かすにはデータの本当の変化が要ります。

3. 負の値と小数が混ざった場合

   1. 最小値は−5、最大値は10。符号は値の一部なので、幅は0をまたぎます
   2. 範囲 = 10 − (−5) = 10 + 5 = 15
   3. 負の値も正の値とまったく同じに扱えます。最小値を引くと、負号が2つ打ち消されてその大きさが足されるからです

   負の数を引くところが手計算でいちばん間違えやすい箇所で、データが0をまたぐときは答えがどちらの端点より大きく見えます。気温がすべて氷点下のリスト、海面下の高度、口座残高のマイナスも、どれも同じに振る舞います。

範囲はリスト全体のうち2つの値しか使わないので、極端な測定値1つで完全に決まってしまいます。打ち間違い1つ、計器の不調1つ、本当に珍しい日1つで、その誤差の分だけ丸ごと動きます。データの真ん中については何も言いませんが、値の大半は普通そこにあります。最小値と最大値が同じ2つのリストが、均等に散っていることも、1か所に固まっていることもあり、範囲では見分けられません。データセットをまたいで範囲を比べてよいのは、単位と標本の大きさが揃っているときだけです。標本が大きければ極端な値を含む機会が増えるからです。リストは200個までで、桁の間にコンマを入れた入力は推測せずに拒否します。数字の間のコンマは多くの国では小数点、別の国では桁区切りを意味するからです。コンマを外して書くか、小数で書き直してください。このページは外れ値に印を付けません。範囲はその用途には最も向かない尺度で、調べたい値そのものが範囲を定義しているからです。

範囲の求め方を教えてください

いちばん大きい値といちばん小さい値を見つけて、引き算します。範囲 = 最大値 − 最小値です。2、4、4、4、5、5、7、9なら9 − 2 = 7になります。リストの他の値は関係しないので、並べ替える必要も、値の個数を数える必要もありません。ただし長いリストでは、並べ替えるのが両端を見つけるいちばん確実な方法です。上の計算ツールは入力からそれらを取り出し、引き算を確かめられるように最小値と最大値を答えの隣に印字します。

範囲はなぜ1つの値でそんなに狂うのですか

いちばん外側の2つの値だけで決まり、他をすべて無視するからです。例の9を90に変えると、範囲は7から88へ、81だけ跳びます。これはその1つの値が動いた距離そのものです。同じリストの標本標準偏差は2.1381から30.2864に上がるだけです。8つの値がそれぞれ少しずつ寄与しているからです。この敏感さは式の欠陥ではなく、「リストの幅」という言葉の意味そのものです。ただ、範囲を引用するときは、何個の値から出したのかを必ず添えてください。

範囲と四分位範囲は同じものですか

違いますし、答えている問いも違います。範囲はデータの全幅で、最小値から最大値までです。四分位範囲は真ん中の半分の幅で、第1四分位数から第3四分位数までです。四分位範囲は裾に対して意図的に鈍感で、範囲は意図的に敏感なので、両方を引用すると、全幅と混み合った真ん中の幅が2つの数で読者に伝わります。どちらか1つしか置けないときは、データの中の極端な値が意味を持つのか誤りなのかを自問してください。

範囲は標本か母集団かで変わりますか

変わりません。このページにその切り替えがないのもそのためです。標本と母集団の区別が効くのは、値の個数で割る量と、その1つ少ない数で割る量、つまり分散と標準偏差です。除数が違うからです。範囲は引き算なので、意見の分かれる除数がありません。分散と標準偏差のページにはどちらもその切り替えがあり、ここに置いても何も変わらず、あるかのように見えるだけです。

範囲が負や0になることはありますか

負にはなりません。最大値は定義上いつでも最小値以上なので、引き算の答えは0か正の数です。0になるのはリストの値がすべて同じときだけで、値が1つしかない場合も含みます。そのときは最大値も最小値もその値で、範囲は0です。0はここでは失敗ではなく本当の答えで、データに散らばりがまったくないという意味です。値が1つでも受け付けるのも同じ理由で、この計算に2つ目の観測は必要ありません。

このページはどの値が外れ値かを教えてくれますか

いいえ、教えません。外れ値に印を付けるときの普通の規則は四分位範囲に基づくもので、第1四分位数より1.5 × IQRを超えて下、または第3四分位数より上にある値を拾います。それは別の計算ツールです。範囲をその用途に使うのは循環しています。範囲は、まさに調べたい極端な値そのもので定義されているからです。どのデータセットでも、自分の最小値と最大値が定義上いちばん極端な点です。このページはリストがどれだけ広いかを述べるだけで、判定はそのためのツールに任せます。

• Measures of Scale — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6：範囲を最大値から最小値を引いたものと定義し、データの中心付近の散らばりはまったく捉えられないと注記している節 — 米国標準技術研究所（NIST）
• GB/T 3358.1-2009, Statistics — Vocabulary and symbols, Part 1：範囲とその他の散らばりの尺度を定めた、統計の用語と記号に関する中国の国家規格。規格の記録ページには、オンライン全文の提供がない旨が記されています — State Administration for Market Regulation, China