三角柱計算
計算結果
体積
- 側面積
- 120.0000 cm²
- 表面積
- 132.0000 cm²
三角柱計算ツールは、三角形の底面の3辺と柱の長さから、いくつ入るか、側面を包むのにどれだけ要るか、表面全体にどれだけ材料が要るかの3つを返します。三角柱はテント、チョコレートの三角柱、チーズのくさび、棟、三角のモールディング——片端が三角形で、それがそのまま反対側の同じ三角形までまっすぐ走っている形です。3つの答えのうち2つは思い浮かべやすいものです。体積は三角形の底面の面積に柱が走る距離を掛けたものです。柱とは平らな図形を向きを変えずに空間に引き伸ばしたものなので、そうやってできたものの体積は断面積×移動距離になります。側面積は三角形の周の長さに同じ長さを掛けたものです。開いて伸ばすと柱の側面は長方形になり、その横の長さが三角形の周長だからです。この2つが揃えば3つ目は自動です。表面積は側面に三角形の底面2枚を足したもので、端が2回数えられるのはそのためです。3辺はそもそも三角形を作れるかどうかも問われます。忘れられがちな検査なので一言しておく価値があります。3つの長さが三角形になるのは、どれか2つの合計が3つ目より大きいときだけです。そうでなければ柱には出発点になる底面がなく、報告できる体積もありません。ページは黙って何かを返す代わりにそう告げます。短い2辺の合計が最も長い辺にちょうど等しいとき、底面は三角形ではなく平らな線になり、ページはそれを受け付けます。体積は本当に0で、ページは0を印字します。
底面と長さから求める三角柱の体積
| 辺a（cm） | 辺b（cm） | 辺c（cm） | 長さ（cm） | 体積（cm³） |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 10 | 60 |
| 6 | 6 | 6 | 10 | 155.8846 |
| 5 | 5 | 6 | 4 | 48 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 14.5237 |
| 1 | 1 | 2 | 10 | 0 |
| 3 | 4 | 5 | 0 | 0 |
| 2.5 | 3.5 | 4 | 7.5 | 32.476 |
| 5 | 6 | 10 | 2 | 22.798 |
柱が8つ、列は5つ。5列でもうこの表が抱えられる幅いっぱいで、いちばん見に来るのが体積なので、3つの読みのうち体積だけを載せています。1行目が突き合わせの行です。3-4-5の底面は面積がちょうど6なので体積もちょうど60で、体積のページは底面積6と長さ10から同じ60を印字します。2行目は同じ検査を扱いにくい数でやったもので、1辺6の正三角形の底面は155.8846を出し、体積のページは底面積15.5884572からそこへ着きます。5行目は退化した底面で、1 + 1 = 2となって三角形が線に潰れています。面積が0なので体積も0で、ページはそれを受け付けます。6行目は長さ0で、これも体積は0ですが理由はまったく別です。柱が残っていません。8行目はほとんど退化した底面——5 + 6が10よりわずかに大きいだけ——で、面積がごく小さくなり、算術にとって最も難しい場合になります。ここにある値はどれも、ページを組み立てるときにその4つの入力からセンチメートルで再計算したもので、小数第4位は結果パネルが使うのと同じ4桁です。
公式
V = A(base) × L
- 辺a
- 三角形の底面の1つ目の辺。センチメートル。3辺は合わせて三角形を作れなければならず、ページは答える前にそれを確認します
- 辺b
- 底面の2つ目の辺。センチメートル。aおよびcと合わせて、底面の面積を、したがって体積を完全に決めます
- 辺c
- 底面の3つ目の辺。センチメートル。3つの順序は関係ありません。周長と半周長を通して対称に使われるからです
- 長さ
- 柱が走る距離。センチメートルで、2つの同じ三角形の底面の間を、走る向きに沿って測ったものです
- A(base)
- 三角形の底面の面積。ヘロンの公式で3辺から求めます。3-4-5の底面は面積がちょうど6cm²で、この一群でこの形がよく出てくるのはそのためです
- 体積
- 柱がどれだけ入るか。立方センチメートルで、底面の面積に長さを掛けたものです。断面がどんな形の柱でも成り立ちます
- 周長と側面積
- 底面の周の長さと、それに長さを掛けたもの。どの柱も開いて伸ばせば側面は長方形になり、これがその面積です
コンクリートと土工が最も古い利用者です。三角形の土手、平らな頂上の残土山、三角形の断面で打つコンクリートの縁石——トラックや立方メートル単位で売られるものの大半は体積で発注し、支払います。包装とシート材が2つ目の一族で、こちらが欲しいのは側面積です。テントの棟にかぶせる布、三角の荷物に巻くシュリンクフィルム、切妻の外装、三角ダクトの板金。これらの仕事は面積で値が決まり、必要な数は周長×長さであって表面積ではありません。端はたいてい開いているか別のもので覆われているからです。塗装の仕事は逆に表面積を欲しがります。端も塗る対象だからで、見積もりからそれを落とすのが足りなくなる標準的な原因です。そして3つ目の読み、無料でついてくるのに知っておく価値のあるものです。どの柱の体積も断面積×長さで、それが分かると直方体も円柱もこの形も1つの規則に畳まれます。この一般化があるので、このページと三角柱の体積計算のページが対で存在しています。片方は3辺から始め、もう片方は既に持っている面積から始め、数が噛み合えば同じ答えに着きます。
計算例
3-4-5の底面で長さ10
- 底面の面積をヘロンの公式で求める：半周長6なので √(6 × 3 × 2 × 1) = 6
- 長さを掛けて体積：6 × 10 = 60
- 3辺を足して長さを掛けると側面積：12 × 10 = 120
- 三角形の底面2枚を足す：120 + 2 × 6 = 132
ページが読み込まれるときの組で、2枚のページを結びつける行です。底面の面積がちょうど6なので体積もちょうど60になり、体積のページは底面積6と長さ10で同じ60を印字します。3つの読みがどれも小さな数の組から出てくるのが、傘ページの趣旨です。
1辺6の正三角形の底面で長さ10
- 正三角形の底面の面積を求める：√3 ÷ 4 × 36 = 15.5884572…
- 長さを掛けて体積：15.5884572… × 10 = 155.884572…
正三角形の底面で、面積が整数にならず、答えも最後で丸めることになる場合です。体積のページは底面積15.5884572と同じ長さから同じ155.8846に達し、これが2枚のページの2つ目の突き合わせになります。
5、5、6の二等辺三角形の底面で長さ4
- 底面の面積を求める：半周長8なので √(8 × 3 × 3 × 2) = 12
- 長さを掛けて体積：12 × 4 = 48
普通の場合です。底面の面積がたまたま整数になり、柱は短い。特別な形はどこにもなく、都合のいい角度で測った辺もありません。実際の仕事の大半はこういう形をしています。
3-4-5の底面で長さ0
- 底面の面積を求める：6
- 長さを掛ける：6 × 0 = 0
長さ0は2つの底面を重ねたということで、柱が残っていません。体積は本当に0です。それでも表面積は0になりません。三角形の底面2枚はそこにあり、数えなければならないからです。側面積のほうは長さと一緒に消えます。底面の周長にその長さを掛けたものだからです。片方がそのまま残り、もう片方が0に落ちるのを見ると、表面積と体積が別の問いに答えていることがよく分かります。
適用限界
このページは底面の3辺と柱の長さだけを受け取り、それ以外は受け取りません。柱がまっすぐであること——2つの底面が平行で同じ形で、側面がそれに垂直に走っていること——を前提にしています。それは「角柱」という言葉の意味ですが、すべての三角の立体がそうではありません。片端に向かって細くなるくさびには別の算術が要ります。断面は三角形でなければならず、底面が一般の四角形の柱は別の図形で別のページです。3辺は三角不等式を満たす必要があり、短い2辺の合計が最も長い辺より小さいときは、ページは答える代わりに拒否します。ちょうど等しいときは底面が退化しており、体積は0として受け付けます。答えはドロップダウンが何であれ常にセンチメートル、平方センチメートル、立方センチメートルで、3つの換算は同じではありません。長さは2.54、面積は6.4516、体積は16.387で割ります。小数第4位は表示幅であって精度の主張ではなく、平方根を含む体積は表示より多くの桁を本当に持ちます。側面積は三角形の底面2枚を含みません。それが包装材に必要な数で、塗装の見積もりに必要な数ではないからです。塗装には表面積を使ってください。ここでは中空の柱、肉厚、材料を切るときのロスは扱いません。
よくある質問
- 側面積と表面積の違いは何か
- 側面積は側面だけを包んだもので、三角形の周長に長さを掛けたものです。表面積は三角形の底面2枚も数えるので、側面積に底面の面積の2倍を足したものになります。どちらが欲しいかは仕事によります。包装やラベル、外装は側面積です。束の端は開いているからです。塗装やめっき、板取りは全体のほうで、端も覆う必要があります。
- 長さとはどの測定値か
- 柱が走る距離です。片方の三角形の底面からもう片方までの、形が進む向きに沿った距離です。三角形の高さではなく、机の上に寝かせた柱ではこの2つが似た数に見えることがよくあります。どちらを持っているか確かめる価値があるのは、まさにそのためです。柱がテントなら、長さは棟です。
- 3辺はどんな3つの数でもよいのか
- よくありません。3辺は三角不等式を満たす必要があり、3つの長さが三角形になるのは、どれか2つの合計が3つ目より大きいときだけです。短い2辺の合計が最も長い辺より小さければ底面がなく、ページは答える代わりに拒否します。ちょうど等しければ底面は平らな線で体積は本当に0なので、その場合は受け付け、0と印字します。
- 体積のページが同じ答えを出すのはなぜか
- 2つのページは、別々の出発点から同じ規則に着いているからです。どの柱の体積も断面の面積×長さなので、底面の面積が既に分かっていれば3辺をまるごと飛ばせます。3-4-5の底面は面積がちょうど6なので、長さ10ではどちらのページも60を出します。片方は面積を先に計算し、もう片方は教えられただけです。
- 辺をa、b、cと呼ぶ順序は関係あるのか
- 関係ありません。3辺は対称に計算に入ります。周長としてはただ足されるだけで、ヘロンの公式では半周長と3つの差にしか使われず、それらはどの順で打ち込んでも同じ数の組になります。記号は欄に名前を付けるためのもので、何かを含意しているわけではありません。
- 円柱や直方体にも使えるのか
- このページでは使えません。ここでの底面は三角形で、欄も3辺を尋ねているからです。ただし規則は同じものです。どの柱の体積も断面積×長さで、どの柱の側面積も周長×長さです。この一群の直方体のページは底面が四角形の同じ計算で、円柱のページは底面が円の同じ計算です。
参考文献
- Prism — 何が立体を角柱にするのか、体積が常に断面積×長さになる理由、側面積の定義 — Wolfram MathWorld (United States)
- Heron's Formula — 三角形の底面の面積、ひいては柱全体の体積を、3辺だけから求める方法 — Wolfram MathWorld (United States)
- Triangle Inequality — 底面の3辺が満たさなければならない条件と、3つの長さの組によってはその後ろに柱が存在しない理由 — Wolfram MathWorld (United States)
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——同通知の添付資料リストの第5項が『義務教育数学課程標準（2022年版）』にあたり、角柱の体積と表面積は義務教育段階の数学課程の内容である。原文と学段の区分は同添付資料による — 中华人民共和国教育部