平方和計算

SS = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)² ÷ n

x

リストの中の1つの値です。どの値も自分の二乗した隔たりを寄与するので、どれか1つを落とせば合計が変わります

x̄

値の平均です。隔たりを測る起点で、そのまわりのそのままの偏差が0に打ち消し合うという理由だけで選ばれています

SS

偏差の二乗和で、主結果です。すべての値が同じときだけ0になり、偏差の大きさとその個数の両方に応じて大きくなります

Σx²

値の二乗の和で、生の平方和として印字されます。恒等式の右辺の第1項で、どちらも平方和と呼ばれるため答えと取り違えやすいほうです

Σx

二乗する前の、値のそのままの合計です。これを二乗して個数で割ると、Σx²を偏差の平方和に変える補正項になります

n

入れた値の個数で、ここでは最大200です。補正項の除数としてと、確認用に印字される件数としての2回現れます

仕上がった尺度ではなく途中の段を見たいときに使います。分散や標準偏差を手計算で確かめるとき、あの2つの量がなぜ偏差を二乗するのかを説明するとき、あるモデルが合計の変動のどれだけを説明しているかを比べるときです。平均ではなく和のまま作業しているときの散らばりの自然な表し方でもあり、分散分析ではこの方法の全体が平方和の簿記になります。切片のある回帰では、この量が総平方和と呼ばれるものになります。このページが提供するのはその1つの数までで、回帰の内訳は扱いません。右辺の恒等式を知っておく価値はもう1つあります。機械のない時代にこの数がこう計算されていたということで、今でも多くの式がこの形で書かれています。ただし値が大きく散らばりが小さいと桁落ちで精度を失います。上の計算ツールが定義どおりの道を使い、恒等式の項は2つの道が一致するかを確かめるためだけに印字しているのはそのためです。

1. 8つの値：2つの道がどちらも32

   1. 平均は40 / 8 = 5
   2. 偏差は −3、−1、−1、−1、0、0、2、4で、合計は0になります。いつもどおりです
   3. 二乗すると9、1、1、1、0、0、4、16になり、足すと32
   4. もう1つの道：Σx² = 232、(Σx)² / n = 1600 / 8 = 200なので、232 − 200 = 32

   2つの道がどちらも32に着きます。それを見ることがこのページの要点のほとんどです。最初の3つの偏差が負で最後の2つが正しく、それこそが二乗を必要とする理由です。そのままの偏差は合計が0にしかならず、あるデータセットと別のデータセットを区別できません。

2. 平均が小数になる2つの値

   1. 平均は3 / 2 = 1.5なので、偏差は−0.5と+0.5
   2. 二乗すると0.25と0.25になり、平方和は0.5です。1ではありません
   3. もう1つの道：5 − 3² / 2 = 5 − 4.5 = 0.5で、小数の部分は引き算のほうに出てきます

   2つの値では、平方和が2つの隔たりの二乗の半分を超えることはありません。これがその最小の場合で、2つの偏差がそれぞれ隔たりの半分を運んでいます。よくある間違いは隔たりそのものを二乗することです。それだとここでは0.5ではなく1になります。隔たりはすでに2つの偏差の差なので、2度数えられてしまうからです。

3. 値が1つ：0と1,764

   1. 値が1つなら平均はその値なので、平均は42
   2. 偏差は42 − 42 = 0で、0²は0なので、平方和は0
   3. 生の平方和はまったく別の量です。42² = 1764

   同じパネルの中に、平方和と呼ばれるものが2つ、桁でいえば3桁離れて並んでいます。2つを区別し続けるのはこの場合です。リストが長くなると普通は同じ桁に収まり、間違ったほうに手が伸びやすくなります。偏差の平方和が0なのは、1つの値は自分自身から離れられないからです。それは失敗ではなく本当の答えで、このページが分散のように2つの値を要求しない理由でもあります。

4. 同じ値が4つ

   1. 平均は12 / 4 = 3なので、どの偏差も0
   2. 平方和は0
   3. 生の平方和は3² + 3² + 3² + 3² = 36で、0にはならず、これからもなりません

   ここでの0はデータに散らばりがまったくないという意味で、上に印字される値が同じ0でも、1つの値の場合とは別の状況です。こちらには4つの観測値があってそれらが完全に一致しており、あちらは観測値が1つしかありません。生の平方和は逆に動き、散らばりに関係なく値を1つ加えるごとに大きくなります。

名前にいちばんの危険があります。2つの別の量がどちらも平方和と呼ばれ、どちらもこのページに出てきます。答えである偏差の平方和 Σ(x − x̄)² と、恒等式の中の1つの項にすぎない生の平方和 Σx² です。値が1つだとこの2つは3桁離れます。数を引用する前に、その行のラベルを読んでください。2つ目の限界はこのページがやらないことです。回帰は総平方和を、当てはめた直線が説明する部分と残差の部分に分けますが、その内訳はここにはありません。2つ目の変数とデータを通した直線が要りますが、この節のどのページも直線を当てはめません。共分散のページは相関係数で止まります。本当で、知っておく価値があるのは、切片のある回帰における総平方和が、目的変数にこの同じ量を当てはめたものだという点です。欠けているのは内訳だけです。計算ツールが恒等式ではなく定義どおりの道を使う実際的な理由もあります。大きくてほぼ等しい2つの数を引くと精度が落ちるので、値が大きく散らばりの小さいリストでは右辺の道が見て分かるほど間違った答えを出すことがあります。恒等式は速さのためではなく確認のために印字しています。リストは200個までで、桁の間にコンマを入れた入力は推測せずに拒否します。数字の間のコンマは多くの国では小数点、別の国では桁区切りを意味するからです。コンマを外して書くか、小数で書き直してください。

平方和の求め方を教えてください

平均を求め、各値から引いて、その結果をすべて二乗し、足し合わせます。2、4、4、4、5、5、7、9なら平均が5、偏差が−3、−1、−1、−1、0、0、2、4で、二乗の和は9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32です。平均にたまたま乗っている値を含め、どの値も参加し、それらは0を寄与します。

偏差をそのまま足すのではなく二乗するのはなぜですか

そのままの偏差はいつでもきっかり0になるからです。平均より下の値が上の値を打ち消してしまい、どんなリストでもそうなるので、偏差の合計は散らばりについて何も運びません。二乗は同時に2つのことをします。すべての項を正にして打ち消しをなくすこと、そして平均から遠い値に比例して大きな重みを与えることです。平均から2単位離れた値は4を寄与し、20単位離れた値は400を寄与します。2つ目の効果は意図的なもので、平方和と、そこから作られる分散が極端な値1つに強く反応する理由でもあります。

このページに平方和と呼ばれる数が2つあるのはなぜですか

統計では2つの量が名前を共有しており、このページはどちらも印字するからです。偏差の平方和 Σ(x − x̄)² がここの答えで、分散の分子です。生の平方和 Σx² は、平均を引く前の各値を二乗したものの和です。両者は恒等式 Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)² / nで結ばれており、だから生のほうも画面に出ていますが、置き換えられるものではありません。値が42の1つだけだと、偏差の平方和は0で生のほうは1,764です。

標本と母集団の選択で答えは変わりますか

変わりません。このページに選択欄がない理由でもあります。標本と母集団の式は除数だけが違い（n − 1とn）、平方和は何で割ることもありません。与えられたリストに対して1つの数です。その選択が分散と標準偏差のページに出てくるのは割り算がそこで起きるからで、同じデータセットから分散は2つできても平方和は1つしかできない理由でもあります。

分散や標準偏差とのつながりは何ですか

分散はこの数を自由度で割ったものです。標本ならn − 1、母集団ならnです。標準偏差は分散の平方根です。つまり平方和が原材料で、割り算のほうが、大きさの違うデータセット同士で比べられるものにします。8つの値の和は、散らばりが同じでも4つの値の和より自然に大きくなるからです。nではなくn − 1で割ることは、真の平均ではなく標本平均のまわりで偏差を測ることから来るわずかな過小評価も補正します。

平方和が負になることはありますか

ありません。すべての項が二乗なので、どの項も0か正で、合計も同じです。0になるのはすべての値が平均に等しいとき、つまりすべての値が互いに等しいときだけです。リストが1つの値だからか、値がすべて同一だからです。合計が0というのはデータに散らばりがないという本当の結果で、何かが壊れた合図ではありません。負の数が見えたなら、それは符号を間違えた生の平方和 Σx² か、手で計算した平方の差です。

• Measures of Scale — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6：分散を偏差の二乗和をn − 1で割ったものとして定義し、平均からの距離を二乗すると平均から遠い値に大きな重みが付くと説明している節 — 米国標準技術研究所（NIST）
• Measures of the Spread of the Data — OpenStax, Introductory Statistics 2e, section 2.7：分散は標本では平均からの偏差を二乗したものの平均だと述べており、このページが割り算の前に計算している量にあたる節 — OpenStax（ライス大学）
• GB/T 3358.1-2009, Statistics — Vocabulary and symbols, Part 1：分散とその土台になる平方和を定めた、統計の用語と記号に関する中国の国家規格。規格の記録ページには、オンライン全文の提供がない旨が記されています — State Administration for Market Regulation, China