貨幣の時間価値計算

将来価値 = 金額 × (1 + 年利 ÷ m)^(m × 年数)、現在価値 = 金額 ÷ (1 + 年利 ÷ m)^(m × 年数)

金額

2つの時点で読み替える対象の額です。前向きの計算では今日手元にある額、後ろ向きの計算では期末に受け取る額にあたります。

年利

複利を掛ける前の名目年率です。2と入力すれば2%の意味で、これは表示されている率であって、複利が生み出す実効の率ではありません。

m

1年あたりの複利の回数です。年1回なら1、年2回なら2、四半期ごとなら4、毎月なら12、毎日なら365。大きいほど同じ名目金利が多く稼ぎます。

年数

お金を置いておく長さです。指数はm × 年数なので、数えているのは年ではなく複利の回数です。

将来価値

今日の金額が期末にいくらになるかです。前向きの読みで、このページの主役の数になります。

現在価値

それだけ先の将来の金額が今日いくらの価値かです。同じ式を逆向きに走らせ、掛ける代わりに割ります。

将来価値と現在価値の差

将来価値から現在価値を引いたものです。同じ額を2つの時点で読んだもので、その差が待つ期間そのものの金額での値打ちになります。

連続複利

mを限りなく大きくした極限で、式は金額 × e^(年利 × 年数) になります。上の式の周波数設定ではなく別の式であり、有限のmでここに到達することはありません。

前向きの読みは、ある額が何になるかを答えるときに使います。預金がいくらに育つか、一括で預ける価値がある水準までいくらにならなければならないか、目標の額から金利や年数について何が言えるか。後ろ向きの読みは、将来の支払いが今いくらの価値かを答えるときに使います。これが割引という操作の中身で、割引を伴う評価のすべて——リース、和解金、5年後に払うという約束——の土台にあります。差のほうは、原因である金利ではなく効果の大きさを見せたいときに使います。説得の材料としてはふつうそちらのほうが効きます。間違った道具になるのは3つの場合です。支払いの流れは価格にできません。それには金額を日程に沿って繰り返す必要があり、年金のページの仕事です。リスクについては何も述べません。自分で入力した金利で時点の間を換算するだけで、お金がそもそも届かないかもしれないという話には触れません。そしてどちらの向きが現実かについて中立です。債権者が約束した支払いを割り引くときは、同じ程度のリスクのお金で実際に稼げる率を使うべきで、債権者に信じてほしい率ではありません。

1. 10,000を年5%で10年、年1回の複利

   1. 年1回の複利で5%を10年運用すると、係数は1.05^10 = 1.628894627になります
   2. 将来価値：10,000 × 1.628894627 = 16,288.95
   3. 現在価値：10,000 ÷ 1.628894627 = 6,139.13
   4. 差：16,288.95 − 6,139.13 = 10,149.82

   既定のケースで、この考え方全体のいちばん明快な説明になります。2つの額は、同じ10,000を10年の両端から見たものとして読んでください。16,288.95は今日のお金がなる額、6,139.13は10年後の10,000という約束が今いくらの価値かです。その間の10,149.82は手数料でも損失でもなく、値段の付いた時間です。将来価値が元の額より6,288.95大きく、現在価値が3,860.87小さいこと、そして差がその2つの動きの合計であってどちらか一方ではないことに注目してください。3つとも出すのは、その算数が見えるようにするためです。

2. 金利0%：8,000は15年置いても何も変わらない

   1. 0%では係数は1.00^15 = 1です
   2. 将来価値：8,000 × 1 = 8,000
   3. 現在価値：8,000 ÷ 1 = 8,000
   4. 差：8,000 − 8,000 = 0

   退化した場合でも誤りでもありません。金利0%は、この比較に限っては今の1と15年後の1を同じものとして扱っている、という正直な言い方です。ページのやることすべてが潰れます。どちらの向きも額をそのまま返し、差はちょうど0です。基準として持っておく価値があります。効果の全体を切り出してくれるからです。参考表のほかの行は、金利が0でないという一点だけでこの行と違っています。金利が0でないのに差が0になっていたら、どちらかの額が適用されていません。

3. 同じ10,000と5%を連続複利で

   1. 連続複利では (1 + 年利 ÷ m) の累乗ではなくe^(年利 × 年数)を使います
   2. 係数：e^(0.05 × 10) = e^0.5 = 1.648721271
   3. 将来価値：10,000 × 1.648721271 = 16,487.21
   4. 現在価値：10,000 ÷ 1.648721271 = 6,065.31、差は10,421.90

   既定の例と同じ入力で、198.26だけ多い。原因はまるごと頻度です。連続複利はほかの頻度が近づいていく上限にあたります。年1回は16,288.95、毎日は16,486.65で、複利の間隔を0まで縮めても毎日からさらに0.56乗るだけです。実践的な教訓はそこにあります。年1回から毎月にすると数が何百も動き、毎日から連続にしても動くのは小数第2位までで、効くのは低いほうの頻度のあいだの選択です。連続複利はここで唯一、同じ式の設定違いではなく別の式になっている選択肢でもあります。

4. 5,000を年6%で20年、四半期ごとの複利

   1. 四半期ごとなので四半期あたり1.5%を80期：1.015^80 = 3.290662…
   2. 将来価値：5,000 × 3.290662 = 16,453.31
   3. 現在価値：5,000 ÷ 3.290662 = 1,519.45
   4. 差：16,453.31 − 1,519.45 = 14,933.86

   より長い期間とより高い金利で、差は元の額のほぼ3倍になりました。見るべきは合計ではなくこの比です。20年・6%では、同じ5,000を2つの時点で読んだ差が14,933.86で、元の額そのもののほぼ3倍にあたります。期間を2倍にすると効果は2倍より大きく増えます。指数が仕事をしているからです。ここでは現在価値の列を実際の問いの答えとして読んでください。20年後の5,000という約束は、6%で割り引くと今日およそ1,519の価値があります。

このページがやらないことが4つあります。1つの額を2つの時点のあいだで換算するだけで、支払いの流れは価格にできません。家賃、給与、ローンの分割払い、配当は、このページではなく年金のページが要ります。金利は自分で入れるもので、ページはそれについて意見を持ちません。インフレがどうなるか、同程度の投資がいくらで回るか、支払いが不履行になるリスクがどれくらいかは知らないので、間違った金利での換算は間違った問いへの正確な答えになります。インフレ調整もしないので、数は入力した単位のままです。大きく見える将来価値が、現在価値より買えなくなることさえあります。そして頻度は同じものの言い換えではありません。連続複利は別の式であり、ここで出した数と他所で提示された金利を並べるには、先に相手がどちらの慣行を使ったのかを確かめる必要があります。

貨幣の時間価値とは何か

同じ額のお金が時点によって違う値打ちを持つという事実で、時点の間の換算がただの言い換えではなく計算になるのはそのためです。このページはそれを測ります。10,000を5%で10年運用すると、遠いほうの端で16,288.95、近いほうの端で6,139.13になり、その間の10,149.82が時間そのものの値打ちです。この説明で何かが得られたわけでも失われたわけでもありません。同じ10,000を2つの時点で読んだだけです。

結果が2つあるのはなぜで、どちらが欲しいのか

同じ操作を反対向きにやったものです。将来価値は前向きに複利を掛け、今日のお金が何になるかを答えます。現在価値は後ろ向きに割り引き、将来の額が今いくらの価値かを答えます。今日持っている額を見積もるなら将来価値を、誰かが約束した支払いを評価するなら現在価値を使ってください。3つ目の差は、原因の率ではなく効果の大きさを見せたいときのためのものです。

複利の頻度はどれくらい効くのか

低いほうでは多くの人の予想より効き、高いほうでは予想より効きません。10,000を5%で10年なら、年1回は16,288.95、四半期ごとは16,436.19、毎月は16,470.09、毎日は16,486.65、連続は16,487.21です。年1回から毎月にするとおよそ181増え、毎日から連続にすると1未満しか増えません。どの場合も表示されている金利は変わっていません。変わるのは利息が利息を稼ぎ始める間隔です。

2つの数の差は何を意味するのか

待つことの値打ちを、率ではなく金額で表したものです。単に将来価値から現在価値を引いたものなので、既定の例では16,288.95 − 6,139.13 = 10,149.82になります。手数料でも損失でもなく、この額にとってのこの10年が持つ値打ちです。期間より速く伸びます。指数が効くので、期間を2倍にすると差は2倍より大きくなります。

連続複利はただの非常に高い頻度なのか

ほかの頻度が近づいていく極限ですが、到達はせず、別の式で計算します。(1 + 年利 ÷ m) の累乗ではなく金額 × e^(年利 × 年数) です。違いは哲学的というより実践的です。10,000を5%で10年なら、毎日の複利はすでに連続の数と0.56しか違いません。ここでは連続を6番目の頻度として扱っても1未満の精度で正しいことになります。ただしデリバティブの価格計算のように金利を連続で表示する場面では本当に別の慣行になり、比べる前に年1回の複利の率へ換算することが必須の手順になります。

インフレは考慮されているのか

されていません。どの数も入力した単位のままなので、16,288.95という将来価値はその時点の名目の16,288.95という意味で、それで何が買えるかは別の問いです。実質で読みたいなら、期待インフレを差し引いた実質金利を入力するか、あとから結果をインフレの前提で割り引いてください。名目の金利を入れて出力を実質として読むのをこのページは止めませんが、それがこの計算のいちばん多い誤用です。

• Future Value — Investor.gov glossary：前向きの読みについて。今日の額が後の時点でいくらになるか — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• Compound Interest — Investor.gov glossary：複利の頻度が選び分けている効果について — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• Interest — Investor.gov glossary：金利そのものについて。このページが複利ではなく割引をするときは逆さまに読むことになる率 — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• Circular A-94, Guidelines and Discount Rates for Benefit-Cost Analysis of Federal Programs — 意思決定のために将来の額を現在価値へ換算するとき、政府の割引率がどう選ばれるか — Office of Management and Budget, Executive Office of the President (United States)