範囲の中点計算

範囲の中点 = (min + max) ÷ 2

min

データセットの中でいちばん小さい値です。計算に入るのはこれと最大値だけなので、その間の値はどれだけ変わっても答えは動きません

max

データセットの中でいちばん大きい値です。答えを信じる前に両端を確かめる価値があります。打ち間違えた1桁がそのまま結果に入るからです

範囲の中点

両端の中間点で、データと同じ単位を持ちます。必ず最小値と最大値の間にあり、値が1つだけのリストではその値そのものになります

平均

算術平均で、中点と比較できるように隣に印字されます。2つの開きは、データのどれだけが両端の中間から離れているかを表します

両端そのものが主題のときに使います。その日の最高気温と最低気温の中間、1年でいちばん高い水位といちばん低い水位の中間、大会の最高得点と最低得点の中心、提示額と希望額の中点などです。どれも2つの端点がデータそのもので、大きな集団から標本を取っているのではなく、両端のある幅を述べています。データの内側が大事なときには向きません。2点以外をすべて捨てるので、現実の標本では平均や中央値より分散が大きくなります。中央値とも違います。2、4、4、4、5、5、7、9では中央値が4.5、中点が5.5で、両者が一致するのは中心について左右対称なデータだけです。ざっくりした数でよければ、中心の手早い見積もりとして使えます。最大値と最小値が記録された表から、それ以上の計算なしに読み取れるからです。

1. 8つの値：中点は5.5、平均は5

   1. いちばん小さい値は2、いちばん大きい値は9
   2. 範囲の中点：(2 + 9) ÷ 2 = 5.5
   3. 同じリストの平均は40 ÷ 8 = 5。8つのうち6つが5以下なので、0.5だけ低い

   2つの数が食い違っていることが、ここでは役に立ちます。中点はデータが2から始まって9で終わることしか見ておらず、平均はデータが下のほうに固まっていることまで見ています。どちらも間違いではありません。答えている問いが違うだけで、両方印字しておけば、データが両端の間に均等に散っているのか片側に寄っているのかが一目で分かります。

2. 値が1つ変わると中点は倍以上になる

   1. 変わったのはいちばん大きい値だけで、9から90になった。他の7つは最初の例と同じ
   2. 範囲の中点：(2 + 90) ÷ 2 = 46
   3. 同じリストの平均は121 ÷ 8 = 15.125で、5から上がっている

   中点は40以上動いたのに、平均は10しか動いていません。中点は極端な値の変化の半分をそのまま受け取り、薄めるものが何もありません。平均は同じ変化をリストのすべての値で薄めます。データの中に信頼できない測定値が1つあると、中点はその誤差の半分だけずれます。両端が主題になる場面に限って使うべきなのは、このためです。

3. 氷点の下と上の気温

   1. いちばん寒い値は−10、いちばん暖かい値は40
   2. 範囲の中点：(−10 + 40) ÷ 2 = 30 ÷ 2 = 15
   3. 負の値に特別な扱いは要らない。最大値に足し合わせるだけなので、0をまたぐリストもそうでないリストとまったく同じに扱える

   気象サービスが発表する日の中点はこの数です。1日の最低気温と最高気温の中間で、毎時の測定値の平均ではありません。この2つは、気温が幅の一方の端に長くとどまった日ほど食い違うので、知っておく価値があります。

中点は頑健ではありません。程度の問題ではなく作りそのものの問題で、いちばん外側の2点から計算するため、打ち間違いにも、機器の不調にも、本当に珍しい観測にもなす術がありません。極端な点での振る舞いが主題になる場面に限って使うのが普通です。また、言語によっては名前が似ていても中央値ではありません。中央値は並べ替えたリストの真ん中の値、中点は両端の中間点で、両者が一致するのは中心について左右対称なデータだけです。値が1つだけのときは、中点も平均も最小値も最大値も、すべてその1つの数になります。リストは200個までで、桁の間にコンマを入れた入力は推測せずに拒否します。数字の間のコンマは、多くの国では小数点、別の国では桁区切りを意味するからです。このページは外れ値を教えてくれません。中点を決めている両端こそ、そうした規則が調べるはずの値そのものです。

範囲の中点の求め方を教えてください

いちばん小さい値といちばん大きい値を足して2で割ります。範囲の中点 = (min + max) ÷ 2です。2、4、4、4、5、5、7、9なら (2 + 9) ÷ 2 = 5.5になります。他の値は計算に参加しないので、並べ替えは不要です。必要なのは両端の2つだけで、ざっと見渡せば普通は見つかります。上の計算ツールは入力に使った最小値と最大値を印字するので、足し算を確かめられます。

中点は中心の尺度ですか、散らばりの尺度ですか

位置の尺度です。平均や中央値と同じように、データがだいたいどこにあるかを言う方法です。散らばりの尺度と間違えやすいのは、中点を決める両端が範囲も決めるからで、2つの式も1つの操作しか違いません。範囲はmax − min、中点は(max + min) ÷ 2です。答えている問いが違います。範囲はデータがどれだけ広いかを言い、中点はその真ん中がどこかを言います。標準的な参考文献も中点を位置の尺度の側に置き、尺度の側には置いていません。

中点が頑健でないのはなぜですか

外れ値に弱いのは、標本の中でいちばん外側の2つの値だけから作られ、他に何も見ていないからです。どちらかに誤りがあればその影響はそのまま答えに入り、しかも半分しか薄まりません。例の9を90に変えると中点は5.5から46へ跳び、平均は5から15.125しか動きません。日々の最高気温と最低気温のように両端を測っているときは、この敏感さは長所です。そうでないときは弱点になります。

中点は中央値と同じものですか

違います。中央値は並べ替えたリストの真ん中の値なので、8個なら4番目と5番目の平均で (4 + 5) ÷ 2 = 4.5です。中点は両端の中間点で (2 + 9) ÷ 2 = 5.5です。両者が一致するのは中心について左右対称なデータだけで、開きそのものが情報になります。ここでは中点が中央値より上にあり、データの上半分が下半分より中心から遠くへ伸びている、と読めます。

実際にはどんなときに使いますか

大きな集団の標本ではなく、2つの端点そのものがデータであるときです。その日の最高気温と最低気温を伝える気象の要約は中点を述べています。製造公差の確認も同じで、規格が最小値と最大値を与え、その中心が欲しい場面です。両端しか記録されていないときの最初の見積もりとしても役に立ちます。表に最安値と最高値だけが載っているなら、中点は間の価格を何も知らずに求められる、その幅の中心です。

値がすべて同じ、または1つしかない場合はどうなりますか

どちらも計算でき、どちらもその同じ値になります。値が42だけなら最小値も最大値も42なので、中点も平均も最小値も最大値もすべて42です。この計算に2つ目の観測は必要ありません。3、3、3、3でも同じで、両端が等しく中点は3になります。ここには最小個数の下限がありません。分散や標準偏差は除数が要るので2つ以上が必要ですが、中点は違います。

• Measures of Location — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.1：位置の尺度の選択肢として中点を (最小値 + 最大値)/2と挙げ、2つの極端な点に基づくため頑健でないと明記している節 — 米国標準技術研究所（NIST）
• Measures of Scale — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6：散らばりの尺度の対応する一覧。中点はここに現れないという事実が、このページで中点を位置の尺度として扱っている根拠です — 米国標準技術研究所（NIST）
• GB/T 3358.1-2009, Statistics — Vocabulary and symbols, Part 1：位置の尺度を定めている、統計の用語と記号に関する中国の国家規格。規格の記録ページには、オンライン全文の提供がない旨が記されています — State Administration for Market Regulation, China