標準偏差計算

標準偏差 = √( Σ (xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1) )（標本）、同じ和をnで割ったもの（母集団）

xᵢ

データセットの中の1つの値です。どの値も平均からの距離として入り、その距離を二乗することが、平均より上の距離と下の距離が打ち消し合うのを防いでいます

x̄

データの平均で、すべての値の合計を個数で割ったものです。計算を確かめられるように答えの隣に印字されます

n

データセットの値の個数で、ここでは最大200です。除数は標本ならn − 1、母集団ならnで、2つの標準偏差の違いはこれだけです

Σ (xᵢ − x̄)²

偏差の二乗和です。各値の平均からの距離を二乗してから、その二乗を足し合わせます。二乗の単位を持つので、最後に平方根を取ることになるのです

s

標準偏差で、データもとの単位を持ちます。すべての値に同じ定数を足しても変わらず、すべての値を2倍すると2倍になります

標準偏差は、データのばらつきを1つの数で代表させなければならないときに使います。同じ量の繰り返し測定、試験の点数、日々の売上、部品の束の重さなどです。手元の数値がより大きな何かの標本なら標本標準偏差を報告し、リストが本当に全体であるときだけ母集団の版に切り替えてください。生の値をz値に変える数でもあり、外れ値の規則の多くがその上に築かれています。平方根が何を買ってくるかにも注意してください。偏差の二乗和は二乗の単位を持っており、NISTの尺度の節の言葉を借りれば、根を取ることが「散らばりの単位をもとのデータの単位に戻す」操作です（分散は単位を二乗したままにします）。教えてくれないことが2つあります。散らばりが左右対称かどうかと、極端な値が打ち間違いかどうかです。偏ったデータセットは、標準偏差よりも四分位数と中央値で述べたほうがよく表されます。

1. 8つの値で標本と母集団を並べる

   1. 個数：8個。合計：2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40
   2. 平均：40 ÷ 8 = 5
   3. 平均からの偏差：−3、−1、−1、−1、0、0、2、4
   4. 二乗した偏差：9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
   5. 標本分散：32 ÷ (8 − 1) = 4.5714
   6. 標本標準偏差：√4.5714 = 2.1381

   同じ8つの値を母集団として扱うと、分散は32 ÷ 8 = 4、標準偏差はちょうど2になります。除数を選び間違えるのが、標準偏差が別の計算ツールと食い違ういちばん多い原因で、ここでは答えがおよそ7%変わります。nが小さいほど大きく、大きいほど小さくなります。

2. 試験の点数5つ

   1. 合計：85 + 90 + 78 + 92 + 88 = 433で、5つの点数
   2. 平均：433 ÷ 5 = 86.6
   3. 二乗した偏差：2.56 + 11.56 + 73.96 + 29.16 + 1.96 = 119.2
   4. 標本分散：119.2 ÷ 4 = 29.8
   5. 標本標準偏差：√29.8 = 5.4589

   偏差と二乗した偏差を並べて読んでください。78は平均より8.6点低く、和に73.96を寄与していて、これは他の4つの点を全部足したものより大きくなっています。距離を二乗することが遠い値に重みを与える仕組みで、悪い日が1日あると平均より標準偏差のほうが大きく動く理由でもあります。

3. 3つの値の母集団で、2つの除数が大きく開く場合

   1. 合計：4 + 8 + 6 = 18で、3つの値なので平均は6
   2. 偏差：−2、2、0。二乗すると4、4、0で、二乗和は8
   3. 母集団分散：8 ÷ 3 = 2.6667
   4. 母集団標準偏差：√2.6667 = 1.633

   3つの値はこのページが標本として扱う最小のリストで、除数が牙をむく場面です。標本の版は同じ二乗和8を2で割って標準偏差2を報告し、1.633との差は20%を超えます。標本標準偏差はいつでも2つのうち大きいほうで、差はデータセットが大きくなるにつれて縮まります。

これは数値のリストの、素の算術的な標準偏差です。重みを使う手段がないので、1回だけ入れた値は1回しか数えません。度数分布表や重み付きの調査には別の計算が必要です。述べるのは散らばりで、形ではありません。偏ったデータセットは片側が短く、もう片側に長い裾を引いており、OpenStaxの散布の尺度の節は、偏った分布では標準偏差が「あまり役に立たないことがある」と明言し、代わりに四分位数と中央値を勧めています。どの値も数えられるので、打ち間違えた外れ値1つが答えを膨らませます。リストは200個までです。桁の間にコンマを入れた入力は推測せずに拒否します。数字の間のコンマは多くの国では小数点、別の国では桁区切りを意味するからです。コンマを外して書くか、小数で書き直してください。最後に、数値はどの言語でも打ち込まれたとおりに読まれ、使う区切りがリストの意味を変えることはありません。

標準偏差の求め方を教えてください

5段階です。値を足して個数で割り、平均を出します。各値から平均を引いて偏差を出します。各偏差を二乗します。二乗するのは、平均より上の値と下の値が打ち消し合わないようにするためです。二乗を足し合わせます。標本ならn − 1、母集団ならnで割って、平方根を取ります。式はどちらでも同じで、変わるのは除数だけです。上のパネルは個数・合計・平均・偏差の二乗和を印字するので、どの段も単独で確かめられます。

標本標準偏差と母集団標準偏差の違いは何ですか

除数1つです。どちらも同じ偏差の二乗和から出発し、標本の版はn − 1で、母集団の版はnで割ります。2、4、4、4、5、5、7、9の8つの値では二乗和が32なので、標本標準偏差は√(32 ÷ 7) = 2.1381、母集団標準偏差は√(32 ÷ 8) = 2です。標本の答えはいつでも大きいほうで、データセットが大きくなるにつれて2つは近づきます。

標本の版がnではなくn − 1で割るのはなぜですか

引いている平均が同じ値から測られていて、どの値もその平均を自分に少し引き寄せているからです。データが選んだ平均からの偏差は、平均的に見て真の散らばりより少し小さくなるので、nで割ると過小評価になります。n − 1で割るとそれが補正されます。この補正は短いリストでいちばん効き、3つの値では22%の差になり、数百個もあれば無視できる大きさになります。

表計算ソフトの列をそのまま貼り付けられますか

貼り付けられます。改行、タブ、セミコロン、空白、そしてコンマの後の空白が区切りとして働くので、貼り付けた列でもセミコロンで打った1行でもかまいません。空の部分は拒否せずに読み飛ばすので、末尾の改行は無害です。読み込むのは200個までです。意図的に拒否する形が1つあります。区切りの後に3桁の数字が続く形です。国によって桁区切りだったり小数点だったりして決められないので、コンマを外して書くか、小数で書き直してください。

標準偏差はどんな単位になりますか

データと同じ単位です。部品の束をグラムで量れば標準偏差もグラムになり、これが最後に平方根を取る意味です。偏差の二乗和は平方グラム、分散も平方グラムです。NISTは明快に述べています。標準偏差は散らばりの単位をもとのデータの単位に戻し、分散は単位を二乗したままにすると。標準偏差が記述する値の隣で読めるのはそのためで、分散にはできません。

答えが別の計算ツールと違うのはなぜですか

10回のうち9回は除数です。多くの計算ツールは母集団標準偏差だけ、あるいは標本のものだけを、どちらか言わずに返します。相手のツールの文言でn − 1とnを確かめてください。ほかに潰しておくべき原因が2つあります。小数のコンマで打った値を相手が区切りとして読んだこと、そして片方だけが入れた外れ値があることです。標準偏差はどの値にも敏感なので、数が1つ増えるだけで変わります。

• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6：標準偏差を定義し、散らばりの単位をもとのデータの単位に戻すのは標準偏差で、分散は単位を二乗したままだと述べている節 — 米国標準技術研究所（NIST）
• Measures of the Spread of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.7：分散と標準偏差の定義と、偏った分布では標準偏差があまり役に立たないことを述べている節 — OpenStax（ライス大学）
• Detection of Outliers — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.17：外れ値の定義と、z値や中央絶対偏差に基づく代替規則を挙げている節 — 米国標準技術研究所（NIST）